32644873解密22排列组合与二项式定理(讲义)-2022年高考数学（理）二轮复习讲义分层训练

解密22排列组合与二项式定理考点热度★★★☆☆内容索引核心考点1排列、组合核心考点2求二项展开式中特定项或指定项的系数核心考点3已知二项展开式某项的系数求参数核心考点4二项式各项系数的和与二项式系数的区别核心考点5二项式定理的综合应用高考考点三年高考探源预测排列、组合2021全国甲卷102021全国乙卷62020课标全国Ⅱ142019课标全国Ⅰ6排列、组合在高考中往往是以选择题或填空题的形式出现，题目难度在中等或中等以上，有时难度较大．排列、组合的知识和方法有时用来解决古典概型的计算，有时与离散型随机变量及其分布相结合，进行综合考查.利用二项式定理求展开式中的特定项或指定项的系数2020新课标全国Ⅲ142020课标全国Ⅰ82019新课标全国Ⅲ4从近三年高考情况来看，二项式定理是高考的重点内容，主要考查二项展开式的通项，二项式系数，展开式的系数等知识，难度控制在中低档，以选择题、填空题的形式出现，解题时应熟练基本概念、基本运算，充分利用方程思想及等价转化思想.二项式系数和与各项的系数和问题核心考点一排列、组合考法排列、组合变式一排列1、（山东省德州市20212022学年高二上学期期末考试数学试题）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（

）种A．54 B．72 C．96 D．120【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故选：A．2、（2021·黑龙江·哈九中高三期末（理））加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（

）种加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64【答案】A【解析】考察排列组合的捆绑与插空的方法【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A3、（2022·福建龙岩·高二期末）某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（

）A．720种 B．600种 C．480种 D．384种【答案】D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可．【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况．故选：D.4、（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（

）种A．144 B．192 C．216 D．324【答案】C【解析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得.【详解】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；③再排3个曲艺节目，共种排法；∴由分步乘法记数原理有种排法．故选：C．☆技巧点拨☆高考中常考查相邻和不相邻的问题，解决相邻问题的方法是“捆绑法”，解决不相邻问题的方法是“插空法”，对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.变式二组合1、（2022·全国·高三阶段练习（文））把枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用插空法和古典概型可解决此题．【详解】根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有，1，，，10，，，1，，，2，，，8，，，2，，，3，，，6，，，3，，，4，，，5，，，2，，，5，共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有（种，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有（种，甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为．故选：B2、（2022·云南昭通·高三期末（理））某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（

）A．420种 B．441种 C．735种 D．840种【答案】D【解析】利用分步计数原理即得.【详解】根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种）故选：D．3、（2021·河北·高碑店市崇德实验中学高二期中）为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用古典概型的概率公式即可计算.【详解】学校拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，共有基本事件个，而选择的3天恰好为连续3天有：共8种，所以选择的3天恰好为连续3天的概率是.故选：C变式三排列、组合的综合应用1、（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种【答案】B【解析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故一共有：种分派方法故选：2、（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（

）A．1224 B．1800 C．1560 D．840【答案】B【解析】首先为奇数，则为偶数，进而根据的奇偶分布情况求排列方法数，再为偶数，则为三个奇数，求排列方法数，进而加总.【详解】当为奇数时，为偶数：1、一偶两奇，此时不同排列方法为种；2、两偶一奇，此时不同排列方法为种；3、三个偶数，此时不同排列方法为种；当为偶数时，为奇数，此时三个奇数，不同排列方法为种；综上，不同排列方法有1800种.故选：B3、（2022·江西上饶·高二期末（理））现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.故选：D☆技巧点拨☆有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题时理解题意很关键，一定要多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.核心考点二求二项展开式中特定项或指定项的系数考法求二项展开式中特定项或指定项的系数1、（2022·河南·高三期末（理））已知的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为（

）A．896 B．1024 C．1792 D．2048【答案】C【解析】由展开式中二项式系数之和为256，可得，从而可得展开式的通项公式为，再令求出，即可得答案.【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以，解得，所以展开式的通项公式为，令，可得，所以该展开式中含x项的系数为，故选：C.2、（2022·山东·青岛二中高三开学考试）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】求得二项展开式的第4项与第8项的二项式系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，可得，解得.故选：B.3、（2022·山东威海·高三期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．【答案】【解析】首先根据题意，可得，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的值代入通项可得其展开式中的项，即可得答案．【详解】由题知，则，令，得，所以展开式中的系数为.故答案为：.☆技巧点拨☆1．熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.核心考点三已知二项展开式某项的系数求参数考法已知二项展开式某项的系数求参数1、（2022·全国·高二）已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为，则不正确的命题是（

）A． B．C．展开式中常数项为 D．展开式中含的项为【答案】C【解析】由题意判断出展开式的项数，即可得；令代入计算等于所有项系数的和，即可求得的值，从而写出通项公式，分别由选项C与D列式求解值，并代入求解，即可判断选项C，D.【详解】由题意，展开式中只有第项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有项，即，故A正确；若展开式中所有项的系数和为，令，则，所以得，故B正确；由通项公式得，令，解得，所以展开式中的常数项为，故C错误；令，解得，所以展开式中含的项为，故D正确.故选：C2、（2021·河北师范大学附属中学高三阶段练习）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据二项式系数之和求得，根据第项的系数最大求得的取值范围.【详解】由于二项式的展开式中各项的二项式系数之和为512，所以，即，展开式的通项公式为，依题意可知，.故选：C3、（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，即可求解.【详解】由题意可得：，解得：，故选：A.☆技巧点拨☆对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．核心考点四二项式各项系数的和与二项式系数的区别考法二项式各项系数的和与二项式系数的区别1、（2022·重庆市天星桥中学一模）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据二项式系数的单调性，求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.【详解】解：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项令，得.所以展开式中的系数为.故选：A2、（2022·全国·高三专题练习（理））若n为正奇数，则被9除所得余数是（

）A．0 B．3 C．1 D．8【答案】D【解析】利用二项式定理可得结论.【详解】解：因为是正奇数，则又n正奇数，倒数第一项而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，被9除所得余数是8.故选：D.3、（2021·山东任城·高二期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四【答案】C【解析】结合二项式展开式，求得正确答案.【详解】由已知可得：即8100除以7后余数为1，因为经过7天后还是星期二，所以经过8100天后是星期三.故选：C．4、（2022·江苏南通·一模）的展开式中，的系数（

）A． B．5 C．35 D．50【答案】A【解析】利用展开式的通项公式即求.【详解】的展开式第项，当时，；当时，，∴，∴的系数为.故选：A.5、（2022·福建漳州·一模）已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出．【详解】令，可得展开式的所有项的系数之和，得，所以，其通项，令，得，所以展开式中常数项为．故选：A．☆技巧点拨☆二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且