2025年中考数学思想方法复习系列 【整体思想】解方程中的整体思想（解析版）

解方程中的整体思想知识方法精讲1．整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以。2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．3．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．4．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．5．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．6．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．7．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．8．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．9．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．一．选择题（共3小题）1．（2021秋•沙坪坝区校级期中）关于、的二元一次方程组的解满足，则的值是A．2 B． C． D．3【考点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组【分析】将两个方程作差，可得，从而解方程即可．【解答】解：原方程组中两个方程作差可得，，整理得，，由题意得方程，，解得，，故选：．【点评】此题考查了解决含有字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能应用整体思想进行求解．2．（2020秋•岳西县期末）若方程组的解为，则方程组的解为A． B． C． D．【考点】解二元一次方程组；二元一次方程组的解【分析】由整体思想可得，求出、即可．【解答】解：方程组的解为，方程组的解，，故选：．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．3．（2021•越秀区校级一模）关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为A． B． C． D．【考点】二元一次方程组的解【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，、分别相当于原方程组中的、，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①②，得：，，①②，得：，，所以方程组的解为，故选：．【点评】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于、的方程组．二．填空题（共5小题）4．（2021秋•黄骅市期末）已知x，y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．（1）x﹣y的值为1；（2）若x2+y2＝6，则xy的值为．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】（1）把x﹣y看成一个整体，利用完全平方公式求解；（2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论．【解答】解：（1）∵（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．∴（x﹣y﹣1）2＝0．∴x﹣y﹣1＝0．∴x﹣y＝1．故答案为：1．（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝6﹣12＝5．∴xy＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程、完全平方公式等知识点．掌握一元二次方程的因式分解法及完全平方公式的变形是解决本题的关键．5．（2021秋•芜湖期末）观察下列方程：①；②；③，可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于的方程为正整数）的解或．【考点】解分式方程；分式方程的解【分析】将所求方程化为，再将作为整体求解即可．【解答】解：方程可化为，，令，则，由题意可得，，或，故答案为：或．【点评】本题考查分式方程的解，通过观察发现方程的根与系数之间的关系，再由整体思想进行解方程即可．6．（2021春•常熟市期中）在解决以下问题：“已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解”的过程中，甲、乙两位同学分别提出了各自的想法．甲说：“两个方程组外表很相似，且它们的系数有一定的规律，可以试试．”乙说：”能不能把第二个方程组中的两个方程利用等式性质加以变形，再利用整体思想通过换元的方法来解决．”参考他们俩的讨论内容，你认为该方程组的解是8，．【考点】二元一次方程组的解【分析】把代入原方程，进行变形，解答即可．【解答】解：原方程的解为：，原方程可化，方程①②两边都乘4，得：，，．故答案为：8，12．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解法和应用知识的掌握，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．7．（2021秋•花都区期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是．【考点】一元二次方程的解【分析】由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值，从而得解．【解答】解：是一元二次方程的一个根，，．．故答案为：．【点评】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将代入原方程，利用整体思想求解．8．（2020秋•自贡期末）关于的方程的两个解为，；的两个解为，，则关于的方程的两个解为或．【考点】解分式方程；分式方程的解【分析】将所求方程化为，由已知可得或，再对所求的根进行检验即可求解．【解答】解：可化为，的两个解为，，或，解得或，经检验或是分式方程的解，的解为或，故答案为：或．【点评】本题考查分式方程的解，理解题意，能够求出方程的根，对所求的根进行检验，运用整体的数学思想解题是关键．三．解答题（共11小题）9．（2021春•娄底期中）已知关于、的二元一次方程组的解是，求关于、的二元一次方程组的解．【考点】二元一次方程组的解【分析】对比两个方程组，可得就是第一个方程组中的，即，同理：，可得方程组解出即可．【解答】解：关于、的二元一次方程组的解是，关于．的二元一次方程组满足，解得．故关于．的二元一次方程组的解是．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．10．（2021秋•昌江区校级期中）解方程组：（1）；（2）；（3），求的值．【考点】解分式方程；多元一次方程组【分析】（1）令，，解方程组，求出、再求解方程组即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可；（3）先将五个方程相加得到，再分别求出，，即可求解．