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文档简介

海南市重点中学2024年高三第二次教学质量检查数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.2.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.3.设是虚数单位,,,则()A. B. C.1 D.24.如图,某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为()A. B. C.6 D.与点O的位置有关5.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.26.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为()A.0 B.1 C. D.8.已知函数(表示不超过x的最大整数),若有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.9.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.10.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.11.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.12.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.14.在矩形ABCD中,,,点E,F分别为BC,CD边上动点,且满足,则的最大值为________.15.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.16.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.18.(12分)设函数,(1)当,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值为1,求证:.19.(12分)如图,在四棱锥中,侧面为等边三角形,且垂直于底面,,分别是的中点.(1)证明:平面平面;(2)已知点在棱上且,求直线与平面所成角的余弦值.20.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数,.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由.21.(12分)已知函数,,(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有且仅有一个零点,且此时恒成立,求实数m的取值范围.22.(10分)如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,,交于点.求证:~.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.2、C【解析】

根据函数的奇偶性得,再比较的大小,根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得,,当时,,因为,所以在上单调递增,又在上单调递增,所以在上单调递增,,即,故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较,以及根据函数的单调性比较大小,属于中档题.3、C【解析】

由,可得,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解:,,解得:.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题,易错点是把当成进行运算.4、B【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示,几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积,即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体,是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的,正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形,顶点O在平面上,高为2,所以四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积,还原几何体的直观图是解题的关键,属于基础题.5、A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.6、B【解析】

分别取、的中点、,连接、、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,,,且、分别为、的中点,所以,,所以,,所以二面角的平面角为,,则,且,所以,,,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.7、A【解析】

根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.【详解】输入,,因为,所以由程序框图知,输出的值为.故选:A【点睛】本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.8、A【解析】

根据[x]的定义先作出函数f(x)的图象,利用函数与方程的关系转化为f(x)与g(x)=ax有三个不同的交点,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,当时,,当时,,当时,,若有且仅有3个零点,则等价为有且仅有3个根,即与有三个不同的交点,作出函数和的图象如图,当a=1时,与有无数多个交点,当直线经过点时,即,时,与有两个交点,当直线经过点时,即时,与有三个交点,要使与有三个不同的交点,则直线处在过和之间,即,故选:A.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域(最值)问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.9、B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.10、D【解析】

根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.11、A【解析】

将双曲线方程化为标准方程为,其渐近线方程为,化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得,则其渐近线方程为,整理得.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用.12、C【解析】

对于①中,根据指数幂的运算性质和不等式的性质,可判定值正确的;对于②中,构造新函数,利用导数得到函数为单调递增函数,进而得到,即可判定是错误的;对于③中,构造新函数,利用导数求得函数的最大值为,进而得到,即可判定是正确的.【详解】由题意,对于①中,由,可得,根据不等式的性质,可得成立,所以是正确的;对于②中,设函数,则,所以函数为单调递增函数,因为,则又由,所以,即,所以②不正确;对于③中,设函数,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,即,即,所以是正确的.故选:C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质,以及导数在函数中的综合应用,其中解答中根据题意,合理构造新函数,利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据三角形中位线证得,结合判断出垂直平分,由此求得的值,结合求得的值.【详解】∵,∴为中点,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.14、【解析】

利用平面直角坐标系,设出点E,F的坐标,由可得,利用数量积运算求得,再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系,如图(1)所示:设,,,即,又,令,其中,画出图形,如图(2)所示:当直线经过点时,取得最大值.故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题,解题的关键是建立恰当的坐标系,属于基础题.15、3﹣4i【解析】

计算得到z2=(2+i)2=3+4i,再计算得到答案.【详解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,则.故答案为:3﹣4i.【点睛】本题考查了复数的运算,共轭复数,意在考查学生的计算能力.16、【解析】

设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)点在定直线上.【解析】

(1)设出直线的方程为,由直线和圆相切的条件:,解得;(2)设出,运用导数求得切线的斜率,求得为切点的切线方程,再由向量的坐标表示,可得在定直线上;【详解】解:(1)依题意设直线的方程为,由已知得:圆的圆心,半径,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,即,解得或(舍去).所以;(2)依题意设,由(1)知抛物线方程为,所以,所以,设,则以为切点的切线的斜率为,所以切线的方程为.令,,即交轴于点坐标为,所以,,,.设点坐标为,则,所以点在定直线上.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线与圆的位置关系的判断,考查直线方程和圆方程的运用,以及切线方程的求法,考查化简整理的运算能力,属于综合题.18、(1)或;(2)证明见解析【解析】

(1)将化简,分类讨论即可;(2)由(1)得,,展开后再利用基本不等式即可.【详解】(1)当时,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根据,当且仅当时,等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题,考查学生基本的计算能力,是一道基础题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形是平行四边形,可得面,再由面面平行的判定可证得面面平行;(2)由(1)可知,两两垂直,故建立空间直角坐标系,可求得面PAB的法向量,再运用线面角的向量求法,可求得直线与平面所成角的余弦值.【详解】(1),,又,,,而、分别是、的中点,,故面,又且,故四边形是平行四边形,面,又,是面内的两条相交直线,故面面.(2)由(1)可知,两两垂直,故建系如图所示,则,,,,设是平面PAB的法向量,,令,则,,直线NE与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面平行的判定,以及线面角的空间向量的求解方法,属于中档题.20、(1)(2)没有,理由见解析【解析】

(1)求导,研究函数在x=0处的导数,等于切线斜率,即得解;(2)对f(x)求导,构造,可证得,得到,即得解【详解】(1)由题意得,∵曲线在点处的切线与直线平行,∴切线的斜率为,解得.(2)当时,,,设,则,则函数在区间上单调递减,在区

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