2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】数与式中的新定义问题（原卷版）

数与式中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．4．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．5．取整函数取整函数．不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．（需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点做右边的部分，{x}指的是x小数点右边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此时{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7）取整函数的图象一般都有跳跃性．一．选择题（共6小题）1．（2021秋•南沙区期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是A．4 B．或4 C．0或4 D．1或42．（2021秋•洪山区期末）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有个．①；②；③若，则；④；A．4 B．3 C．2 D．13．（2020秋•安新县期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为A．7 B． C．1 D．4．（2021秋•六盘水月考）对于有理数，，定义，则化简后得A． B． C． D．5．（2021秋•瑞安市月考）格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法类比大全》一书中提出，例如图1所示计算，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来，即得5785．现用格子乘法进行如图2计算，问：根据该计算得到的最终结果是A．3056 B．3058 C．4056 D．40586．（2021秋•德城区校级月考）对于正整数，我们定义一种“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果，并且运算重复进行．例如，取，则若，则第2019次运算的结果是A．2018 B．2017 C．2 D．1二．填空题（共7小题）7．（2021秋•海曙区期末）对实数、规定一种新运算△，若△，则方程△的解是．8．（2021秋•顺义区期末）对于任意的正数，，定义运算“”如下：，计算的结果为．9．（2021秋•迁安市期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为．10．（2021秋•金牛区期末）规定“”是一种新的运算符号：，已知，则．11．（2021秋•成都期末）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么．12．（2021秋•福田区校级期末）规定：符号叫做取整符号，它表示不超过的最大整数，例如：，，．现在有一列非负数，，，，已知，当时，，则的值为．13．（2021•金凤区二模）定义新运算：对于任意实数，，都有⊕，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕．（1）2⊕．（2）若⊕等于，则．三．解答题（共13小题）14．（2021秋•顺德区期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定．（1）求的值；（2）若，求的最大整数；（3）若关于的方程满足：，求的值；（4）若，，且，求的值．15．（2021秋•门头沟区期末）对于任意两个非零实数，，定义运算如下：．如：，．根据上述定义，解决下列问题：（1），；（2）如果，那么；（3）如果，求的值．16．（2021秋•通州区期末）现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的两个数作差再取绝对值．图1是小欢两次操作的示意图：（1）图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全；（2）在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0，我们就称其进入了“稳定状态”．请将1，2，3，4以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；（3）1，3，6，这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上．如果通过三次操作进入“稳定状态”，请直接写出所有满足条件的值．17．（2021秋•鲁甸县期末）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数、，规定：△，例如：1△．（1）求△3的值；（2）求△3的值；（3）若△，求的值．18．（2021秋•武昌区期末）知识背景：已知，为有理数，规定：（a），（b），例如：，．知识应用：（1）若（a）（b），求的值；（2）求的最值；知识迁移：若有理数，，满足，且关于的方程有无数解，，求的值．19．（2021秋•北京期末）我们规定：使得成立的一对数，为“积差等数对”，记为．例如，因为，，所以数对，都是“积差等数对”．（1）下列数对中，是“积差等数对”的是；①；②；③，．（2）若是“积差等数对”，求的值；（3）若是“积差等数对”，求代数式的值．20．（2021秋•工业园区期末）对于任意有理数、，如果满足，那么称它们为“伴侣数对”，记为．（1）若是“伴侣数对”，求的值；（2）若是“伴侣数对”，求的值．21．（2021•九龙坡区校级模拟）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例如：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，则：．（1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出的值；（2）若自然数，都是“差同数”，其中，，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值．22．（2021•宁波模拟）规定一种新运算※．（1）求※2的值；（2）这种新运算满足交换律吗？若不满足请举反例，若满足请说明理由．23．（2020•河北一模）有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数，，都有☆．例如7☆．（1）已知☆3的结果是，则．（2）将两个实数和用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则的值是多少？24．（2021秋•海淀区校级期末）在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”；，时，是的“反比点”．（1）若，则对应的数为，下列说法正确的是（填序号）．①是的“正比点”；②是的“反比点”；③是的“正比点”；④是的“反比点”；（2）若，且是的“正比点”，求的值；（3）若，且既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．25．（2021秋•西城区校级期末）