2024北京广渠门中学高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京广渠门中学高一（上）期中数学2024.11本试卷共3页.150分.考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，且，则等于（）A.或 B. C. D.2.如果实数，满足，那么下列不等关系成立的是（）A. B. C. D.3.已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（）A.3 B.-3 C. D.4.已知函数，，则实数（）A.1 B.-1 C. D.0或15.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.6.设，是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知，，，则（）A. B.C. D.8.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（）A.B.C. D.9.已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为A.3 B. C. D.1310.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共计25分）11.已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为_____________．12.函数的定义域为________；函数的定义域为_______________________.13.关于不等式的解集为，关于的不等式的解集是______14.设函数，若存在最小值，则的一个取值为___________；的最大值为___________.15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是___________________.①如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；③如果，那么方程无解；④如果，那么函数的最小值为2.三、解答题（共6题，合计85分）16.已知全集，集合．（1）求,；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．17.（1）求值：（2）解不等式组18.已知函数（1）判断函数奇偶性，并证明；（2）判断函数在区间上单调性，并证明；（3）求满足的实数的取值范围.19.已知函数，满足.（1）求值；（2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围；（3）设当时，函数的最小值为，求的解析式.20.已知函数.（1）画出下列函数图象，并写出各自值域；①；②.（2）不等式的解集______________，求的取值范围.（①是空集；②不是空集；③是全体实数，在横线处填写其中一个条件，并完成题目要求.）21.若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．（1）写出集合的所有不同的2划分；（2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．（3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验.【详解】当时，得.此时.此时集合.因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.当时，解方程，即，可得或.若，则，此时集合.不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.若，则，此时集合.符合集合元素的互异性.故选：C.2.【答案】D【分析】利用举反例方法,即可判断错误选项.根据不等式性质,即可证明正确选项.【详解】对于A,由,当时,不成立,所以A错误;对于B,由,当时,不成立,所以B错误;对于C,由,当时,不成立,所以C错误.对于D,由,则,所以,即D正确.综上可知,D为正确选项.故选:D【点睛】本题考查了根据条件判断不等式是否成立,不等式性质的应用,属于基础题.3.【答案】A【分析】根据偶函数性质得到.【详解】是定义在上的偶函数，故.故选：A4.【答案】A【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出.【详解】令，则，由，得，于是，由，得，，所以.故选：A5.【答案】D【分析】逐个判断函数是否为奇函数以及是否为增函数即可.【详解】对于A，先判断奇偶性：设，则.因为，，所以不是奇函数.再判断单调性：一次函数的斜率，所以它是增函数，但由于不是奇函数，不符合要求.故A错误.对于B,先判断奇偶性：设，则，所以，该函数是偶函数，不是奇函数，不符合要求.再判断单调性：二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，在上是增函数，在上是减函数，不是在定义域上的增函数.故B错误.对于C,先判断奇偶性：设，则，所以是奇函数.再判断单调性：在和上分别是增函数，但在整个定义域上不是单调递增的，因为当，时，，但，，.故C错误.对于D,先判断奇偶性：设，当时，；当时，.则，且定义域关于原点对称，所以是奇函数.再判断单调性：当时，是增函数；当时，是增函数.并且时，左右函数值连续，所以在定义域上是增函数.故D正确.故选：D.6.【答案】A【分析】根据充分与必要条件的性质判断即可.【详解】当时，.则，，故，即.故“”是“”的充分条件；当时有，故当时，，即或，当时，，即.故“”不是“”的必要条件；综上有“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.【答案】B【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序.【详解】化简的值，.对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增.，所以，即.又因为，.对于，，即.则.故选：B.8.【答案】C【分析】根据条件列出分段函数的解析式，再判断函数的图象.【详解】当时，，此段为开口向上的抛物线的一部分，当时，，此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为，满足条件的只有C.故选：C9.【答案】C【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值.【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增,则在上的最小值为.