2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】不等式（组）中的分类讨论思想（解析版）

不等式（组）中的分类讨论思想知识方法精讲1．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．2．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．3．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．4.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共1小题）1．（2021春•鼓楼区校级期末）解不等式时，我们可以将其化为不等式组或得到的解集为或，利用该题的方法和结论，则不等式的解集为A． B． C． D．或【考点】解一元一次不等式组【分析】根据已知不等式得出不等式组，求出不等式组大的解集即可．【解答】解：，原不等式化为：或，解得：或，故选：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能求出符合的所有情况是解此题的关键．二．填空题（共7小题）2．（2021春•涪城区校级月考）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围为或．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解为，，或，，，，，0，1，2，再根据解集确定的取值范围．【解答】解：解不等式组得：，所有整数解的和是，不等式组的整数解为，，或，，，，，0，1，2，或；故答案为：或．【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．3．（2021春•郫都区校级期中）若关于的不等式组的所有整数解的和是15，则的取值范围是或．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15，可以确定整数解为6，5，4这四个数，再根据解集确定的取值范围．【解答】解：解不等式组得：，所有整数解的和是15，，，5，4，因此不等式组的整数解为①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，，，，或；故答案为：或．【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．4．（2020•拱墅区一模）已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，则的取值范围是或．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为，关于的不等式组的所有整数解的和为7，当时，这两个整数解一定是3和4，，，当时，整数解是，，0，1，2，3和4，，，的取值范围是或．故答案为：或．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键．5．（2021秋•让胡路区期末）若关于的不等式组，恰有2个整数解，则的取值范围为．【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组的整数解有2个，，故答案为：．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2020秋•芙蓉区月考）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，的取值范围是或．【考点】：一元一次不等式组的整数解【分析】解不等式组得出，根据不等式的所有整数解的和为知不等式组的整数解为、、或、、，，0，1，据此可得或，解之即可得出答案．【解答】解：解不等式，得：，，不等式组的解集为，不等式的所有整数解的和为，不等式组的整数解为、、或、、，，0，1，则或，解得或，故答案为：或．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的能力，并根据不等式组的整数解情况得出关于的不等式组．7．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是或．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为，知不等式组的整数解为、或、、、、0、1、2，据此求解可得．【解答】解：解不等式，得：，不等式组的整数解的和为，不等式组的整数解为、或、、、、0、1、2，则或，故答案为：或．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．若关于的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是或．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为18，可以确定整数解为6，5，4，3这四个数，再根据解集确定的取值范围．【解答】解：解不等式组得：，所有整数解的和是18，，5，4，3，因此不等式组的整数解为①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，，或；故答案为：或．【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．三．解答题（共12小题）9．（2021秋•西城区校级期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点、表示的数为，时，点与点之间的距离为．根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点、表示的数分别是，、两点的距离用表示），点是数轴上一个动点，表示数．（1）12个单位长度；（2）若，求的值；（写过程）（3）若关于的方程无解，则的取值范围是．【考点】绝对值；数轴【分析】（1）用两个点所表示的数的差的绝对值进行计算即可；（2）分三种情况讨论，，，；（3）分四种情况讨论，，，，，【解答】解：（1），所以，故答案为：12；（2）分三种情况：当时，，，解得：，当时，，，此方程无解，当时；，，解得：，答：的值为或12；（3）分四种情况：当时，，，解得：，，解得：，当时，，，解得：，，解得：，当时，，，解得：，，解得：，当时，，，解得：，，解得：，综上所述：时方程有解，所以：时方程无解，故答案为：．【点评】本题考查了数轴和绝对值的意义，同时渗透了分类讨论的数学思想．10．（2021秋•平谷区校级期中）若分式值为正，求的取值范围．关于这道题，某同学根据分式即除法，根据除法处理符号的原则，同号相除得正，得，求得．根据这位同学的做法，若，求的取值范围．若，求的取值范围．若，求的取值范围．【考点】解一元一次不等式；分式的乘除法；分式有意义的条件【分析】根据所给例题，结合分式的性质进行解题即可．