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高等数学（第二版）一、交错项级数二、任意项级数交错项级数与任意项级数无穷级数一、交错项级数定义1若，则称级数或为交错级数。1713年莱布尼兹给出了交错级数收敛性的下述重要结论：定理1（莱布尼兹判别法）若交错级数满足（1），即单调下降。（2）则无穷级数收敛，且其和。对于上述交错级数而言，若极限不存在，或存在但，则交错级数的一般项的极限不存在，因此无穷级数发散。解：由于无穷级数为交错级数，其中，故且由莱布尼兹判别法可知：交错级数收敛。例1

试判断交错级数的敛散性。即交错级数常称之为莱布尼兹级数，以后将此无穷级数认作为标准无穷级数。例2

试判断交错级数的敛散性。解：因为，所以，交错级数发散。通常地正负项可以任意出现的无穷级数称为任意项无穷级数。二、任意项级数由此可见，交错级数是任意项无穷级数的一种特殊情形。由于要判断任意项无穷级数的敛散性没有一般的通用法则，故先研究的收敛性。定理2若无穷级数收敛，则无穷级数必定收敛。定义2设有任意项无穷级数，若无穷级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛；若无穷级数

发散，而无穷级数收敛，则称该无穷级数条件收敛。显而易见，莱布尼兹级数为条件收敛的。例3试判断交错级数的敛散性，若其收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛（其中）？解：

记，则，即为-级数，因此当时，收敛，故无穷级数

绝对收敛。且由莱布尼兹判别法可知无穷级数为条件收敛。综上所述，无穷级数，当时，该无穷级数绝对收敛；当时，该无穷级数条件收敛。当时，发散，即无穷级数不绝对收敛。此外，由于为交错级数，当时，有定理3若任意项无穷级数

满足条件（1）当时，则该无穷级数绝对收敛；（2）当时，则该无穷级数发散。例4试判断无穷级数的敛散性，如果它收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛？解：其通项为，而且然而为的-级数，其为收敛的。从而可知：为收敛的。即无穷级数收敛，且为绝对收敛。解：由于例5判断无穷级数的敛散性。故当时，无穷级数绝对收敛；当

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