2024年中考数学复习重难点精讲练专题01 实数及其运算（学生版）

知识点01：正数和负数【高频考点精讲】（1）大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”叫做它的符号。（2）0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数。（3）用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量。知识点02：数轴【高频考点精讲】（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（数轴上的点对应任意实数，包括无理数）。（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。知识点03：绝对值、倒数、相反数【高频考点精讲】1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数。③有理数的绝对值都是非负数。（2）如果用字母a表示有理数，则a的绝对值要由自身的取值来确定。2．倒数（1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。一般地，如果（a≠0），那么a（a≠0）的倒数是。（2）方法指引①倒数是除法运算与乘法运算转化的纽带，倒数是伴随着除法运算而产生的。②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，这与相反数不同。3．相反数（1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（2）意义：相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”结果为负，有偶数个“﹣”，结果为正。（4）规律方法总结：求一个数相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。知识点04：有理数比较大小及运算1.有理数比较大小（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（2）数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。（3）作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b。2．有理数运算（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。（2）四种技巧①转化法：将除法转化为乘法；将乘方转化为乘法；乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算。②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组进行求解。③分拆法：先将分数拆成一个整数与一个真分数的和，然后进行计算。④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律能够使计算更简便。知识点05：近似数和有效数字【高频考点精讲】1．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。2．从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。知识点06：科学记数法【高频考点精讲】（1）科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数。（2）表示较大的数用科学记数法表示较大的数，10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n。（3）表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n等于原数第一个非零数字前所有0的个数。知识点07：平方根、算术平方根、立方根【高频考点精讲】1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”。2．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作。（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数。（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算。3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作。（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，任意数都有立方根。（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。注意：“”的根指数“3”不能省略，对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一立方根。4．平方根和立方根的性质（1）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。知识点08：无理数定义及估算【高频考点精讲】1．无理数定义（1）定义：无限不循环小数叫做无理数。（2）无理数与有理数的区别①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，＝0.33333…，而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562373…②所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数则不能，比如圆周率。（3）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，比如是有理数，而不是无理数。2．估算无理数的大小估算无理数大小要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值。知识点09：实数的运算【高频考点精讲】1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等。2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.72一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•宜宾）2的相反数是（）A．﹣2 B． C．2 D．2．（2分）（2023•乐山）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A．9×108 B．9×109 C．9×1010 D．9×10113．（2分）（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．（2分）（2023•朝阳）2023的相反数是（）A． B． C．2023 D．﹣20235．（2分）（2023•淮安）下列实数中，无理数是（）A．﹣2 B．0 C． D．56．（2分）（2023•赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S7．（2分）（2023•潍坊）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c8．（2分）（2023•重庆）估计（+）的值应在（）A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间9．（2分）（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上10．（2分）（2023•荆州）已知k＝（+）•（﹣），则与k最接近的整数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为千克．12．（2分）（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作．13．（2分）（2023•青海）青藏联网工程东起青海西宁，西至西藏拉萨，被誉为“电力天路”．截至2023年5月“电力天路”已安全运行近12年，累计向西藏送电105.9亿千瓦时，数据105.9亿用科学记数法表示为．14．（2分）（2023•德州）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：（a+1）（b﹣1）0．（填“＞”“＜”或“＝”）15．（2分）（2023•郴州）计算＝．16．（2分）（2023•湖北）计算4﹣1﹣+（3﹣）0的结果是．17．（2分）（2023•德阳）2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为米．18．（2分）（2023•广元）广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为．19．（2分）（2023•宿迁）计算：＝．20．（2分）（2023•广州）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为．三．解答题（共11小题，满分60分）21．（4分）（2023•广元）计算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．（4分）（2023•西藏）计算：．（4分）（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．（4分）（2011•连云港）2×（﹣5）+23﹣3÷．（4分）（2023•沈阳）计算：（π﹣2023）0++（）﹣2﹣4sin30°．（4分）（2018•温州）（1）计算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0．化简：（m+2）2+4（2﹣m）．（6分）（2018•凉山州）计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣2018）0﹣（﹣）（+）．28．（8分）（2021•河北）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．29．（6分）（2023•广东）（1）计算：+|﹣5|+（﹣1）2023．（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次