数学学案：课堂导学推出与充分条件、必要条件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、充分条件与必要条件的判断【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由。(1)A:｜p|≥2，p∈R。B：方程x2+px+p+3=0有实根；(2）A：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B：c2=（a2+b2)r2.解析：（1)当|p｜≥2时，例如p=3，则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根，必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件.(2）若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，所以c2=(a2+b2）r2；反过来，若c2=（a2+b2）r2,则=r成立，说明x2+y2=r2的圆心（0,0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要条件。温馨提示对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断。二、探究充分条件与必要条件【例2】设定义域为R的函数f（x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b＜0且c＞0 B。b＞0且c＜0C.b＜0且c=0 D.b≥0且c=0解析：f(x)=故函数f（x)的图象如右图。由图知，f（x）图象关于x=1对称，且f（x)≥0，若方程f2（x）+bf(x)+c=0①有7个解，则方程t2+bt+c=0②有两个不等实根,且一根为正，一根为0。否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8个解.∵f（x）=0满足方程，则c=0，又∵另一个f(x）＞0，∴b=—f（x）＜0.故b＜0且c=0，选C.答案：C温馨提示充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义三、充要条件的证明【例3】证明：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0。证明：①充分性∵a—b+c=0∴a·（—1)2+b·(—1）+c=0∴x=—1是方程ax2+bx+c=0的一个根∴a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为—1的充分条件.②必要性∵x=—1是方程ax2+bx+c=0的根∴a·（-1)2+b·（—1）+c=0即a-b+c=0∴a—b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的必要条件。综合①②关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0。温馨提示p是q的充要条件，充分性是指pq，必要性是指qp.而p的充要条件是q，充分性则是指qp，必要性则是指pq。各个击破类题演练１在△ABC中，命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的(）A。充分不必要条件B.必要不充分条件C。充分必要条件D。既不充分又不必要条件解析:由已知和正弦定理,得令则解得k=1.∴sinA=sinB=sinC,∴A=B=C.∴pq，p是q的充分条件，若△ABC为等边三角形，则a=b=c，A=B=C,∴∴qp，q是q的必要条件.∴p为q的充分必要条件。∴答案:C变式提升１命题甲：“a，b，c成等差数列"是命题乙=2的（）A。必要不充分条件B.充分不必要条件C。充要条件D。既不充分也不必要条件解析:若a=b=c=0，则a，b，c也成等差数列，但推不出=2反过来由=2a+c=2b，即a,b，c成等差数列，故选A.类题演练2对任意实数a，b,c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件②“a+5是无理数"是“a是无理数”的充要条件③“a＞b”是“a2＞b2"④“a＜5”是“a＜3"的必要条件其中真命题的个数是()A。1 B.2 C。3 D.4解析:①中,当c=0时,ac=bc/a=b.故“a=b”是“ac=bc"的充分不必要条件，故①错误。③中，“a>b"是“a2〉b2”②④正确.答案：B变式提升2已知条件p：x+y≠—2，条件q：x，y不都是—1，则p是q的(）条件。A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D。既不充分也不必要解析:p：x+y≠-2，q：x≠-1或y≠—1。p：x+y=—2，q:x=-1且y=-1.∵qp,但p/q。∴p是q的充分且不必要条件,选A。类题演练3证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0证明：充分性:若ac<0，则b2-4ac〉0且〈0∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根则Δ=b2—4ac>0,x1·x2=<0∴ac〈0.变式提升3已知p：｜1—｜≤2,q:x2—2x+1—m2≤0(m＞0）,且p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.解