2021新教材高中数学第8章 作业+检测卷 含解析新人教A版必修第二册

第八章8.1第1课时

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.下面多面体中，是棱柱的共有（D）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［解析］根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.

2.下列说法正确的是（D）

A.多面体至少有3个面

B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.各侧面都是正方形的四楂柱一定是正方体

D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

［解析］一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所

以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2,上、下底面是全等

的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.

3.下列说法中正确的是（B）

A.所有的棱柱都有一个底面

B.棱柱的顶点至少有6个

C.棱柱的侧棱至少有4条

D.棱柱的棱至少有4条

［解析］棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3,则在棱柱中，

三棱柱的顶点数至少是6,三棱柱的侧棱数至少是3,三棱柱的棱数至少是9,所以C、D

项不正确，B项正确.

4.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（D）

［解析］A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱.故选D.

5.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（B）

A.①是棱柱B.②不是棱锥

C.③不是棱锥D.④是棱台

［解析］①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B.

二、填空题

6.四棱锥的侧面个数是4.

［解析］四棱锥有4个侧面.

7.若棱台上、下底面的对应边之比为1：2,则上、下底面积之比为1：4.

［解析］棱台上、下两个底面是相似多边形，面积之比是相似比的平方，故上、下底面

积之比为1：4.

8.下列说法正确的是一①④一

①一个棱锥至少有四个面；

②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；

③五棱锥只有五条棱；

④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似.

［解析］①正确.②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等.也可以不等.③

不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱.④正确.

三、解答题

9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶

点、几条棱？

c

［解析］这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等

的正三角形；有6个顶点；有12条棱.

10.如图所示，已知长方体人BCO-481GA.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱?

(2)用平面8C尸E把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果

是，是几棱柱？如果不是，请说明理由.

［解析］(1)是棱柱，并且是四棱柱.

(2)截面8CFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△8E&和ACFG是底面.

截面8c正左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形ABE%和四边形OCFA是

底面.

B组•素养提升

一、选择题

1.下面说法正确的是(C)

A.棱锥的侧面不一定是三角形

B.棱柱的各侧棱长不一定相等

C.棱台的各侧棱延长必交于一点

D.用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台

［解析］棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选C.

2.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为

(C)

A.1B.2

C.3D.4

I解析］如图所示，在三棱台ABC-4&G中，分别连接48,AC,BG,则将三棱台

分成3个三棱锥，即三棱锥4—4BC,Bi—ABG,C-^BCx

3.(多选)一个正方体的截面可能是(ABD)

A.等边三角形B.正方形

C.正八边形D.平行四边形

［解析］一个正方体的截面可能是正三角形，正方形，平行四边形，边数最多是六边形

不可能是正八边形，故选ABD.

4.如图，模块①一⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小

正方体构成.现从模块①一⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个校长为3的大

正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为（A）

国名盅

模块①模块②模配）

尊曲密

奥块④模块⑤模块⑥

A.模块①②⑤B.模块①③⑤

C.模块②④⑤D.模块③④⑤

［解析］先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以

只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐.

二、填空题

5.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几

何形体是①③④⑤（写出所有正确结论的编号）.

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三

角形的四面体；④每个面都是等边一角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

［解析］在如图正方体ABCD-AIBIGG中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面

或对角面.

即正方形或长方形，工①正确，②错误.

棱锥A-BD4］符合③，，③壬确：

棱锥4—BOG符合④，，④正确；

棱锥4-4/10符合⑤，，⑤正确.

6.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A,8,C为其上三点，则在正方体盒

子中，/A5C等于60。.

［解析1由展开图可知，折成的无盖盒子的示意图如图所示(上面无盖).在△48C中，因

为AB,AC,均为正方形的对角线，所以AB=AC=BC,故△ABC为等边三角形，故/

ABC=60°.

(1)该几何体是哪种几何体；

(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？

［解析］(1)该几何体是四棱台；

⑵与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.

8.根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.

［解析］图1是以A8C。为底面，P为顶点的四棱锥.

图2是以48co和A\B\C\D\为底面的棱柱.

其图形如下图所示.

第八章8.1第2课时

课堂检测•固双基

1.下列几何体中是旋转体的是（B）

①圆柱：②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A.①B.①和④

C.①和⑤D.③和④

［解析］①④是旋转体，②③⑤是多面体，故选B.