所以在时取得最小值3.故函数满足,解得,则,故当时,取得最大值为.故选:C.【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.10.【答案】B【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，再作出函数的图象，利用图象求出不等式的解集.【详解】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称，作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图，函数的图象与函数的图象交于点，观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方，即当或时，不等式成立，所以不等式的的取值范围是.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共计25分）11.【答案】8【分析】根据子集的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，或或，或，或者，或，或，或，共8个，故答案为：12.【答案】①.②.【分析】利用函数有意义列式求出的定义域；再利用抽象函数定义域列式求解即可.【详解】函数有意义，则，解得，所以的定义域为；在函数中，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：；13.【答案】或【分析】由题意可得，且方程的解为，从而可求出的关系，再根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为关于不等式的解集为，所以，且方程的解为，所以，即，则由不等式，得，得，解得或，所以关于的不等式的解集是或.故答案为：或.14.【答案】①.0（答案不唯一，即可）②.1【分析】分，，和四种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出的取值范围是0,1，的最大值为1.【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合要求；当时，，当时，，又时，，所以存在最小值为0，满足题意；当时，，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，，则，不等式无解，综上，的取值范围是0,1，的最大值为1.故答案为：0（答案不唯一，即可），1.【点睛】关键点点睛：通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.15.【答案】②③【分析】结合函数的奇偶性、单调性以及指数函数性质，基本不等式逐项判断；【详解】①如果，，故函数为偶函数，故①错误；②如果，单调性一致，为单调函数，故②正确；③如果，当时，恒成立，方程无解；当时，恒成立，方程无解，故③正确；④如果，结合基本不等式，当时，故函数的最小值为2；当时，故函函数的最大值为-2，故④错误；故答案为：②③.三、解答题（共6题，合计85分）16.【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.【小问1详解】全集，集合；∴；，∴；【小问2详解】∵，又集合，且，∴，解得，∴实数的取值范围是．17.【答案】（1）73；（2）；【分析】（1）根据指数幂运算；（2）根据分式不等式、绝对值不等式求解；【详解】（1）；（2）因为，可得：，解得：x<1或；得：解得：然后取交集综上不等式解集为：；18.【答案】（1）为奇函数，证明见解析（2）在区间上单调递减，证明见解析（3）或【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法判断并证明；（3）利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可得解.【小问1详解】由题意可知，函数定义域为，关于原点对称，，由此可知，函数为奇函数.【问2详解】函数在区间上单调递减，证明如下：任取令，，因为，所以，故函数在区间上单调递减；【小问3详解】根据函数的奇偶性，结合（2）可知，函数在区间上单调递减，又因为，可得，解得，得或；综上，实数的取值范围或.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解；（3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果.【小问1详解】因为二次函数满足，则，解得.【小问2详解】由（1）可知：，若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立，因为开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，则，可得，所以实数m的取值范围为.【小问3详解】因为是对称轴为，开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，fx在上单调递减，在上单调递增，可知；综上所述：.20.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）函数图象的绘制，需要先根据原函数的性质来分析翻折变换后的函数.对于函数，先求出的表达式，再根据表达式的特点绘制图象并确定值域.对于同理.（2）不等式，需要先将不等式两边化为同底数的指数形式，再根据指数函数的单调性来求解不等式，最后根据给定的解集条件确定的取值范围.【小问1详解】①当，即，根据指数函数单调递减，可得时，当，即，可得时，.当时，；当时，.所以的值域是.图像如下：②因为.当时，；当时，，且.所以的值域是.图像如下：【小问2详解】若选①空集，已知，，则.不等式可化为.因为单调递减，所以.若解集为空集，则恒成立.则，解得.当不等式解集为空集时，的取值范围是.若选②不是空集，则由①，得到的取值范围是或.若选③是全体实数，则由①，恒成立，即恒成立.则，解得.当不等式解集为全体实数时，的取值范围是.21.【答案】（1）（2）①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明过程见解析；（3）证明过程见解析.【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；（3）用反证法进行证明,【小问1详解】集合的所有不同的2划分为【小问2详解】①可能成立，举例如下：，；②可能成立，举例如下：，；③可能成立，举例如下：，；④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s<t，所以，因为s