2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】平面直角坐标系中的数形结合思（原卷版）

平面直角坐标系中的数形结合思想知识方法精讲1．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.4.数形结合思想数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"线与方程的对应关系；（4）所给的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式问题中，在求函数的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。一．选择题（共2小题）1．（2021秋•瑞安市月考）如图，这是某所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，实验楼位置的坐标是，则图书馆位置的坐标是A． B． C． D．2．（2021春•姑苏区校级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥距离为A． B． C． D．二．填空题（共10小题）3．（2020•贺州）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度（米与水平距离（米之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．4．（2021•二道区校级一模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为．5．（2020秋•瑞安市期末）如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形高米，直杆米，斜拉杆，起稳固作用，点处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线可近似看成抛物线的一部分，为抛物线的最高点且位于主席台边缘的正上方，若点，，在同一直线上，且米，米，，则射灯离地面的高度为米．6．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的处，则小丁此次投掷的成绩是米．7．（2020秋•路南区期末）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为．8．（2020秋•江都区期末）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图，图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则的长度是．9．（2020•鹿城区二模）图1是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是；此时杯体内液体的最大深度为．10．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，、为拱桥底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为．11．（2020秋•兴城市期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．12．（2020秋•甘南县期末）在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为，水面宽，与轴交于点，，当水面上升时，水面宽为．三．解答题（共12小题）13．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心点的位置，写出点的坐标为；（2）连接、，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为；（3）连接，将线段绕点旋转一周，求线段扫过的面积．14．（2021秋•芗城区校级期中）【初步探究】（1）如图1，在四边形中，，是边上一点，，，连接、．请判断的形状，并说明理由．【问题解决】（2）若设，，．试利用图1验证勾股定理．【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点的坐标．15．（2021秋•孝南区月考）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，点是轴上一点，且满足．（1）求出，两点坐标；（2）连接，以线段为直角边，在右侧作等腰直角三角形，点为直角顶点，连接，求的面积；（3）点是轴上一动点，点为轴上一动点，若、各自同时从原点出发沿轴正半轴、轴正半轴运动，点运动的速度是每秒1个单位，点运动的速度每秒2个单位；请求出多少秒时的面积正好是（2）中的面积的．16．（2021秋•荔城区校级期中）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．（1）如图（1），若，，求点的坐标；（2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；（3）如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？若有，请直接写出结论；若没有，请说明理由．17．（2021秋•瑞安市月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，于点，交轴于点．（1）求证：．（2）点在线段上，作交于点，连结．①若是的中点，求的面积．②连结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．18．（2021秋•诸暨市期中）【了解概念】在凸四边形中（内角度数都小于，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．【理解应用】（1）邻等四边形中，，，则的度数；（2）如图，四边形为邻等四边形，为邻等边，且，求证：；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与轴重合，已知，，，若在边上使的点有且只有1个，求的值．19．（2021秋•吉安期中）画出关于轴对称的图形△，求：（1）△三个顶点的坐标；（2）△的面积．（3）在轴上画出点，值最小（不写作法，保留作图痕迹）．20．（2021•杭州模拟）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线，这时水面宽为．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？21．（2020秋•肥西县期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点的距离．22．（2020秋•鄞州区期末）如图1．游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头．如图2，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱高度与水柱距离喷水池中心的水平距离之间的关系画出部分图象．水柱距离喷水池中心的水平距离025810水柱的高度46.4740（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在