2.如图所示的组合体，其结构特征是（D）

A.两个圆锥

B.两个圆柱

C.一个棱锥和一个棱柱

D.一个圆锥和一个圆柱

［解析］如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体.

3.关于圆台，下列说法正确的是②③④.

①两个底面平行且全等；

②圆台的母线有无数条；

③圆台的母线长大于高；

④两底面圆心的连线是高.

［解析］圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②®®正确.

4.圆柱的母线长为10,则其高等于（B）

A.5B.10

C.20D.不确定

［解析］圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

5.已知圆锥的母线长为5,底面圆直径为8,则圆锥的高力=3.

f解析］如图，

•・•圆锥的底面直径4B=8,

，圆锥的底面半径R=OA=4,

又・.・S4=5,

・••圆锥的高力=so=q?二不=3.

第八章8.1第2课时

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.下列几何体中不是旋转体的是（D）

［解析］由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.

2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（D）

A.圆锥B.圆柱

C.球D.棱柱

［解析］棱柱的任何截面都不可能是圆面.

3.（多选）下列命题中正确的是（CD）

A.矩形绕任何一条宜线旋转都可以围成圆柱

B.圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线

C.圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线

D.矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱

［解析］在A中，绕矩形的一条对角线旋转形成的几何体是有公共底面的两个圆锥的组

合体，不是圆柱，故A错误；在B中，圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一

点的线段，且这条线段与轴平行，故B错误；在C中，圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的

圆心的直线，故C正确；在D中，由旋转的性质得矩形任意一条边所在的直线都可以作为

轴，其他边绕其旋转形成圆柱，故D正确.故选CD.

4.如图所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？（A）

［解析］因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此皿面图形应为一个直角

三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D,再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C,

故选A.

5.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶

点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（D）

A.(1)(2)

C.⑴(4)

［解析］圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形.

二、填空题

6.圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5地，则底面半径等于5.

［解析］因为圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，设底面半径为r,则高为八

所以+/=5啦.所以r=5.

7.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4,截去小圆锥的母线长为

3cm,则圆台的母线长为9cm.

［解析］如图所示，设圆台的母线长为xcm,

截得的圆台的上、下底半径分别为，cm,4rcm,

根据三角形相似的性质，得币=%，解得x=9.

8.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为加则球的直径为_2啦_.

［解析］设球心到平面的距离为4,截面圆的半径为「，则冗/=用，r=1.设球的半径

为R,则R=N法+户=巾,故球的直径为2版

三、解答题

9.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360。得到？画出平面图形和旋转轴.

a

［解析］先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下:

々T5

10.一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30。，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的

面积.

［解析］如图轴截面SA8,圆锥SO的底面直径为A5,SO为高，SA为母线，

则N4SO=30°.在RtZXSOA中，AO=SO・tan30。=寸(cm).

右SO24代、

SA-cos30。=斤3师).

所以SaASB=ZS024O=g(cm?).

所以圆锥的母线长为芋cm,圆锥的轴截面的面积为芋cn?

B组•素养提升

一、选择题

1.（2020•河北衡水武邑月考）下列几何体是组合体的是（D

［解析1A是圆锥，B是圆柱，C是球体，D是圆台中挖去一个圆锥的组合体.

2.下列结论，其中正确结论的个数是（C）

①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（注：轴截面是指过旋转轴的截面）；

②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面;③用任意一人平面去截圆锥得到的

截面一定是一个圆.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C.

3.（202。浙江宁波高一月考）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,

所得的几何体包括（D）

A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱

C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥

［解析］如图1是一个等腰梯形，C。为较长的底边.以co边所在直线为旋转轴旋转一

4.如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60。纬线长和赤道线长的比值为（C）

A.4：5B.3：4

C.1：2D.1：4

［解析］设赤道所在圆的半径为上北纬60。所在圆的半径为r,由纬度定义可知，cos60。

AZ故所求比值即为两个圆半径之比值1:2.

二、填空题

5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是一©_.（写出所有不正

确的序号）

①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；

②该几何体有12条棱、6个顶点；

③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；

④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形.

［解析］平面4BCO可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的

组合体，因而四边形ABCO是它的一个截面，而不是一个面，故填④.

