《走向高考》高考总复习·数学-10833职业教育

《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)知识梳理律方法提炼后强化作业堂题型设计首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计基础知识一、直线和平面的位置关系一条直线a和平面α的位置关系有且只有三种:作

；；3.直线和平面平行——没有公共点，记作.1.直线在平面内——有无数个公共点，记首页上页下页末页a⊂α且只有一个a∩2α.＝直A线和平面相交——有 公共点,记作a∥α第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼题型设计首页上页下页末页二、直线与平面平行的判定和性质1.直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定,除用定义外,主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理.《走向高考》高考总复①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.②(判定定理)如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号语言强化作业表示，即a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α .第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行.题型设计④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直《走向高考》高考总复线都平行于另一个平面.首页上页下页末页⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面.第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计2.直线和平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面《走向高考》高考总复和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号语言方法提炼表示为:a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b .首页上页下页末页第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理三、直线与平面垂直的判定和性质1.直线和平面垂直的判定首页上页下页末页垂直,那—强化作业为:

.①(定义)如果一条直线和平面内所有直线都题型设计么这条直线和这个平面垂直.②(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的两《走条向高考》高考总复相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言方法提炼为:a⊂α,b⊂α,a∩b＝O,l⊥a, .l⊥b,则l③⊥(α判定定理2)如果两条平行直线中的一条个平面，那么另一条也垂直于这个平面.用符号垂语直言于表示a∥b,a⊥α,则b⊥α《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼题型设计首页上页下页末页④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直,那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平

.⑤(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行,那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直.用符号.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们强化作业的交线也垂直于第三个平面．用符号语言表示为:.面．用符号语言表示为:α⊥β，α∩β＝b，α⊂β，a⊥b,则a⊥α语言表示为:α∥β，a⊥β，则a⊥αβ⊥α,γ⊥α,β∩γ＝a,则a⊥α第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂《走向高考》高考总复直于另两条直线确定的平面．用符号语言表示为:a⊥b，a⊥c，b⊥c，a、b、c交于一点A，b⊂α，c⊂α，方法提炼则a⊥α《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼题型设计首页上页下页末页2.直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平.3.斜线在平面内的射影射影.从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过行．用符号语言表示为:a⊥α，b⊥α，则a∥b①过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的垂足和斜的足直线叫做斜线在这个平面内的射影．②射影长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线强化作业段和斜线段中:《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页都短.射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射方法提炼影 也较长；(3)垂线段比任何一条斜线段第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果4．三垂线定理①三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个《走向高考》高考总复平面的一条斜线的射影垂直和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页5.“三余弦”定理如图所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β，设∠BAC《走向高考》高考总复＝θ，则α、β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫做“三余方法提炼弦”定理(别名:爪子定理)．注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成的三个面中有两个面相互垂直”．《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页易错知识一、性质理解错误1.如果α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，(

)可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD.l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页解题思路:对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相交.故选D.失分警示:对于A，实际上是面面平行的判定定理，方法提炼但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑异侧；对于C易丢l和m相交这一条件．答案:D《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理题型设计首页上页下页末页二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透2.一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这个平面内的无数条直线的位置关系是 .答案:平行或相交三、三垂线定理应用错误斜线上任意一点在平面上的射影，一定在方法提炼 ．答案:斜线的射影上已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则AD强化作业与BC的关系是 ．答案:垂直《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页(

)回归教材1.若直线a在平面外，则有A.a∩α＝∅B.a与α有且仅有一个交点C.a与α平行D.a与α的交点至多有一个解析：直线在平面外包括两种情况：①直线与平面平行，②直线与平面相交，因此可排除A、B.C，选D.答案:D《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页2.(教材改编题)两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是(

)A.a∥αB.a与α相交C.a∥α或a⊂αD．a⊂α解析:a∥b，b⊂α，则a与α的关系有两种:①a∥α，②a⊂α，故C正确．答案:C《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页3.(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α,“直线c⊥m,直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页解析:若“直线c⊥平面α”，则直线c垂直于平面α内的所有直线，而m⊂平面α，直线n⊂平面α，所以“直线c⊥m，《走向高考》高考总复直线c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，方法提炼“直线c⊥m，直线c⊥n”当m∥n时，直线c与平面α不一定垂直，充分性不成立．答案:B《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业4.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平首页上页下页末页(

)面,则下列命题正确的是题型设计若a∥b,a∥α,则b∥α若α⊥β,a∥α,则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：易知A、B.C不正确，D正确．答案:D《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页1

1

1

15.在直四棱柱ABCD－ABCD中，当底面四边形1 1

1ABCD满足条件 时,有AC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可).解析:要使AC⊥BD，只要BD垂直于AC在面1 11 11 1ABCD上的射影AC即可．1111 11答案:AC⊥BD(答案不唯一)第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计【例1】 (2009·天津)如图,在四棱锥P－ABCD中,《走向高考》高考总复PD⊥平面ABCD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝方法提炼CD.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD.首页上页下页末页第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业[命题意图]

