2023年江苏省盐城市中考数学专题练7圆

2023年江苏省盐城市中考数学专题练——7圆一．选择题（共10小题）1．（2022•亭湖区校级三模）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4 B．23 C．2 D．432．（2022•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为（）A．35° B．65° C．55° D．70°3．（2022•东台市模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为32，若BC＝6，则∠AA．120° B．135° C．150° D．160°4．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（）A．54° B．27° C．36° D．18°5．（2021•滨海县一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（）A．25° B．20° C．30° D．35°6．（2021•盐都区二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A．4π3 B．2π C．8π3 D7．（2022•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68° B．64° C．58° D．32°8．（2021•盐都区三模）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（）A．16 B．18 C．24 D．329．（2021•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是（）A．15° B．24° C．39° D．63°10．（2021•阜宁县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD中点，∠BDC＝54°，则∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°二．填空题（共9小题）11．（2022•亭湖区校级三模）如图若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是．12．（2022•亭湖区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，点E、F分别在边BC、AB上，点E为边BC的中点，AB＝3AF，连接AE、CF相交于点P，则△ABP面积最大值为．13．（2022•滨海县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝35°，则∠CAD＝．14．（2022•亭湖区校级一模）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为2，OC＝1，则弦AB的长为．15．（2022•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若弧BE＝弧DE，设∠ABC＝α，则α为．16．（2022•射阳县一模）一张扇形纸片半径是3，圆心角为240°，则这张扇形纸片的弧长为．17．（2022•盐城一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠BOD＝∠A，则sinC＝．18．（2022•盐城二模）如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在AB上，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．19．（2022•建湖县一模）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠E＝110°，点E在弧AD上，则∠C的度数为．三．解答题（共9小题）20．（2022•亭湖区校级三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；【问题探究】（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD＝BD．保留作图痕迹，不写画法；（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积；【问题解决】（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC＝BD，且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．21．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．22．（2022•滨海县模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若FC∥OA，CD＝12，求图中阴影部分面积．23．（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AC为直径的⊙O切AB于点A，与BC交于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若BE＝9cm，弦CE的长为16cm，求⊙O的半径长．24．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．25．（2022•滨海县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，OE⊥BC于点E，AB＝12cm，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线：（2）求AD的长．26．（2022•盐城二模）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题1～4．试题分析（Ⅰ）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一点，且AD＝AC．求∠BDC的度数．小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设∠ADB＝α，易知∠CAD＝90°﹣2α，又因为AD＝AC，得∠ADC＝45°+α，即可算出∠BDC的度数．小丽：我发现AB＝AC＝AD．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上……猜想证明（Ⅱ）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A在BC同侧．猜想：若∠BDC＝°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上．对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：以点A为圆心，AB长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点D可能在⊙A内，或点D在⊙A上，或点D在⊙A外．故只要证明点D不在⊙A内，也不在⊙A外，就可以确定点D一定在⊙A上．（Ⅲ）进一步猜想：如图2，在△ABC中，∠BAC＝β，AB＝AC，点D、A在BC同侧．若∠BDC＝°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上．（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；问题2．补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想；问题4．如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，∠BOC＝90°，点A处为投影机，投影角∠BAC＝45°，折线B﹣O﹣C为影像接收区．若影像接收区最大时（即OB+OC最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长．27．（2022•东台市模拟）如图，已知▱OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）①求证：CF＝AB；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．28．（2022•建湖县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E点在AB边上，D点在BC边上，以AE为直径的⊙O过D点，与AC边相交于点F，DE＝DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sin∠B=35，⊙O的半径为6，求BE和

2023年江苏省盐城市中考数学专题练——7圆参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022•亭湖区校级三模）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4 B．23 C．2 D．43【解答】解：如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，且正六边形ABCDEF的的边长为6，∴AF＝6，连接OA、OF，则OA＝OF，且OA就是这个正六边形的半径，∵∠AOF=16×360∴△AOF是等边三角形，∴OA＝AF＝6，∴这个正六边形的半径为6，故选：A．2．（2022•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为（）A．35° B．65° C．55° D．70°【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ADC＝∠ABC＝55°，故选：C．3．（2022•东台市模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为32，若BC＝6，则∠AA．120° B．135° C．150° D．160°【解答】解：连接OB和OC，∵OB＝OC=32，BC＝6∴OB2+OC2＝BC2，∴△OBC为直角三角形，∠BOC＝90°，∴∠A=12（360°﹣90°）＝故选：B．4．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（）A．54° B．