6.已知球的外切圆台上、下底面半径分别为r,R,则圆台的高为2，沃，球的半径

为.

［解析］圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r,梯形的

高即球的直径，即d(r+R)2—(R—「)2=2由,球的半径为屈.

三、解答题

7.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cm?和2571cm2

(1)求圆台的高：

(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.

［解析］(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCO,作AM_LBC于点M,

连接010.

由已知可得上底面圆半径0iA=2cm,下底面圆半径0B=5cm,且腰长AB=12cm,

所以AM=712^—32=3s3(cm),即圆台的高为3y［v5cm.

(2)延长BA,00i,CO交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/,则由△SA0|S4

^/-122

SBO,可得/13j-=予

所以/=20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

8.如图所示，圆锥底面圆的半径QA=6,轴截面的顶角NAS8是直角，过两条母线的

截面SCB截去底面圆周的看，求截面的面积.

/1,

［解析］由题意知，轴截面顶角NAS6=9(r,OA=6,

，SA=SB=SC=6V1如图，连接08,0C,作SO_L8C于D

•・•弧的长为底面圆周长的看

AZBOC=TX360°=60°.

O

：.0B=0C=BC=6.

・•・截面面积为5\「.

第八章8.2

课堂检测•固双基

1.下列关于直观图的说法不正确的是（A）

A.原图形中平行于），轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变

B.原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中/轴，长度不变

C.画与直角坐标系工。＞，对应的/O'y'时，Nx'O'y1可以画成135。

D.在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同

［解析］平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错.

2.下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是（B）

A.正三角形的直观图是正三角形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.矩形的直观图是矩形

D.圆的直观图是圆

［解析］直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以A、C、D都不正确，故选

B.

3.（2018•河南省南阳市高一期末）如图所示，AB'C是水平放置的aABC的直观

图，A'B'//y'轴，B'C〃上轴，且4'B'=2,8'C=3,则△A3C中，4C=5.

［解析］由题意及斜二测画法规则可得，在△48。中，ZABC=90°,AB=2A'B'=4,

BC=B,C=3,故AC="T?=5.

4.梯形的直观图是（A）

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四边形

［解析］梯形的直观图仍为梯形.

5.如图所示，四边形A'B'CD'是一个水平放置的平面图形的直观图，它所表示

的平面图形ABCD的形状是一直角梯形_.

［解析I根据直观图可知,A'B'D'均与x'轴平行且A'B'HC'»D'

与y1轴平行，所以在平面图形中，AB//CD,ABXCO,AB±ADtADLCDt故平面图形

ABC。是一个直角梯形.

第八章8.2

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.AB=2CD,轴，CD〃y轴，已知在直观图中，A8的直观图是4,B',CD

的直观图是C'D',贝U(C)

A.A'B'=2CfD'B.A'B'=C'O'

C.A'B'=4C'DD.A'B'=^C'D'

f解析］TAB〃工轴，CO〃y轴，：.AB=A'B',CD=2C'D',

，A'B'=AB=2CD=2(2CD')=4C/D'.

2.下列关于用斜二测画法画百观图的说法中，正确的是(B)

A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B.平行四边形的直观图仍是平行四边形

C.两条相交直线的直观图可能是平行直线

D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

［解析］平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确.

3.如图，矩形。'4,B'C是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,

其中O'A'=6cm,O'C'=2

A.正方形

C.菱形

［解析］将直观图还原得到平行四边形QA8G如图所示.由题意知O'=近0'C

=2&cm,

00=20'Dr=4啦cm,CD'=0'C'=2cm,ACD=2cm,

OC=yjCD1-bOD1—6cm,又0A=。'A'=6cm=PC,，原图形为菱形.

4.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图

形的形状是(A)

［解析］由斜二测画法可知，与y轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍.故可判

断A正确.

5.如图RtZXO'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=<2,则这个平面图形

的面积是(C)

A.1

C.2巾

［解析］由直观图可知，原平面图形是其中。则08-0'B'一港,

0A=20'A'=4,：，S^,oAB=^OBOA=2yl2f故选C.

二、填空题

6.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点"(4,4)在直观图中的对应点是M',则

点M'的坐标为M'(4,2),点的找法是—在坐标系『0,y'中，过点(4,0)和F

轴平行的直线与过点(0.2)和广轴平行的直线的交点即是点.

