2025年中考数学思想方法复习系列 【转化思想】圆中的转化思想（解析版）

圆中的转化思想知识方法精讲1．转化思想转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系数法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。2．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．3．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．4．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．5．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．6．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．7．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．一．选择题（共6小题）1．（2021•枣庄）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，2为半径作圆弧，再分别以，为圆心，1为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【考点】正方形的性质；扇形面积的计算【分析】连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形的面积之差．【解答】解：连接，，如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，由题意可得：，经过点，且，．点，分别为，的中点，，，．弓形弓形．阴影部分的面积等于弓形的面积．．故选：．【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．2．（2021秋•覃塘区期中）如图，一张含有的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数是A． B． C． D．【考点】多边形内角与外角；剪纸问题【分析】利用三角形内角和定理求出，再根据四边形内角和定理求解即可．【解答】解：如图，，，，，故选：．【点评】本题考查剪纸问题，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．如图，在中，，，，分别以，为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．A． B． C． D．【考点】勾股定理；扇形面积的计算【分析】已知中，，，，则根据勾股定理可知，阴影部分的面积可以看作是直角三角形的面积减去两个扇形的面积．【解答】解：中，，，，，．故选：．【点评】阴影部分的面积可以看作是直角三角形的面积减去两个扇形的面积，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．4．（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．图中所示的图尺可读出的值是A． B． C． D．【考点】圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形【分析】如图，连接．只要证明，可得．【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作，连接．是直径，，，，，由刻度尺可知，，．故选：．【点评】本题考查圆周角定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．5．（2020•河北模拟）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为A． B． C． D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；三角形中位线定理；点与圆的位置关系【分析】为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大．【解答】解：如图，连接．为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大．，，，的最大值为，的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．6．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【考点】扇形面积的计算【分析】连接，作，，证明，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．【解答】解：连接，作，．，，点为的中点，，四边形是正方形，．则扇形的面积是：．，，点为的中点，平分，又，，，，，则在和中，，，．则阴影部分的面积是：．故选：．【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明，得到是关键．二．填空题（共9小题）7．（2020秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系中，，经过点．点，点在轴上，，延长，分别交于点，点，设直线与轴正方向所夹的锐角为．（1）的半径为5；（2）．【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；解直角三角形【分析】（1）结论，利用勾股定理求解即可．（2）设交轴于，过点作交于，交于，连接，，．求出，再证明即可．【解答】解：（1）连接．，，故答案为：5．（2）设交轴于，过点作交于，交于，连接，，．，，，在中，，，，，，．，，，，轴，，，，，，，．补充方法：证明时，可以这样证明：，，，，，可得结论．故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留．【考点】扇形面积的计算【分析】连接．根据图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积，列出算式即可求解．【解答】解：连接．直角中，，，，，，，三角形是等边三角形，，，图中阴影部分的面积．故答案为：．【点评】考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．9．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为．【考点】勾股定理；垂径定理的应用【分析】阴影部分面积的计算，可以转化为用圆的面积减去上面没有油的部分的面积，关键是求上面部分的面积．上面是一个弓形，它的面积可转化为扇形面积减去三角形面积．【解答】解：设油面所在的弦为圆心是，过点作于点．在中，．，，．的面积是．，扇形的面积是．上面没油的部分的面积是，阴影部分的面积是．【点评】计算不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形面积的和或差的问题．10．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是．【考点】平面展开最短路径问题；圆锥的计算；特殊角的三角函数值【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对的弦，转化为求弦长的问题．【解答】解：图扇形的弧长是，根据弧长公式得到，即扇形的圆心角是，弧所对的弦长，故答案为．【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．11．如图，已知直角扇形的半径，以为直径在扇形内作半圆，过点引交于点，则与半圆弧及所围成的阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算【分析】要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连接，根据即可得出结论．