27° C．36° D．18°【解答】解：连接OC、OD，如图，∵∠DAC＝36°，∴∠COD＝2∠DAC＝72°，∵D是弧AC的中点，∴AD=∴∠AOD＝∠COD＝72°，∴∠BOC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAC=12∠BOC＝故选：D．5．（2021•滨海县一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（）A．25° B．20° C．30° D．35°【解答】解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．故选：C．6．（2021•盐都区二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A．4π3 B．2π C．8π3 D【解答】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD=12AB＝在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′=60π⋅OD2360=CD26∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′=CB26π-CD2故选：C．7．（2022•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68° B．64° C．58° D．32°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，故选：C．8．（2021•盐都区三模）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（）A．16 B．18 C．24 D．32【解答】解：如图，过O点作OB⊥MN于B，连接OM，∴MB＝NB，∵MN＝16，∴MB＝8，∵OM＝10，∴OB=10∴点A到直线MN距离的最大值为10+6＝16，故选：A．9．（2021•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是（）A．15° B．24° C．39° D．63°【解答】解：连接AC，如图，∵∠ACD＝∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠DCO＝63°﹣24°＝39°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝39°，∴∠BDC＝∠A＝39°．故选：C．10．（2021•阜宁县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD中点，∠BDC＝54°，则∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°【解答】解：∵A为BD中点，∴AB=∵AB＝CD，∴AB=∴AB=∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADB+∠CBD+ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣54°＝126°，∴3∠ADB＝126°，∴∠ADB＝42°．故选：A．二．填空题（共9小题）11．（2022•亭湖区校级三模）如图若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是3．【解答】解：这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=120×π×9解得r＝3，即这个圆锥的底面半径是3．故答案为：3．12．（2022•亭湖区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，点E、F分别在边BC、AB上，点E为边BC的中点，AB＝3AF，连接AE、CF相交于点P，则△ABP面积最大值为1+2【解答】解：如图1，作AH∥BC交CF的延长线于点H，则△AHF∽△BCF，∵AB＝3AF，EC＝EB=12∴AHBC∴AH=12∴AH＝EC，∵∠H＝∠PCE，∠APH＝∠EPC，∴△APH≌△EPC（AAS），∴AP＝PE=12∴S△ABP=12S△∵S△ABE=12S△∴S△ABP=14S△∴当S△ABC最大时，则S△ABP最大；作△ABC的外接圆⊙O，作CG⊥AB于点G，OD⊥AB于点D，OI⊥CG于点I，连接OC，∵∠ODG＝∠OIG＝∠IGD＝90°，∴四边形OIGD是矩形，∴IG＝OD，∵IC≤OC，∴IC+IG≤OC+OD，即CG≤OC+OD，∴当点I与点O重合，即C、O、D三点在同一条直线上时，CG最大，此时S△ABC最大；如图2，△ABC的外接圆⊙O，OD⊥AB于点D，点C在DO的延长线上，连接OA、OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA2+OB2＝AB2，OA＝OB，AB＝4，∴2OA2＝42，∴OC＝OA＝22，∵AD＝BD，∴OD＝AD＝BD=12AB＝∴CD＝2+22，∴S△ABC最大=12×4×（2+22）＝∴S△ABP最大=14×（4+42）＝∴△ABP面积最大值为1+2故答案为：1+213．（2022•滨海县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝35°，则∠CAD＝55°．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ABC＝∠D＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝55°，故答案为：55°．14．（2022•亭湖区校级一模）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为2，OC＝1，则弦AB的长为23．【解答】解：连接OA，如图1所示，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠OCA＝90°，AC＝BC，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC=O即BC＝AC=3∴AB＝AC+BC＝23，故答案为：23．15．（2022•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若弧BE＝弧DE，设∠ABC＝α，则α为22.5°．【解答】解：如图，连接AC，∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴AC=∵DE=∴AC=∴AC=∴∠ABC=1∴∠ABC＝α，∠BAC＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴90°+3α+α＝180°，∴α＝22.5°．故答案为22.5°．16．（2022•射阳县一模）一张扇形纸片半径是3，圆心角为240°，则这张扇形纸片的弧长为4π．【解答】解：l=nπr180=故答案为：4π．17．（2022•盐城一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠BOD＝∠A，则sinC＝32【解答】解：∵∠C=12∠BOD，∠BOD＝∠A，∠C+∠A＝∴12∠BOD+∠BOD＝180∴∠BOD＝120°，∴∠C=12∠BOD＝∴sinC=3故答案为：3218．（2022•盐城二模）如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在AB上，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为2π3-【解答】解：连接OD，交AC于E，∵将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在AB上，OA＝2，∴AC垂直平分OD，AD＝OA＝2＝OD，∴OE＝DE＝1，△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，由勾股定理得：AE=O∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD=60π×=2π故答案为：2π319．（2022•建湖县一模）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠E＝110°，点E在弧AD上，则∠C的度数为140°．【解答】解：连接BD，∵∠E＝110°，∠ABD+∠E＝180°，∴∠ABD＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠BAD+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．三．解答题（共9小题）20．（2022•亭湖区校级三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；【问题探究】（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD＝BD．保留作图痕迹，不写画法；（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积；【问题解决】（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC＝BD，且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接AC，BD，如图：∵∠BEC＝∠AED，∴∠BEC+∠CED＝∠AED+∠CED，即∠BED＝∠AEC，在△BED和△CEA中，EB=EC∠BED=∠AEC∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝AC，∴四边形ABCD是美好四边形；（2）如图：四边形ABCD即为所求；（3）连接BD，过D作DK⊥AB于K，如图：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=AB∵四边形ABCD是美好四边形，AD＝BD，∴AD＝BD＝AC＝5，∵DK⊥AB，∴AK＝BK=12AB＝在Rt△ADK中，DK=A∴S△ABD=12AB•DK=12×4×21=221，S△BCD=12BC∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝221+3（4）存在这样的点D，满足AC＝BD，且使得四边形ABCD的面积最大，理由如下：当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N，则S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB=12AC•（DM+∵DM＜DO，BN＜BO，∴DM+BN＜BD，∴S四边形ABCD＜12AC•当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图：S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB=12AC•（OD+OB）=1∴当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，如图，当AC过圆心E，AC最长，四边形ABCD中，AC⊥BD时，其面积最大，∵⊙E的半径为200m，点A到该湖泊的最近距离为500m，∴AC＝500+2×200＝900（m），∴AC＝BD＝900m，∴S四边形ABCD=12AC•BD=12×900×900＝故四边形ABCD的面积最大为405000m2．