2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设z1=1+2i，z2=i，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2−x≥0}，则A∩B=A.{−1,0} B.{0,1} C.{1,2} D.{−1,0,1}3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，a+A.2 B.13 C.4 D.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=−x2+ax+1，若f(x)在(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(−∞,−2] B.[−2,+∞) C.(−∞,−1] D.[−1,+∞)5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为(

)A.15 B.40 C.55 D.706.一个正四棱台油槽可以装汽油190L(1L=1000cm3)，若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm7.当x∈[0,2π]时，函数y=sinx与f(x)=2sin(ωx−π6)(ω∈N+)的图象有4A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+6)=2f(x)，当x∈(0,6]时，f(x)=x2−4x，则k=1A.−7 B.25 C.57 D.102二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x+13x)5A.x的系数为10 B.第4项的二项式系数为10

C.没有常数项 D.各项系数的和为3210.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=AD=A.D1B⊥AC B.D1B⊥平面A1C1B

C.11.如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则(

)A.f(x)=2sin(2x+π3)

B.将f(x)图象向右平移2π3后得到函数y=2sin2x的图象

C.f(x)在区间[7π12,13π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如果随机变量X～N(5,σ2)，且P(X≤3)=0.3，那么P(3≤X≤7)=13.如图，在半径为2、圆心角为60°的扇形的弧PQ上任取一点A，作扇形的内接平行四边形ABCP，使点B在OQ上，点C在OP上，则该平行四边形面积的最大值为______．14.已知函数f(x)=alnx−x2+b，若x∈(0,1)，f(x)f(x+1)<0，则正整数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3+ax2−x−1(a∈R)．

(1)若a=−1，求f(x)的极值；

(2)若函数f(x)的图象关于点16.(本小题15分)

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos(A−C)+b2=2asinBsinC．

(1)求B；

(2)若四边形ABDC内接于圆O，∠ACB=π6，17.(本小题15分)

银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了π(π≈3.14159…)的前6个数字(1,1,3,4,5,9)设置个人银行储蓄卡密码．

(1)求密码中两个1不相邻的概率；

(2)若密码的前三位出现1的次数为X，求X的分布列和数学期望．18.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PD=AB=2，BC=CD=1．

(1)求证：PD⊥AB；

(2)求PB与平面PAD所成角的正弦值；

(3)若线段PC上存在一点E，使得截面ABE将四棱锥P−ABCD分成体积之比为5：7的上下两部分，求点P到截面ABE的距离．19.(本小题17分)

已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都为R，设直线l：y=kx+m是曲线y=f(x)的任意一条切线，切点横坐标为x0，若f(x)≥kx+m，当且仅当x=x0时“=”成立，则称函数f(x)满足“性质P”．

(1)判断y=x2是否满足“性质P”，并说明理由；

(2)若f′(x)是单调增函数，证明：f(x)满足“性质P”；

(3)若函数g(x)=ex+e−x参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.0.4

13.214.5

15.解：(1)当a=−1时，f(x)=x3−x2−x−1，函数定义域为R，

可得f′(x)=3x2−2x−1，

当x<−13时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−13<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x=−13时，f(x)取得极大值，极大值f(−13)=−2227；

当x=1时，f(x)取得极小值，极小值f(1)=−2；

(2)因为函数f(x)的图象关于点(−1,f(−1))对称，

所以f(−1+x)+f(−1−x)=2f(−1)，16.解：(1)因为bcos(A−C)+b2=2asinBsinC，

由正弦定理可得sinBcos(A−C)+sinB2=2sinAsinBsinC，

又因为在△ABC中，所以sinB≠0，所以cos(A−C)+12=2sinAsinC，

所以cosAcosC+sinAsinC+12=2sinAsinC，

所以cos(A+C)=−12，即cosB=12，

因为B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)在△ABD中，已知AB=2，所以∠ADB=π6，17.解：(1)总的情形有A66A22=360种，两个1不相邻的情形有A44⋅C52=240种，

∴两个1不相邻的概率P=240360=23；

(2)由题意可知，X012P131∴E(X)=0×1518.解：(1)取AB的中点O，连OD，OP，由BO=CD=1，BO/​/CD，

得四边形OBCD为平行四边形，

由BC⊥CD，得平行四边形OBCD为矩形，

则DO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，DO⊂平面ABCD，

得DO⊥平面PAB，又PO⊂平面PAB，

则DO⊥PO，

由PD=2，DO=1，得PO=3，

由PA=2，AO=1，得PO2+AO2=PA2，

则PO⊥AO，即PO⊥AB，

而DO⊥AB，PO∩DO=O，PO，DO⊂平面PDO，

因此AB⊥平面PDO，而PD⊂平面PDO，

所以PD⊥AB．

(2)由DO⊥PO，PO⊥AO，DO∩AO=O，DO，AO⊂平面ABCD，

得PO⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD，

则PO⊥DO，

以O为坐标原点，直线OD，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

则P(0,0,3)，A(0,−1,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，

PA=(0,−1,−3)，PD=(1,0,−3)，PB=(0,1,−3)，

设平面PAD的法向量n=(x,y,z)，

则PA⋅n=−y−3z=0PD⋅n=x−3z=0，

令z=1，得n=(3,−3,1)，

设PB与平面PAD所成角为θ，

则sinθ=|cos〈PB,n〉|=|PB⋅n||PB||n|=232⋅7=217，

即PB与平面PAD所成角的正弦值为217．

(3)设截面ABE交PD于F，由AB/​/CD，AB⊂面ABE，DC⊄面ABE，

得DC/​/平面ABE，

又DC⊂平面PDC，平面ABE∩平面PDC=EF，

则DC/​/EF，

依题意，VP−ABCD=13SABCD⋅PO=13×1+219.解：(1)y=x2满足“性质P”，理由如下：因为y′=2x，设曲线y=x2的一条切线l的切点为(x0,x02)，

则直线l的方程为y−x02=2x0(x−x0)，即y=2x0x−x02；

所以x2−(2x0x−x02)=(x−x0)2≥0，当且仅当x=x0时取等号；

由x0的任意性知，y=x2满足“性质P”；

(2)证明：设直线l是曲线y=f(x)的任意一条切线，切点为C(x0,f(x0))，

则直线l的方程为y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)，

因为f′(x)是单调增函数，则当x∈(−∞,x0)时，g′(x)=f′(x)−f′(x0)<0，

g(x)单调递减，g(x)>g(x0)；

当x∈(x0,+∞)时，g′(x)=f′(x)−f′(x0)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(x0)；

即对任意x≠x0，都有g(x)>g(x0)，

由x0的任意性知，f(x)满足“性质P”；(3)当a≤1时，因为g′(x)=ex−e−x−2ax，设ℎ(x)=ex−e−x−2ax，

则ℎ′(x)=ex+e−x−2a≥2ex⋅e−x−2a=2−2a≥0，

所以ℎ(x)在R上单调递增，即g′(x)在R上单调递