北京市第十九中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷（带答案）

第1页/共1页九年级数学注意事项：1．本试卷共6页，共三大题，28小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷上和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将考试材料一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称、中心对称的定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念，注意轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故该选项错误；B、是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项正确；C、是中心对称图形而不是轴对称图形，故该选项错误；D、是中心对称图形而不是轴对称图形，故该选项错误；故选：B．2.抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（）A.向上， B.向上，C.向下， D.向下，【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线的开口方向、顶点坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据抛物线，当时，开口向上；当时，开口向下，顶点坐标为，即可得到答案．【详解】解：，二次项系数，抛物线的开口向下，顶点坐标为1,4；故选：C．3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．【详解】解：，即故选：D．4.如图，点，，是上的三个点，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求解即可．【详解】解：∵点，，是上的三个点，，∴；故选B．5.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据右减上加的规律求解即可．【详解】解：将抛物线向右平移3个单位得，再向上平移1个单位得到的解析式得．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：；故选：A．7.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A.45 B.60 C.90 D.120【答案】D【解析】【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为120．故选：D．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且．若将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线与轴两个交点间的距离为8，则的值为（）A.6 B.2 C.24 D.36【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键．设两根为，根据得到，由题意得出当时，抛物线上两点之间距离为8，得，解方程求出即可．【详解】解：抛物线，当时，设两根为，则，，，，，此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移m个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，即当时，抛物线上两点之间距离为8，设两根为，则，，，，，，解得：．故选：D．二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．【答案】（-2，-3）【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3），故答案为：（-2，-3）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．10.关于的一元二次方程有一个根是，则________．【答案】【解析】【分析】本考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解能使得方程两边相等是解题的关键．把代入方程解之即可得到的值．【详解】解：把代入方程，得，解得：；故答案为：．11.小华利用网络平台帮助家乡人民销售农产品．8月份销售额为12000元，10月份销售额为14520元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为________．【答案】【解析】【分析】本题考查增长率问题，利用10月份的销售额为8月份的销售额乘以1加销售额平均每月的增长率的平方，即可列出关于的一元二次方程．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．12.已知点，在二次函数图象上，与的大小关系为________（填“”，“”或“”）．【答案】【解析】【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵点，在二次函数的图象上，且，∴；故答案为：．13.抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______．【答案】，【解析】【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可．【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，∴与x轴的另一个交点坐标为，∴关于x的一元二次方程的两根为，，故答案为：，．14.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB＝，则BE＝_____．【答案】1【解析】【分析】由等腰直角三角形ABC中，AB＝，由勾股定理可知AC＝AB＝1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE＝AC＝1．【详解】∵等腰直角三角形ABC中，AB＝，∴AC＝AB＝1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD＝BD，CD＝ED，∠ADB＝∠CDE，∴∠ADC＝∠BDE，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE＝AC＝1．【点睛】此题主要考查勾股定理的运用以及三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.15.如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为________．【答案】##110度【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互补”等知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．【详解】解：是半圆的直径，，，，四边形是圆的内接四边形，，．故答案为：．16.如图，在中，轴，已知点C的纵坐标是3，将绕点A旋转得到，使点C恰好落在y轴负半轴点E处，若点C和点D关于原点O成中心对称，则点A的坐标______________．【答案】【解析】【分析】根据旋转可得，设C点坐标为，根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为，得，所以B点坐标为，A点坐标为，根据列出方程即可求出a的值，进而可得结果．【详解】解：∵绕点A旋转，∴，∴，∵轴，∴轴，设C点坐标为，∵点C和点D关于原点成中心对称，∴D点坐标为，∴，∴B点坐标为，A点坐标为，∴，∴，解得，∴点A的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．三、解答题（共68分，第17题8分，18题3分，19-23题每题5分，24-26题每题6分，27-28题每题7分）17.