［解析］在『轴的正方向上取点例1,使。"1=4,在<轴上取点M2,使0'%=2,

过M和也分别作平行于<轴和f轴的直线，则交点就是M'.

7.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△4'B'C,已知4'C=6,

B'C'=4,则AB边的实际长度是10.

X

［解析］由斜二测画法，可知是直角三角形，且N8CA=90。，AC=6,8C=4X2

=8,则4>=<4。2+8。2=I。

8.如图，平行四边形O'PQ'R1是四边形0PQR的直观图，若。'P'=3,。'R1

=1,则原四边形。P0R的周长为10.

［解析］由四边形0PQR的直观图可知原四边形是矩形，且。尸=3,0R=2,所以原四

边形0PQR的周长为2X(3+2)=10.

三、解答题

9.如图所示，四边形ABC。是一个梯形，CD"AB,CD=AO=\,三角形AO。为等腰

直角三角形，0为A8的中点，试求梯形A8CO水平放置的直观图的面积.

［解析］在梯形48CO中，AB=2,高00=1,由于梯形ABC。水平放置的直观图仍为

梯形，且上底C。和下底AB的长度都不变，在直观图中，O'=^0D,梯形的高O'E'

=坐，于是梯形A'B'C。的面积为3乂(1+2)乂乎=手.

10.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上

底面重合，圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.

［解析］⑴画轴.如图1所示，画x轴、z轴，使NxOz=90。.

(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点,使4B的长度等于3cm,且04=08.选择

椭圆模板中适当的椭圆过A,6两点，使它为圆柱的下底面.在Qz上截取点O',使OO'

=4cm,过O'作Ox的平行线O'/,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.

(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使P0'等于圆锥的高3cm.

(4)成图.连接A'4、B'B、PA'.PBf,整理得到此几何体的直观图.如图2所示.

B组•素养提升

一、选择题

1.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(C)

①角的水平放置的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等：

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，，④对，①对；而线段的

长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，.••②③错.

2.下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(C)

图乙

［解析］按斜二测画法规则，平行于X轴或4轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平

行于），轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的/并注意到N%Oy=90。，N/O'y'

=45°,将图形还原成原图形知选C.

3.已知正三角形ABC的边长为2,那么用斜二测画法得到的AABC的平面直观图△

A'B'C的面积为（D）

［解析］根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观

图，如图2中AA'B'Cf所示.

易知，4'夕=AB=2,O'C'=义0。=坐.过点C‘作C'D'_L4'B1于点。'，

则C'D'=^^。'C'.所以SAA，B，c=5'B，D'=^X

4.（多选）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B'C=4,A'C=3,

B'C'〃y'轴，则△ABC中以下说法正确的是（ACD）

A.△ABC是直角三角形

B.AC长为6

C.8c长为8

D.AB边上的中线长为厚

［解析1由斜二测画法规则知AC_LBC,即△ABC为直角三角形，其中AC=3,BC=8,

所以AA=后,4A边上的中线长度为呼.故选ACD.

二、填空题

5.如图所示，AB'C'是水平放置的aABC用斜二测画法得到的直观图，则在△

ABC的三边及中线AO中，最长的线段是AC.

W)D*C

［解析］画出原图形如图所示，△A8C为直角三角形，显然，AC边最长.

6.(2020•湖南省永州市高一期中冰平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C

=3,B'C=2,则AB边上的中线的实际长度为_乙.

W7)x

I解析］由直观图可知，原平面图形是边AC=3,边8。=4的直角三角形48C,故人B

边上的中线长为品木耳不一方

三、解答题

7.如图，正方形。‘A'B'C的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观

图.请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积.

/O'A'

题图答图

［解析］如图，建立直角坐标系X。)，，在x轴上取04=。'4'=1cm；

在y轴上取08=20'B'=2啦cm；

在过点8的工轴的平行线上取5c=5,C=1cm.

顺次连接O,A,B,C各点，即得到了原图形.

由作法可知，0ABe为平行四边形，

0C=y)0B2-\-BC2=^/8+T=3(cm),

・•・平行四边形OA8C的周长为(3+l)X2=8(cm),面积为1X2、「=2啦(cn?).

8.用斜二测画法画出底面边长为1.4cm高为0.9cm的正四棱锥的直观图.

