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文档简介
PAGE1同角三角函数的基本关系考纲定位重难突破1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,eq\f(sinα,cosα)=tanα.2.会利用这两个公式求三角函数式的值,化简三角函数式或证明三角恒等式.重点:同角三角函数的基本关系.难点:利用基本关系式化简,求值,证明.授课提示:对应学生用书第57页[自主梳理]同角三角函数的基本关系式[双基自测]1.下列各项中可能成立的一项是()A.sinα=eq\f(1,2)且cosα=eq\f(1,2)B.sinα=0且cosα=-1C.tanα=1且cosα=-1D.α在其次象限时,tanα=-eq\f(sinα,cosα)答案:B2.已知cosα=eq\f(4,5),且α是第四象限角,则sinα等于()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,5)C.-eq\f(4,5) D.-eq\f(3,5)解析:∵cosα=eq\f(4,5),且α为第四象限角,∴sinα=-eq\r(1-cos2α)=-eq\r(1-\f(4,5)2)=-eq\f(3,5).答案:D3.已知sinx=eq\f(m-3,m+5),cosx=eq\f(4-2m,m+5),且x∈(eq\f(3π,2),2π),则m=________.解析:由sin2x+cos2x=1,得(eq\f(m-3,m+5))2+(eq\f(4-2m,m+5))2=1,解得m=0或8.因为x∈(eq\f(3π,2),2π),所以sinx<0,cosx>0,当m=0时,sinx=-eq\f(3,5),cosx=eq\f(4,5),符合题意;当m=8时,sinx=eq\f(5,13),cosx=-eq\f(12,13),不符合题意.所以m=0.答案:0授课提示:对应学生用书第57页探究一利用同角三角函数关系求值[典例1](1)若sinα=-eq\f(4,5),且α是第三象限角,求cosα,tanα的值;(2)已知tanα=2,求eq\f(2sinα-2cosα,4sinα-9cosα)的值.[解析](1)∵sinα=-eq\f(4,5),α是第三象限角,∴cosα=-eq\r(1-sin2α)=-eq\r(1--\f(4,5)2)=-eq\f(3,5),tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(4,5)×(-eq\f(5,3))=eq\f(4,3).(2)解法一∵tanα=2,∴eq\f(2sinα-2cosα,4sinα-9cosα)=eq\f(2tanα-2,4tanα-9)=eq\f(2×2-2,4×2-9)=-2.解法二∵tanα=2,∴sinα=2cosα.∴eq\f(2sinα-2cosα,4sinα-9cosα)=eq\f(4cosα-2cosα,8cosα-9cosα)=-2.同角三角函数的基本关系最基本的应用是“知一求二”,要留意这个角所在的象限,由此来确定所求是一解还是两解,同时应体会方程思想的运用.1.在△ABC中,tanA=eq\f(\r(2),3),求sinA和cosA的值.解析:由tanA=eq\f(\r(2),3)=eq\f(sinA,cosA)得sinA=eq\f(\r(2),3)cosA,①又sin2A+cos2A=1.②由①②得cos2A=eq\f(9,11).又∵A∈(0,π)且tanA=eq\f(\r(2),3)>0.∴A为锐角.∴cosA=eq\f(3\r(11),11)代入①得sinA=eq\f(\r(22),11).探究二三角函数式的化简[典例2]化简tanαeq\r(\f(1,sin2α)-1),其中α是其次象限角.[解析]因为α是其次象限角,所以sinα>0,cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)-1)=tanαeq\r(\f(1-sin2α,sin2α))=tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))=eq\f(sinα,cosα)·|eq\f(cosα,sinα)|=eq\f(sinα,cosα)·eq\f(-cosα,sinα)=-1.化简三角函数式的一般要求:①函数种类最少;②项数最少;③函数次数最低;④能求值的求出值;⑤尽量使分母不含三角函数;⑥尽量使分母不含根式.2.