解下列方程（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：（1）将常数项移到等式的右边，利用配方法进行求解即可；（2）利用提公因式法因式分解，进行求解即可．【小问1详解】解：，∴；【小问2详解】，∴．18.如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知，将绕点按顺时针方向旋转后得到．（1）画出；（2）写出点对应点的坐标________；（3）若以点为圆心，5为半径画圆，则点在该圆________（填：“内”，“外”或“上”）．【答案】（1）图见解析（2）（3）上【解析】【分析】本题考查坐标与图形的旋转．勾股定理，熟练掌握旋转的性质，正确的作图，是解题的关键．（1）根据旋转的性质，画出即可；（2）由图直接写出点的坐标即可；（3）首先利用勾股定理求出，然后根据圆的半径为5可得到点在该圆上．【小问1详解】解：如图：即为所求；【小问2详解】解：由图可知：；【小问3详解】解：由勾股定理，得：，∵以点为圆心，5为半径画圆，∴点在该圆上．19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【答案】最大深度为【解析】【分析】根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出OE，即可解答.【详解】解：作于，交于点在中，筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.20.如图，中，，，是内一点，连接，，以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接．（1）求证：；（2）连接，若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，推出是解此题的关键．（1）由旋转的性质可得，，从而得到，证明，即可得证；（2）由（1）得，则，由等腰直角三角形性质可得，即可得到答案．【小问1详解】证明：以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，，，，，，，，；【小问2详解】解：如图，连接，，由（1）得，，，，，，．21.已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．【小问1详解】证明：依题意，得，∵，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：．，得，，∵方程有一个根是正数，∴，∴．【点睛】本题主要考查根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22.已知二次函数．（1）该抛物线与轴的两个交点坐标为_______；（2）在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；（3）根据图象回答：当时，的取值范围是_______．【答案】（1），（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，画抛物线的图象，抛物线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）令函数值，可得，解之即可得抛物线与轴的交点坐标；（2）先列表，再描点画图即可；（3）根据函数的图象即可得到当时，的取值范围．【小问1详解】解：令，则解得：，该抛物线与轴的两个交点坐标为，故答案为：，．【小问2详解】解：列表如下：…134……5005…描点并画图，如下图所示即为所求：【小问3详解】解：由（2）图象可知，当时，当时，取得最小值为当时，取得最大值为当时，的取值范围为故答案为：．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点C的坐标；（3）设过B，C两点的直线解析式为，直接写出当时自变量x的取值范围．【答案】（1）；（2）（3）或．【解析】【分析】（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b的值即可；（2）把抛物线解析式化成顶点式即可得出顶点坐标；（3）结合图象即可得到自变量的取值范围．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，∴解得∴．【小问2详解】∵∴顶点的坐标为．【小问3详解】如图，抛物线与直线的交点为和，∴时自变量x的取值范围为：或．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式、利用函数图象求不等式的解集等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意和垂经定理得，根据得，即可得；（2）连接，根据直径的长可得，根据得，根据得是等边三角形，即可得．【小问1详解】证明：∵为的直径，，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．25.中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．（1）若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米．①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式；②这次所发的球能否过网________（填“能”或“否”）．（2）若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由．【答案】（1）；能（2）没有出界．理由见详解【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的图像性质解题．（1）根据顶点式列出抛物线方程，然后代入点求得a，即可得到函数关系式．（2）根据抛物线图像性质求解即可．【小问1详解】解：（1）①由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，得，所求函数关系为．②当时，则，故能过网．【小问2详解】令，则，解得（舍），．，没有出界．26.平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点．（1）求二次函数的解析式；（2）将点向右平移个单位得到点，若点在该二次函数图象上，求的值；（3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值减小，求满足题意的自变量的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．（1）两点式写出解析式即可；（2）根据题意，得到，关于对称轴对称，进而求出的坐标，即可求出的值；（3）根据二次函数的增减性进行判断即可．【小问1详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点和，∴二次函数的解析式为：；【小问2详解】∵，∴对称轴为直线，当时，，∴点的坐标为：，∵点向右平移个单位得到点，点在该二次函数图象上，∴点关于对称轴对称，∴，∴；【小问3详解】由（2）知，抛物线的对称轴为直线，由图象可知，抛物线的开口向下，∴抛物线上的点对称轴越远，函数值越小，∵自变量的值增加4时，对应的函数值减小，∴，解得：．27.在等边中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，并且使得线段的延长线与线段相交于点（不与点，重合），连接，交的延长线于点．（1）依题意补全图形，并写出满足条件的的取值范围；（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）图形见解析，（2），证明见解析【解析】【分析】（1）先根据题意画出图形，再由线段的延长线与线段相交于点（不与点，重合）即可求解；（2）在上截取，连接，根据旋转的性质和等边三角形的性质可证，得到，，推出，，然后利用等边三角形的性质和三角形外角的性质推出，从而得到，即可证明．【小问1详解】解：如图所示即为所求是等边三角形，当线段绕点顺时针旋转时，点与点重合，此时点与点重合当线段绕点顺时针旋转时，点与点重合，此时点与点重合线段的延长线与线段相交于点（不与点，重合）的取值范围为【小问2详解】解：，证明：在上截取，连接，如图由旋转可得：为等边三角形，，又，【点睛】本题考查了旋转的性质，三角