［解析］(1)画轴，如图1画X,轴，y轴，z'轴使得N』O'<=45。，O'z1

=90°.

(2)画底面以点O'为中心，在x'轴上画MN=1.4cm,在y'轴上画PQ=0.7cm,分

别过点M,N作V轴的平行线，过点P,Q作V轴的平行线，设它们的交点分别为A8c

则四边形A8co就是该棱锥的底面.

(3)画高确定顶点，在z'轴上截取O'S=0.9cm.

(4)连线成图，连接S4,SB,SC,SD(注意区别实线和虚线)，去掉辅助线，就得到了正

四棱锥的直观图，如图2所示.

图1图2

第八章8.38.3.1

课I检测•固双基

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为(A)

A.22B.20

C.10D.11

I解析］所求长方体的表面积S=2X(1X2)+2X(1X3)+2X(2X3)=22.

2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为戏,体对角线长为证,则这个棱柱的

侧面积是(D)

A.2B.4

C.6D.8

［解析］易知底面正方形的边长为1,棱柱的高为2,所以这个棱柱的侧面积是4X2=8.

3.如图，ABC-A'B1C是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是

(C)

B

-2c3

C,3D,4

11i2

［解析］V£ttttC-/VB,C^.^ABC-A,BC=y•**Vc-AABB=1—

4.（2020.全国I卷理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个

正四楂锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其

侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（C）

解得!=±y（负值舍去）.故选c.

5.已知正三棱锥V—48C中，VA=VB=VC=4,A3=8C=AC=2，1求该三棱锥的表

面积.

［解析］如图所示，VA=VB=VC=4tAB=BC=AC=2yf3.

取BC的中点O,连接0）,则VD1.BC,

有VD=\VB?-Bb2=74?一电）2=回,

则Szw8C=：XW)XBC=}XVHX2V5=V55,x(2^3)2x3^/3,

所以，三棱锥V-A8c的表面积为3s△W+SMSC=3，而十八尸=3(，55+5).

第八章8.38.3.1

素养作业•提技能

4组.素养自测

一、选择题

1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为（B）

A.48^6B.64

C.16D.96

［解析］设正方体的棱长为〃，则6/=96,解得。=4,故V=〃=43=64.

2.将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的

(B)

1

A.B.

3

C.I1

D.

4

［解析I设正方体的棱长为I,已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的

体积都等于1也因此截去的四个三棱锥的体积为2余则剩余的四面体的体积为争1

3.将一个棱长为。的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（B）

A.6〃2B.12a2

C.18a2D.24a2

［解析］原来正方体表面积为$=6后，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体

的梭长为其表面积为6义&}=初，总表面积s?=27X壬2=］8〃，

2

，增加了S2-5I=12a

4.若正方体的棱长为也，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

（B）

A应B也

A.63

C.当D.|

［解析］由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体（即由两个同底

等高的正四棱锥组成），所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为坐，故正八面体的

体积V=2V正四梭泣=2><9/又落乎.故选B.

5.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C中，若E,尸分别为AC,A6的中点，平面EC'B'F

将三棱柱分成体积为■(棱台AEF-A'C'夕的体积)，匕的两部分，那么0：L=(A)

A.7：5

C.8：3D.4：3

［解析］设三棱柱的高为力，底面面积为S,体积为匕则V=L+V2=S/L因为E,尸分

别为AC,AB的中点，所以SAAEF=；S,所以H=*(s+：S+y7^)=£s/?,V?=V—Vi=-^

所所以Vj：V2=7：5.

二、填空题

6.已知一个长方体的三个面的面积分别是加，小，加，则这个长方体的体积为—存

ab=y[2t

ac=小，三式相乘得

{bc=y[6.

(abc)2=6,故长方体的体积V=Hc=加.

7.如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩

形的长是4,宽是2,则该几何体的表面积为24+2S.

［解析］该三棱柱的表面积为2X(；X2X小)+3X(4X2)=24+2Vl

8.如图所示，正方体A8CO—4BG。的棱长为1,E为线段BC上的一点，则三棱

锥A-OEOi的体积为，

[解析]V三棱锥A-DEDi=V三棱锥E-DDiA=^X^X1X1XI=1,

三、解答题

9.如图，已知正三棱锥S—A8C的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3,求

此正三棱锥的表面积.

