2025年中考数学思想方法复习系列 【转化思想】函数中的转化思想（解析版）

函数中的转化思想知识方法精讲1．转化思想转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系数法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。2．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．3．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．5．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．8．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．9．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．一．选择题（共12小题）1．（2021秋•余杭区月考）某二次函数的图象与函数的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为，则该二次函数表达式为A． B． C． D．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质【分析】设抛物线的解析式为，由条件可以得出，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．【解答】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线的相同，，，顶点坐标是，，这个函数解析式为．故选：．【点评】本题考查了根据顶点坐标运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键．2．（2021•市中区三模）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到，再利用方程在的范围内有实数根，则且或且，然后解不等式确定的范围．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，解得，关于的一元二次方程为实数）化为，关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，且或且，解得或，综上所述，的范围为．故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．（2021•榆阳区模拟）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出，则可把关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根转化为抛物线为实数）在的范围与轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到△且时，，即，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，解得，关于的一元二次方程变形为，把关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根转化为抛物线为实数）在的范围与轴有交点（如图），△且时，，即，解得．故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．4．（2020秋•郯城县期末）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则和有交点，进而求解．【解答】解：，解得，设，则该函数的开口向上，顶点坐标为，则比离函数的对称轴远，当时，，而一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则和有交点，故，故选：．【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．5．（2021•寻乌县模拟）抛物线的对称轴为直线．若关于的方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．【解答】解：的对称轴为直线，，，一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，方程在的范围内有实数根，当时，；当时，；函数在时有最小值2；．故选：．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．6．（2021•启东市模拟）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，，一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点，方程在的范围内有实数根，当时，；当时，；函数在时有最大值4；．故选：．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．7．二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】根的判别式；二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】先求出，确定二次函数解析式，关于的一元二次方程的解可以看成二次函数与直线的交点，时，进而求解．【解答】解：对称轴为直线，，，关于的一元二次方程的解可以看成二次函数与直线的交点，，二次函数的取值为，；故选：．【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．8．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点【分析】根据对称轴求出的值，从而得到、3时的函数值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答．【解答】解：抛物线的对称轴，，则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标，方程在的范围内有实数解，当时，，当时，，又，抛物线的对称轴为，最小值为，当时，则，当时，直线与抛物线在的范围内有交点，即当时，方程在的范围内有实数解，的取值范围是，故选：．【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程在的范围内有实数解，转化为函数与直线在的范围内有交点的问题进行解答．9．二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点【分析】利用对称性方程求出得到抛物线解析式为，则顶点坐标为，再计算当时对应的函数值的范围为，由于关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数解可看作二次函数与直线有交点，然后利用函数图象可得到的范围．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，则顶点坐标为，当时，；当时，，当时，，而关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数解可看作二次函数与直线有交点，．故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．（2020•日照二模）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个实数根，则的取值范围是A．或 B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】根据二次函数的对称轴求得值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数）在的范围内有实数根可以看作与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线．，解得：，，一元二次方程有实数根可以看作与函数只有一个交点，方程为实数）在的范围内只有一个实数根，当时，；当时，；当时，；当时，就是过顶点时也是一个实数根．的取值范围是或者．故选：．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．11．（2020春•越秀区校级月考）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】根据二次函数的对称轴求得值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数）在的范围内有实数根可以看做与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线．，解得：，，一元二次方程有实数根可以看做与函数有交点，方程为实数）在的范围内有实数根，当时，；当时，；当时，；的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．12．