【解答】解：，，解得；，，，解得；，或，解得或；故答案为：；；或．【点评】本题考查分式不等式的解法，理解题意，利用分式的性质，并能根据情况分类讨论解不等式是解题的关键．11．（2021春•薛城区期末）例：解不等式解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”得①，或②，解不等式组①得，，解不等式组②得，，所以原不等式的解集为或．阅读例题，尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式；（2）类比运用：若分式的值为负数，求的取值范围．【考点】实数的运算；多项式乘多项式；分式的值；解一元一次不等式组【分析】（1）根据题目所给信息，进行计算，，当或时即可得出答案；（2）根据两数相除，异号得负，可得或解不等式组即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可知，，，不等式的解集为或；（2）由实数的运算法则：“两数相除，异号得负”，得，或，解不等式组①得，，解不等式组②得，无解，所以若分式值为负数，则应满足，所以原不等式的解集为．【点评】本题主要考查了分式的值及解一元一次不等式组，正确理解题目所给的信息进行计算是解决本题的关键．12．（2021春•西城区校级月考）阅读材料：解分式不等式．解根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解不等式组①得无解，解不等式组②得，所以原不等式的解集是．请仿照上述方法解下面的分式不等式：（1）；（2）．【考点】实数的运算；解一元一次不等式；解一元一次不等式组【分析】（1）将不等式转化为①或②，再分别求解即可；（2）将不等式转化为①或②，再分别求解即可．【解答】解：（1）原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②，解不等式组①得，所以该不等式组的解集为．解不等式组②得，所以该不等式组的解集为．所以原不等式的解集为或．（2）原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②，解不等式组①得，所以该不等式组的解集为．解不等式组②得，所以该不等式组无解．所以原不等式的解集为．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是将原不等式转化为一元一次不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和依据．13．（2021春•三元区校级月考）先阅读理解下面的例题，再按要求完成后面的问题：例：解不等式．解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：①或②，解不等式组①，得：；解不等式组②，得：．所以的解集为或．根据上述方法解答下列问题：（1）解一元二次不等式；（2）解不等式．【考点】有理数的乘法；解一元一次不等式；解一元一次不等式组【分析】（1）利用因式分解法得到，则原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可；（2）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可．【解答】解：（1），原不等式可转化为①或②，解不等式组①，，解不等式组②，，即一元二次不等式的解集为或；（2）原不等式可转化为①或②，解不等式组①，，解不等式组②无解，即分式不等式的解集为．【点评】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除，同号得正，异号得负的取符号法则．14．（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②解不等式组①得：．解不等式组②得．不等式的解集为或．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．【考点】多项式乘多项式；解一元一次不等式组【分析】（1）将不等式转换为两个不等式组①或②，分别求解；（2）将不等式转换为两个不等式①或②，分别求解；【解答】解：（1）可得：①或②，解不等式①得：无解；解不等式组②得：；不等式的解集为：；（2）可得：①或②，解不等式①得：；解不等式组②得：；不等式的解集为：或；【点评】本题考查二元一次不等式的解法；能够将二元一次不等式转化为一元一次不等式组是解题的关键．15．（2021秋•龙凤区期中）先阅读理解，再解答问题．解不等式：解：把不等式进行整理，得，即．则有（1），或（2）．解不等式组（1），得；解不等式组（2），得其无解．所以原不等式的解集为．请根据以上解不等式的方法解不等式：．【考点解一元一次不等式；解一元一次不等式组【分析】利用题中的解法，把原不等式化为．再利用有理数的性质得到，或，然后解两个不等式组即可．【解答】解：原不等式进行整理，得，即．则有（1），或（2），解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，所以原不等式的解集为或．【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．（2021春•丰台区校级期末）已知实数是不等于3的常数，解不等式组并依据的取值情况写出其解集．【考点】解一元一次不等式组【分析】先分别解两个不等式得到和，然后通过讨论与3的大小确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，因为实数是不等于3的常数，所以当时，不等式组的解集为；当时，不等式组的解集为．【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17．（2021春•西秀区期末）阅读理解题：阅读：解不等式解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或解不等式组得：解不等式组得：所以原不等式的解集为：或问题解决：根据以上阅读材料，解不等式．【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组【分析】根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解．【解答】解：解不等式组，不等式组无解；解不等式组，解得．总之，不等式的解集是：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（2021春•武城县期末）感知：解不等式．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组①，或不等式组②．解不等式组①，得；解不等式组②，得，所以原不等式的解集为或．探究：解不等式．应用：不等式的解集是．【考点】解一元一次不等式组【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式；（2）先把不等式转化为不等