【解答】解：（1），令，，原方程可化为，①②，得，解得，将代入①得，，，③④，得，解得，将代入③，得，经检验，是方程的解，原方程的解为；（2），②①，得，将代入②，得，原方程的解为；（3），①②③④⑤得，，⑦，④⑦，得，⑤⑦，得，．【点评】本题考查多元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法解多元一次方程组的方法是解题的关键．11．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值．按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值．（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值．请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，．解得：，又，．．把，代入方程②，得．所以的值为或．请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．【考点】解一元一次方程；二元一次方程的解；二元一次方程组的应用【分析】（1）由两种方法分别得出，求解即可；（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可．【解答】解：（1）方法一：②得：③，由③①得：，，，解得：；方法二：由①②得：③，由②③得：，，，解得：（方法不唯一）；（2）“小勇同学的解答”错误，理由如下：令，，求出的、的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的、求出的值不一定适合方程组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，和、之间对应的数量关系才能成立，这时，求得的才是正确答案；另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求新颖的解题方法．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出是解题的关键．12．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，，把代入①得，方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知，满足方程组，求与的值；（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．【考点】解一元一次方程；解二元一次方程组【分析】（1）把第2个方程变形为，则利用整体代换消去，求出的值，然后利用代入法求出得到方程组的解；（2）对方程组进行变形，则利用整体代换求出的值，把的值代入第一个方程，得；（3）确定符合的所有整数解，然后对进行验证，从而求解．【解答】解：（1），将方程②变形，，即③，把方程①代入③，得：，解得：，把代入①，得：，解得：，方程组的解为；（2），将方程组变形，得：，将④③，得：，解得：，将代入④，得：，；的值为17，的值为2；（3）由（2）可得，当，均为整数时，或或或，当，时，，当，时，，当，时，，（故舍去），当，时，，（故舍去），在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为或．【点评】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．13．（2019秋•吉州区期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即③把方程①代入③得：，，所以代入①得，方程组的解为，请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，（2）已知，满足方程组，求的值和的值．【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可；（2）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解得到与的值，再利用完全平方公式及平方根定义求出的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：（1）把方程②变形：③，把①代入③得：，即，把代入①得：，则方程组的解为；（2）由①得：，即③，把③代入②得：，解得：，，，或，则原式．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即，③把方程①代入③，得．．把代入①，得．原方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：（2）已知，满足方程组，求的值．【考点】解二元一次方程组【分析】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出的值，即可确定出的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．【解答】解：（1）由②得：③，把①代入③得：，解得：，把代入①得：，则方程组的解为；（2）由①得：③，由②得：④，③④得：，解得：．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15．（2021春•饶平县校级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为；乙看错了方程②中的得到方程组的解为，若按正确的，计算，请你求原方程组的解．【考点】二元一次方程组的解【分析】把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求出解即可．【解答】解：把代入②得：，即；把代入①得：，即，方程组为，整理得：，①②得：，解得：，把代入①得：，则方程组的解为．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．（2020春•南关区月考）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是．（A）由①，得，代入②，先消去，求出，再代入求解．（B）将①代入②，得，解得，再代入求解．探究：解方程组．应用：若关于，的二元一次方程组的解中的是正数，则的取值范围为．【考点】解二元一次方程组；二元一次方程组的解；解一元一次方程；解一元一次不等式【分析】感知：根据题目中的解答过程可知（B）种方法简答；探究：根据感知中的解答方法可以解答此方程组；应用：根据感知中的方法，可以用含的代数式表示出，再根据方程组的解中是正数，从而可以求得的取值范围．【解答】解：感知：由题目中的解答过程可知，最佳的方法是（B），故答案为：（B）；探究：，将①代入②，得，解得，，将代入①，得，故原方程组的解是；应用：，将①代入②，得，解得，，关于，的二元一次方程组的解中的是正数，，解得，，故答案为：．【点评】本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．17．（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组，则，；（2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．【考点】实数的运算；代数式求值；二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组【分析】（1）将两方程相加可求的值，将