（2020•泉州模拟）二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出，则可把关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根转化为抛物线为实数）在的范围与轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到△且时，，即，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，解得，关于的一元二次方程变形为，把关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根转化为抛物线为实数）在的范围与轴有交点（如图），△且时，，即，解得．故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．二．填空题（共6小题）13．如图是，二次函数的图象，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．【考点】根的判别式；抛物线与轴的交点【分析】先利用二次函数的性质得到时，有最大值4，再计算出时，，由于关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，然后利用函数图象可得到的范围．【解答】解：，当时，有最大值4，当时，，关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，所以的范围为．故答案为．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．14．（2021•南关区校级二模）如图，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】先利用抛物线的对称轴求出得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和4对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时，的范围即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，当时，；当时，，当时，，在时有公共点时当直线与抛物线在时有公共点时，，故答案为．【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．15．（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．【解答】解：的对称轴为直线，，，一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，方程在的范围内有实数根，当时，；当时，；函数在时有最小值4；．故答案为．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．16．（2020•立山区二模）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当时，的取值范围，然后令，即可转化为方程，从而可以得到的取值范围．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，得，，当时，的取值范围是，当时，，即，关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17．（2020•浙江自主招生）已知，当时，恒成立，那么实数的取值范围是．【考点】：图象法求一元二次方程的近似根【分析】根据，得出两个不等式：当时，；当时，；分别解不等式，，可求实数的取值范围．【解答】解：，，当时，，由，得；当时，，由，得．实数的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题考查了用二次函数的方法求自变量的取值范围．关键是分类列不等式，分别解不等式．18．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．．【考点】二次函数的图象；二次函数与不等式（组【分析】根据对称轴求出的值，从而得到、4时的函数值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论．【解答】解：对称轴为直线，，二次函数解析式为．当时，；当时，；当时，．相当于与直线的交点的横坐标，当时，在的范围内有解．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．三．解答题（共5小题）19．（2021秋•槐荫区期末）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当，或当时函数图象位于轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：，或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和．（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．（2）用类似的方法解一元二次不等式：．【考点】抛物线与轴的交点；二次函数与不等式（组【分析】（1）解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想；（2）先求方程的解，再结合二次函数的大致图象，根据图象在轴下方的部分确定的取值范围即可得不等式的解集．【解答】解：（1）根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想，故答案为①，③（2）解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如下图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．【点评】本题考查的二次函数与一元二次不等式的关系，根据转化思想将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键．20．（2020秋•历下区期末）如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点．（1）求、和的值；（2）求的面积；（3）过动点作轴的垂线与直线、，分别交于、两点，且．①求的取值范围；②当的面积是的面积的时，求的长度．【考点】一次函数综合题【分析】（1）可先求得点坐标，再由、两点的坐标，解方程组可得出答案；（2）由三角形面积公式可得出答案；（3）①用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，由条件可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；②由条件可知点应在轴左侧，当点在线段上时，则可知，则可求得点到轴的距离；当点在线段的延长线上时则可知，可求得到轴的距离；再利用①中的长可求得答案．【解答】解：（1）点在直线直线上，，即，把、的坐标代入可得，解得，，，；（2）直线交轴于点，，，，；（3）①轴，、的横坐标为，设、的纵坐标分别为和，由（1）可知直线的函数表达式为，，，当在点左侧时，此时，则有，，，解得，此时；当在点的右侧时，此时，则有，，，解得，此时；当时，也符合题意，综上可知当时，；②由（2）可知，由题意可知点只能在轴的左侧，当点在线段上时，过点作轴于点，如图1，，，即，解得，点的横坐标为，即，；当点在线段的延长线上时，过点作轴于点，如图2，，，，即，解得，点的横坐标为，（不合题意舍去），综上可知的长度为．【点评】本题是一次函数综合题，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、分类讨论思想等知识．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．21．（2021秋•惠民县月考）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：01234023320（1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：抛物线的对称轴是（答案不唯一）；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线与轴的交点分别为、在的左侧）与轴的交点为，其对称轴与轴的交点为，在抛物线的对称轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标；（4）在（3）的条件下，抛物线上有一点，使的内心在轴上，直接写出点的坐标．【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据表格中给出点的坐标可得出答案；（2）由待定系数法可求出答案；（3）根据勾股定理求出的长，由等腰三角形的性质可求出答案；（4）先作出点关于轴的对称点，然后连接并延长交抛物线于点，根据对称性可知为所求的点．【解答】解：（1）抛物线经过，，抛物线的对称轴是；故答案为：抛物线的对称轴是（答案不唯一）；（2）抛物线经过，，，，解得，抛物线的解析式为；（3）如图1，抛物线，抛物线的对称轴，，，，在中，由勾股定理得，是以为腰的等腰三角形，，如图所示，作对称轴于，，，，，，，，．（4）如图2．作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点，由图形的对称性可知为所求的点，设直线的解析式为，由题意得：，解得：，直线的解析式为，将直线和抛物线的解析式联立得：，解得（舍去）或，．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，三角形内心的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2