21．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q2（2，23），作Q2F⊥x轴于点F∴OQ2=OF2+∵tan∠Q2OF=2∴∠Q2OF＝60°，∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q3（﹣2，23），作Q3G⊥x轴于点G则tan∠Q3OG=Q∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3=OGcos∠Q3∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q4（22，﹣22），作Q4H⊥x轴于点H则tan∠Q4OH=Q4∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4=OHcos∠Q4∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点；综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4，故答案为：Q2，Q4．（2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5，当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上，过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图，则OT＝﹣b，OS=-1∴ST=OS当OG＝5时，b取得最小值，∵5×（-52b）＝﹣b×（-∴b＝﹣55，∴﹣55≤b＜5（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ=355，∴GI＝GJ+JI＝3+3∴MI=12GI∴OE＝IE+MI﹣OM=352-32，即xE解得t=3如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝35，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣35，解得t＝﹣35，观察图象可知，﹣35≤t＜3+22．（2022•滨海县模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若FC∥OA，CD＝12，求图中阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵DF是圆O的直径，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴DC⊥OE，∴DG=12CD=12∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC=13×180在Rt△ODG中，∵sin∠DOG=DGOD，cos∠DOG∴OD=DGsin∠DOG=OG＝OD•cos∠DOG＝43×12∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG=60π×(43)2360-12×223．（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AC为直径的⊙O切AB于点A，与BC交于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若BE＝9cm，弦CE的长为16cm，求⊙O的半径长．【解答】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点A，∴∠OAB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠OAB＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∵∠OAB＝90°，∴∠ACB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAC，∴△AEC∽△BEA，∴AEBE∴AE9∴AE＝12或AE＝﹣12（舍去），在Rt△AEC中，EC＝16，∴AC=AE∴⊙O的半径长为10．24．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OD，如图：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥AC，∴直线DF是⊙O的切线；（2）如图，连接OE，∵点E是半圆ADB的一个三等分点，∴∠AOE＝60°或120°，当∠AOE＝60°时，S△AOE=12AE•OEsin60°=12×4×S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE=60⋅π×42360-当∠AOE＝120°时，过点O作OH⊥AE于点H，则AE＝43，OH＝2．S△AOE=12AE•OH=12×43S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE=120π×42360-综上所述，阴影部分的面积是8π3-43或16π325．（2022•滨海县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，OE⊥BC于点E，AB＝12cm，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线：（2）求AD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OE⊥BC，OE过圆心O，∴BE＝CE，又∵O为AB的中点，∴OE=1∵OE＝3，∴AC＝2OE＝6，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠D＝90°，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ABC，∴ADAC即AD6∴AD＝3cm．26．（2022•盐城二模）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题1～4．试题分析（Ⅰ）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一点，且AD＝AC．求∠BDC的度数．小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设∠ADB＝α，易知∠CAD＝90°﹣2α，又因为AD＝AC，得∠ADC＝45°+α，即可算出∠BDC的度数．小丽：我发现AB＝AC＝AD．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上……猜想证明（Ⅱ）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A在BC同侧．猜想：若∠BDC＝45°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上．对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：以点A为圆心，AB长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点D可能在⊙A内，或点D在⊙A上，或点D在⊙A外．故只要证明点D不在⊙A内，也不在⊙A外，就可以确定点D一定在⊙A上．（Ⅲ）进一步猜想：如图2，在△ABC中，∠BAC＝β，AB＝AC，点D、A在BC同侧．若∠BDC＝12β°，则点D在以点A为圆心、线段（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；问题2．补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）12β°问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想；问题4．如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，∠BOC＝90°，点A处为投影机，投影角∠BAC＝45°，折线B﹣O﹣C为影像接收区．若影像接收区最大时（即OB+OC最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长10．【解答】问题1：解：小明：如图1，设∠ADB＝α，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝α，∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣2α，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD=180°-∠CAD2=180°-(90°-2α)2∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°+α﹣α＝45°，小丽：如图2，∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴∠BDC=∵∠BAC＝90°，∴∠BDC＝45°；问题2：由问题1可知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，