数学学案：课堂探究6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一棱柱、棱锥、棱台的面积问题对于多面体，只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积，其余多面体的侧面积要把每个侧面积求出来再相加，求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积．【典型例题1】如图所示，正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求该正四棱锥的侧面积和表面积．思路分析:根据多面体的侧面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解．解：正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成一个Rt△POE．因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以PE＝＝4（cm)．因此S正四棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)，S正四棱锥表＝S正四棱锥侧＋S正四棱锥底＝32＋4×4＝48(cm2）．点评解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解．空间几何体的表面积运算，一般先转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算．【典型例题2】已知正六棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，高是1cm，求它的侧面积．解：如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分(其余部分省略），则侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高，且OO1＝1cm，AB＝1cm，A1B1＝2cm，取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1,则CC1为正六棱台的斜高,且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质可得,OC＝AB＝（cm),O1C1＝A1B1＝eq\r（3）(cm），所以CC1＝＝(cm）．又知上、下底面周长分别为c＝6AB＝6(cm),c′＝6A1B1＝12(cm），斜高h′＝CC1＝cm．所以正六棱台的侧面积为S正六棱台侧＝（c＋c′）h′＝×(6＋12)×＝（cm2)．点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似，除了利用相对应的侧面积公式，也要利用正棱台中的核心直角梯形．探究二圆柱、圆锥、圆台的面积问题1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，如上图，当r1变化时，相应的图形也随之变化,当r1＝0,r2＝r时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r1＝r2＝r时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的侧面积公式也随之变化．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r1＋r2）lS圆锥侧＝πrl．2．对于圆锥还要明确如下结论：（1）圆锥的侧面展开图是扇形．(2）圆锥的底面周长⇔扇形的弧长．(3）圆锥的母线长⇔扇形的半径．(4)S扇形＝(其中n°为扇形圆心角的度数，r为扇形的半径）．【典型例题3】(1)圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为()A．12πB．24πC．15πD．30解析：作圆锥轴截面如图，高AD＝4，底面半径CD＝3，则母线AC＝5,得S侧＝π×3×5＝15π．答案：C(2)矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶3解析：以边长1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π,故S1∶S2＝1∶1，选B．答案：B探究三球的切接问题对球的表面积公式的考查，通常与球的性质结合在一起．与其他多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式．常见的有关球的一些性质：(1)长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．（2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．【典型例题4】（1)已知长方体的长、宽、高分别为2,3,6,则其外接球的表面积为（)A．196πB．49πC．44πD．36π解析：长方体的体对角线长为＝7，所以其外接球的直径为2R＝7，即R＝，所以它的表面积为4πR2＝49π．故选B．答案：B(2)已知圆台内有一表面积为144πcm2的内切球，如果圆台的下底面与上底面半径之差为5cm，求圆台的表面积．解：其轴截面如图所示，设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2，母线长为l，球半径为R，则r2－r1＝5，母线l＝r1＋r2．因为4πR2＝144π,所以R＝6．又l2＝(2R）2＋(r2－r1）2,所以（r1＋r2)2＝（2R)2＋（r2－r1）2＝（2×6)2＋52＝132．所以r1＋r2＝13．结合r2－r1＝5得r1＝4，r2＝9，所以l＝13．所以S圆台表＝＋＋π（r1＋r2)l＝π·42＋π·92＋π(4＋9）·13＝266π(cm2)．探究四易错辨析易错点：因考虑不全面而致误【典型例题5】用互相平行且距离为27的两个平面截球面，两个截面圆的半径分别为r1＝15，r2＝24，试求球的表面积．错解:设球的半径为R，由题意可设球心到两平行平面的距离为OO1＝d1,OO2＝d2，如图所示，可得d1，d2，R之间的关系:所以225＋＝576＋（27－d1）2，解得d1＝20，d2＝7，R＝25．所以S球＝4πR2＝2500π．错因分析：错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况，还应该讨论两平行平面位于球心同侧的情况．正解：设球的半径为R,球心O到两平行截面的距离分别为OO1＝d1,OO2＝d2．（1)当两平行截面位于球心O异侧时，如图①，则所以225＋＝576＋（27－