【解答】解：如图，连接．，，．又，，，，，．，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．12．如图，已知中，，，以为直径的半圆与相切于点，则图中阴影部分的面积是4．【考点】平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算【分析】连接及，根据直径所对的圆周角为直角得到角为直角，又为，得到三角形为等腰直角三角形，因为为中点，根据三线合一得到垂直于，又根据为斜边上的中线，等于斜边的一半，即可求出，根据扇形与扇形的圆心角及半径相等，得到两扇形面积相等，又三角形与三角形全等得到两三角形面积相等，用扇形减去三角形即可得到弓形与弓形的面积相等，则阴影部分面积可转化为三角形的面积，根据平行四边形的对边相等得到与相等都等于4，然后根据三角形的面积公式底乘以高除以2即可求出所求阴影部分的面积．【解答】解：连接，，为圆的直角，又，为等腰直角三角形，又为的中点，，且，，扇形与扇形的圆心角都为，半径都为2，得到，又，由为平行四边形，得到，则．故答案为4．【点评】本题考查学生会利用转化的思想把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，考查了数形结合的数学思想，同时要求学生掌握平行四边形及等腰直角三角形的性质，是一道中档题．13．已知的半径为1．弦的长为，若在上找一点，使，则75或15．【考点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值【分析】画出图形，构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得和，再求出的度数即可．【解答】解：如图，过点作，，垂足分别为，，，，由垂径定理得，，，，由勾股定理得，，，，，，当、在半径同旁时，．故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．14．如图，阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算【分析】先根据题意得到扇形的面积等于扇形的面积，即图形1的面积等于图形3的面积，通过割补的方法可知阴影部分的面积图形1的面积图形3的面积正方形的面积．【解答】解：如图，四边形和四边形为正方形，且边长为那么扇形的面积等于扇形的面积所以图形1的面积等于图形3的面积则阴影部分的面积图形1的面积图形3的面积正方形的面积．【点评】主要考查了通过割补法把不规则图形转化为规则图形求面积的方法．本题的关键是利用面积之间的等量代换得到阴影部分的面积图形1的面积图形3的面积正方形的面积．15．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是．【考点】正方形的性质；扇形面积的计算【分析】无阴影部分的两部分的面积之差，可以由图中的几个部分面积之间的转化求解．【解答】解：无阴影的两部分可分为1、2两部分，面积之差，如下图所示：由图形可知，，由上式可得，，所以本题应该填．【点评】本题考查图形面积之间的转化关系．三．解答题（共6小题）16．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，延长至点，使，连结，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求．【考点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形【分析】（1）根据圆周角定理求得，进而根据等腰三角形的性质得出，通过证得得出，，即可证得结论；（2）连接，由圆周角定理得出，设菱形的边长为，则，根据勾股定理列出，即，求出，可得结论．【解答】（1）证明：是直径，，，，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形为菱形；（2）解：，，连接，则，设菱形的边长为，则，，即解得或（舍去），，．【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．17．（2021•滨城区一模）如图，在中，，，点在上，以为直径的经过点．（1）求证：①是的切线；②；（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．【考点】圆的综合题【分析】（1）①连接，根据圆周角定理推出，并根据平行线的判定得出，从而得到即可证明是的切线；②连接，，根据同角的余角相等推出，并得到，再根据相似三角形的性质即可证明；（2）连接、、，根据题意由圆心角定理推出和是等边三角形，并得出相关角的大小即边之间的关系，进而根据全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为扇形的面积进行求解即可．【解答】（1）①证明：如图1，连接，，，（圆周角定理），，，根据题意可知，，是的切线．②如图2，连接，，为直径，，，，由（1）可知，，在和中，，，，故．（2）如图3，连接、、，和交于点，则，根据题意点是劣弧的中点，且，，和是等边三角形，，，由（1）可知，，在和中，，，，．【点评】本题考查圆的综合运用，解题的关键是证明从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，通常要结合圆周角定理及圆心角定理求解各角、各边之间的关系．18．（2021•罗平县模拟）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点，交于点，连接、、，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．【考点】圆的综合题【分析】（1）由证明即可得到结果；（2）证明即即可得证；（3）把转化为，设，用表示出半径，再由的面积比等于相似比平方可得到答案．【解答】解：（1）证明：，又，，于点，，，，即，，是的切线；（2），，，，，，；（3）为直径，，，，，，在中，，设，则，，于点，，，由（2）知，，而，，，设，则，的面积为，而的面积为，．【点评】本题考查圆的切线、相似三角形判定及性质，难度较大，解题的关键是将转化为．19．（2021•商河县校级模拟）（1）初步思考：如图1，在中，已知，，为上一点且，试证明：（2）问题提出：如图2，已知正方形的边长为4，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形的边长为4，，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，求的最大值．【考点】圆的综合题【分析】（1）通过相似三角形的性质证得结论；（2）如图2中，在上取一点，使得．由，推出，推出，推出，由，当、、共线时，的值最小，最小值为．由；（3）如图3中，在上取一点，使得，作于．解法类似（2）；【解答】（1）证明：如图1，，，，，．．．又，．．；（2）如图2，在上取一点，使得，（3）同（2）中证法，如图3，当点在的延长线上时，的最大值，最大值为．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．20．问题提出（1）如图1，正方形的对角线交于点，是边长为6的等边三角形，则、之间的距离为；问题探究（2）如图2，在边长为6的正方形中，以为直径作半圆，点为弧上一动点，求、之间的最大距离；问题解决（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图3所示）的门窗是由矩形及弓形组成，，，弓高为的中点，，小宝说，门角到门窗弓形弧的最大距离是、之间的距离．小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角到门窗弓形弧的最大距离．【考点】圆的综合题【分析】（1）如图1，连接，，对角线交点为，连接交于，证明垂直平分，四边形为正方形，分别求出和的长度即可；（2）如图2，补全，连