I解析］如图，设正三棱锥的底面边长为出斜高为人'，过点。作OE_LA8,与48交

于点E,连接SE,则SE_LA8,SE=h'.

VS«=25«,••・3X&X%'=2X乎H

:.a=^h：

'：SOLOE,：.SO2-^-OE2=SE2

,32+(*X®)

=h'2'

:.h'=2小，,\a=y/3h'=6.

，S底邛02=用62=舶

Sis=2Sa=18小.

:,S*=S侧+S服=186+9＞「=27小.

10.如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BO交于点M,河是棱锥的高.若VM

=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求锥体的体积.

V.

［解析］:MM是棱锥的高,

:.VMLMC.

在RtZkVMC中，

MC=ylVC2~VM2=^/52-42=3(cm),

.\AC=2MC=6(cm).

在Rt/\ABC中,

BC=\AC?-AB?=76?—4?=2Wcm).

S底=4BBC=4X2由=8#(cm2),

V拒=；S.Y=；X8/><4=32产(cn?).

二棱锥的体积为非"cm3,

B组•素养提升

一、选择题

1.（2020•江苏高一期中）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为

10,则该棱台的侧面积为（B）

A.80B.240

C.320D.640

［解析］由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16,腰长为10的等腰

梯形，则该等腰梯形的高为q®一。空>=8.

・•・等腰梯形的面积为Wx（4+16）X8=80,.•.该棱台的侧面积S=3X80=240.故选B.

2.（2020•河北高一月考）某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长

为4,则其表面积为（B）

A.12+12小B.48+12小

C.64+6\/3D.72+6小

I解析］由题意知该六棱柱的侧面面积为4X2X6=48,上、下底面的面积均为:

X2X2X坐X6=62，所以全面积等于48+12小.故选B.

3.已知正二棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,高为亨，则正二棱台的侧面积

S与底面面积之和S2的大小关系为（A）

A.S\>SiB.5i<52

C.Si=S2D.以上都不是

I解析I斜高"=［（噌叶［坐（4-2）｝=啦,

S1斗C+C'*=1（3X2+3X4）X^2=9A/2,

Sz=*X2?+*X42=5小,所以Sp>S2.

4.正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30。，则该四棱锥的侧面积为

(A)

A.32B.48

C.64D.y

［解析］如图所示，在正四棱锥尸一ABC。中，连接AC,BD,交于。点，连接尸0,

取8C的中点E,连接PE,0E,易知P0为正四棱锥尸一ABC。的高，PE为斜高，贝！0E

=夕石，因为OE==4B=2,所以PE=4,则S»i=4><：X4X4=32.

二、填空题

5.(2020.江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为2啦cm,体积为8cm3,则它的

侧面面积为4亚cm?

［解析］•.•该正四棱锥的底面边长为2啦cm,体积为8cm3,.•.该四棱锥的高为3cm,

，侧面等腰三角形的高为正工7质=4H(cm),故Sm=4X3X2巾乂5=4V22(cm2).

6.(2020・山东济南高一学习质量评估)如图，四棱锥P—A8CZ)的底面48co为平行四

边形，CE=2£P.若三棱锥尸一砧。的体积为％,三棱锥P—A8O的体积为匕，则p的值为

V2

I

—3—,

I解析］设四棱锥P-ABCD的高为h,底面ABCD的面积为S,则匕=卜物=演.

因为CE=2EP,所以PE=gpC,所以V)=VE-PBD=^Vc-PBD=^Vp-BCD=^'X^Sh=^Sh,所

三、解答题

7.如图所示，在长方体ABCD-A'B'CD'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD',

求棱锥C-A'DDf的体积与剩余部分的体积之比.

［解析］设AB=mAD=b,DD'=c,则长方体ABCD-A'B'C'。'的体积V=Mc,

又以人加=茨，且三棱锥CWDD'的高为CD=a.

：•V三植镇C-A'DDDDCD=^abc.

则剩余部分的几何体体积V^=abc—^abc=^abc.

故V梭蛾C-A'DD:V第=,血?:声〃C=1：5.

8.（2020•河北高一月考）如图，已知正六棱锥P—ABCDE尸的表面积为18小，且48=2,

求正六棱锥P-ABCDEF的体积.