本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．题型设计[解析] (1)证明:设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC《走向高考》高考总复中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点.又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA✪平面BDE,所以PA∥平面BDE.首页上页下页末页第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页(2)证明:因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所《走向高考》高考总复以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC.PC的中点，OP⊥底面ABC.题型设计(1)求证OD∥平面PAB；(2)求直线OD与平面PBC所成角的大小.[命题意图]本题主要考查空间线面关系与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计[解析](1)∵O、D分别为AC.PC的中点，∴OD∥PA.又PA⊂平面PAB，∴OD∥平面PAB.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计(2)∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC.取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE.从而平面PBC⊥平面POE.作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计在Rt△ODF中,首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计【例2】 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA＝SB＝SC,D为斜边AC的中点．(1)求证:SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC.求证:BD⊥平面SAC.首页上页下页末页第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼题型设计首页上页下页末页[解析] 证线面垂直的方法有:①利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线.②利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最《走向高考》高考总复常用思路.③利用线面垂直的性质,即两平行线之一垂直平面,则另一条线必垂直于该平面.④利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在强化作业一个面内垂直交线的直线垂直于另一平面.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页⑤用面面平行的性质,即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个方法提炼平面，则它们的交线垂直于第三个平面.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计[证明] (1)取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D.E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB,DE⊥AB,SE∩DE＝E,∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA＝SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB＝A,∴SD⊥平面ABC.首页上页下页末页第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页(2)若AB＝BC,则BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥面ABC,而BD⊂面ABC,∴SD⊥BD.《走向高考》高考总复∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC＝D,∴BD⊥平面方法提炼SAC.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计1

1

1如图所示,直三棱柱ABC－ABC中,AC＝BC＝1,∠1 1

1ACB＝90°，AA＝ D是AB的中点.1 1

1(1)求证:CD⊥平面ABBA；1

1

1(2)在BB上找一点F,使AB⊥平面CDF,并说明理由.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计1

1

1解析:(1)证明:∵ABC－ABC是直三棱柱，∴AA

⊥平面A

B

C

.1 1

1

1又CD⊂平面ABC,∴CD⊥AA,1 111 1 1又AC＝BC＝AC＝BC＝1,11 11D是AB的中点,∴CD⊥AB,11 1 11又AA∩AB＝A,1 11 1∴C

D⊥平面ABB

A

.1 1

1首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页(2)作DE⊥AB于E,廷长DE交BB于F,1 1连结CF,则AB⊥平面CDF,1 1 1因为AB⊥DF,AB⊥CD,1 1 1DF∩CD＝D,所以AB⊥平面CDF.1 1 1《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计1

1

1

1【例3】 已知:正方体ABCD－ABCD(如图)．(1)求证:BD⊥BC；1 1求证:BD⊥面ACD；1 1若BD与面ACD交于O，求证:DO1 1OB＝1:2.1首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页1

1

1

1[证明] (1)∵ABCD－ABCD为正方体,∴DC⊥面BCCB,BD在面BCCB内的射影为BC.11 1 11 1∵BCCB为正方形,∴BC⊥BC.11 1 1∴BC⊥BD,即BD⊥BC.(三垂线定理)1 1 1 1(2)(1)中证明了体对角线BD与面对角线BC垂直,1 1同理可证:BD⊥AD，BD⊥AC.∴BD⊥平面ACD.1 1 1 1 1《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计(3)设AC与BD的交点为O′,则平面BBDD与平面ACD的交线为O′D,11 1 1则O′D∩BD＝O,1 1∵BD∥BD,∴△OO′D∽△ODB,11 111∴DO OB＝1:2.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页[反思归纳] 三垂线定理及其逆定理要注意:一定平面；二定垂线；三找斜线，射影即现.主要用来证明线线方法提炼垂直.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计如图所示,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD＝BD＝CD,∠BAC＝60°.(1)求证:BD⊥平面ADC；(2)若H为△ABC的垂心，求证:H是D在平面ABC内的射影；(3)若M，N分别是△ABD与△BCD的重心，求证:MN∥面ADC.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理强化作业题型设计首页上页下页末页[思路点拨](1)“射影”与“垂直”相连,“证线面垂直,先找线线垂直”；(2)“垂心”是“高”的交点,线线垂直,由此根据三垂线方法提炼定理去找；(3)“重心”有个性质，把中线分为2 1，“平行”当然由平行截割定理而得到.第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计首页上页下页末页[解答](1)∵AD＝BD＝CD,∠ADB＝∠ADC＝90°,∴△ABD≌△ACD,AB＝AC.《走向高考》高考总复又∠BAC＝60°,∴△ABC为正三角形,∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD,∴△BDC为直角三角形,∠BDC＝90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,AD∩CD＝D,∴BD⊥平面ADC.《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计(2)如图所示,设D在△ABC内的射影为H′,连结CH′延长并交AB于E,∵CD⊥AD,且CD⊥DB,∴CD⊥面ADB,∴CD⊥AB,由三垂线定理得CE⊥AB.同理,连结BH′并延长交AC于F,BF⊥AC∴H′为△ABC的垂心,即D在平面ABC内射影为△ABC的垂心,∴H′与H重合，H是D在平面ABC内的射影.首页上页下页末页《走向高考》高考总复第九章

直线、平面、简单几何体(A)识梳理方法提炼强化作业题型设计(3)连结BM,延长BM交AD于