化简求值:(1)eq\r(\f(1-cos30°,1+cos30°))+eq\r(\f(1+cos30°,1-cos30°));(2)eq\f(sin165°+\r(cos2165°),\r(1-2cos165°sin165°)).解析:(1)eq\r(\f(1-cos30°,1+cos30°))+eq\r(\f(1+cos30°,1-cos30°))=eq\r(\f(1-cos30°2,sin230°))+eq\r(\f(1+cos30°2,sin230°))=eq\f(1-cos30°,sin30°)+eq\f(1+cos30°,sin30°)=4.(2)eq\f(sin165°+\r(cos2165°),\r(1-2cos165°sin165°))=eq\f(sin165°-cos165°,\r(sin165°-cos165°2))=eq\f(sin165°-cos165°,sin165°-cos165°)=1.探究三三角恒等式的证明[典例3]求证:eq\f(tanα·sinα,tanα-sinα)=eq\f(tanα+sinα,tanα·sinα).[证明]证法一右边=eq\f(tan2α-sin2α,tanα-sina·tanαsinα)=eq\f(tan2α-tan2αcos2α,tanα-sinα·tanαsinα)=eq\f(tan2α1-cos2α,tanα-sinα·tanαsinα)=eq\f(tan2αsin2α,tanα-sinαtanαsinα)=eq\f(tanαsinα,tanα-sinα)=左边.∴原等式成立.证法二左边=eq\f(tanα·sinα,tanα-tanαcosα)=eq\f(sinα,1-cosα),右边=eq\f(tanα+tanαcosα,tanαsinα)=eq\f(1+cosα,sinα)=eq\f(1-cos2α,sinα1-cosα)=eq\f(sin2α,sinα1-cosα)=eq\f(sinα,1-cosα).∴左边=右边,原等式成立.证法三∵tanα-sinα≠0,tanα·sinα≠0,要证原等式成立,只要证tan2α·sin2α=tan2α-sin2α成立,而tan2α·sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-(tanαcosα)2=tan2α-sin2α,即tan2α·sin2α=tan2α-sin2α成立,∴原等式成立.证明三角恒等式,可以从左向右证,也可以从右向左证,可以证明两端等于同一个结果,对于含有分式的还可考虑应用比例的性质.同时还须要敏捷运用“1”的代换及“切化弦”等解法技巧.3.求证:eq\f(tanαsinα,tanα-sinα)=eq\f(1+cosα,sinα).证明:左边=eq\f(\f(sin2α,cosα),\f(sinα,cosα)-sinα)=eq\f(sin2α,sinα-sinαcosα)=eq\f(1-cos2α,sinα1-cosα)=eq\f(1+cosα,sinα)=右边,所以等式成立.因忽视角的范围致误[典例]在△ABC中,已知sinA+cosA=eq\f(\r(2),2),求tanA的值.[解析]解法一因为sinA+cosA=eq\f(\r(2),2),①所以(sinA+cosA)2=eq\f(1,2),所以2sinAcosA=-eq\f(1,2),所以sinAcosA<0.又因为0<A<π,所以sinA>0,cosA<0,所以sinA-cosA=eq\r(sinA-cosA2)=eq\r(1-2sinAcosA)=eq\f(\r(6),2).②由①②,得sinA=eq\f(\r(6)+\r(2),4),cosA=eq\f(\r(2)-\r(6),4),所以tanA=eq\f(sinA,cosA)=-2-eq\r(3).解法二因为sinA+cosA=eq\f(\r(2),2),所以cosA=eq\f(\r(2),2)-sinA.又因为sin2A+cos2A=1, 所以sin2A+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)-sinA))2=1.整理,得4sin2A-2eq\r(2)sinA-1=0,解得sinA=eq\f(\r(2)+\r(6),4)或sinA=eq\f(\r(2)-\r(6),4).又因为0<A<π,所以sinA>0,所以sinA=eq\f(\r(2)+\r(6),4),cosA=eq\f(\r(2),2)-sinA=eq\f(\r(2)-\r(6),4),所以tanA=eq\f(sinA,cosA)=-2-eq\r(3).[错因与防范](1)本题易错解为
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