专题30圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类

专题30圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类【考点预测】1、三角形的面积处理方法（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）水平宽·铅锤高或（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直（2）一般四边形（3）分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之底·高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型七：四边形的面积问题之一般四边形【典例例题】题型一：三角形的面积问题之底·高例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．【解析】（1）由题意得：，且，解得：，所以，所以椭圆方程为；（2）联立与椭圆方程可得：，由，解得：；设，则，，由弦长公式可得：，点到直线的距离为，则的面积为，其中，令，，则，由于，所以，,令得：，令得：，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.【解析】（1），，由椭圆过点得，解得，，∴椭圆的方程为.（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点则有，∴.将方程代入椭圆方程中整理得：，∴，，，∴，当且仅当，即时取等号.当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴面积的最大值为2.例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．(1)求C的方程；(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．【解析】（1）因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，则有，解得，所以C的方程为．（2）依题意，，由消去x并整理得：，，设，则，于是得，点O到l的距离，因此，即，整理得，即，显然满足，所以.例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）【解析】（1）由椭圆的定义，可知解得，又.椭圆C的标准方程为.（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，得，，得设，则，，点到直线的距离，.当且仅当，即时取等号；面积的最大值为.例5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．【解析】（1）根据题意得：，解得，，，所以，抛物线焦点，所以，椭圆，拋物线（2）设，联立与椭圆，整理得：，

判别式：弦长公式：点到直线的距离为所以联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：，点到直线的距离为所以，因为，即，解得：.所以，直线在轴上截距或，所以，直线在轴上截距取值范例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【解析】（1）设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．（2）设，，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，，，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．题型二：三角形的面积问题之分割法例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．【解析】（1）设椭圆C的焦距为，则，即，所以，即，又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，所以，即，综上解得，所以椭圆C的方程为．（2）易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，则．又，易知与同号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.【解析】（1）依题可得，，解得，所以椭圆的方程为.所以离心率.（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，由可得，，所以，，而，即，化简可得，，化简得，所以或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点.设定点，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.【解析】（1）由已知可得：，解得：，，∴椭圆的方程为：.（2）∵，设的直线方程为：，，，联立方程：，整理得：，∴，，∵，，，即，，，，整理得，解得或（舍去），∴，，∴，令，则，由对勾函数单调性知，，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时最大值为.例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，则解之得：所以椭圆的标准方程为．（2）如图所示，设直线，则消去x整理得，设的面积为S，又，则，令，则，又设，则，∴在上为增函数，，∴，所以，存在当时，即直线l的方程为的面积有最大值，其最大值为3．题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，，因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且，因此，（定值）.例12．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值【解析】（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，所以，又，则，所以，，故椭圆的标准方程为；（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，由得：，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以，面积的最大值为.例13．（2022·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.【解析】(1)由题意可知，，，，设，，，由椭圆的性质可知，，，故，即.(2)设，，联立消去整理可得，，，，，直线的方程为：，根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为，，，，四边形的面积为，当且仅当即时，上式取等号，所以的最大值为.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.【解析】(1)由题意知，a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为，因为c＝＝，所以椭圆C的离心率.(2)设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则因为A(2，0)，B(0，1)，所以直线PA的方程为，令x＝0，得，从而|BM|＝1－yM＝直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四边形ABNM的面积为2.例15．（2022·广东·高三阶段练习）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.【解析】（1）椭圆经过点，,椭圆的离心率为，则，即,即，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为，则，则不妨取，故，解得，故方程为，直线过中点，即为轴，得，，故；直线斜率存在时，设其方程为，，，联立，可得，则①，②，

③，以为直径的圆过原点即，化简可得，将②③两式代入，整理得，即④，将④式代入①式，得恒成立，则，设线段中点为，由，不妨设，得，又∵，∴，又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得即，则，综上，四边形面积的最大值为.例16．（2022·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.（1）求面积的最大值；（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.【解析】解法一

当直线的斜率不存在时，由对称性，设直线方程为，则，，当且仅当时取等号.设直线：，，，联立方程，消去得：，判别式，则，于是.原点到的距离，所以，当且仅当时取等号.（2）不妨设，根据垂径定理得：，则的方程为.将的方程代入椭圆方程，消去得.注意、在直线的两侧，所以，.又点在直线上，所以，化简得：，则.解法二

（1）设，则，.设原点到直线的距离为，则.（2）要四边形为平行四边形，则四边形为菱形，由（1）知.解法三（1）设，，则，当且仅当，时取等号.（2），则，即，移项整理得，则，故.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以，即，①又椭圆经过点，则，②由①②解得，，所以椭圆的方程为．（2）当直线垂直于坐标轴时，点不能构成三角形，不符合题意，当直线不垂直于坐标轴时，设，，，则，联立得，则，．又，，易知与同号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．例18．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知椭圆C：（）的焦距为，且经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点，求（O为原点）面积的最大值.【解析】（1）由①由椭圆C经过点，得②，联立①②，解得，，∴椭圆C的方程是.（2）由题意可知直线一定存在斜率，设其方程为，联立，消去y，得，则，得，设，，则，，∴，∵，设（），则，当且仅当，即时等号成立，此时，符合题意，此时面积取得最大值.题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型例19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知，，，，∵，则，∴，∴，解得，，∴双曲线的方程为．（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，由，得，则，解得①，∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，，解得②，由①、②得实数k的范围是.由已知，∵B在A、Q之间，则，且，∴，则，∴，则，∵，∴，解得，又，∴．故λ的取值范围是．例20．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．【解析】（1）由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．（2）由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．例21．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆过点．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形的面积为，的面积为，，求的取值范围．【解析】（1）依题意，得，故C的方程为．（2）依题意，，设，则，所以直线，令，则．直线，令．则，又易知，所以四边形的面积．由题意可知的直线方程为，再设椭圆的参数方程为为参数，则动点M到直线的距离，，化简得．∵，∴，的面积，∴．∵，∴，即．例22．（2022·上海金山·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.(1)求的周长；(2)当垂直于轴时，求直线的方程；(3)记与的面积分别为，求的最大值.【解析】(1)由椭圆的定义知，，所以的周长为8.(2)因为，故，直线的方程为.联立解得或即从而，直线的方程为，即.(3)设.设直线的方程为，其中.联立消去得则.又，即，故.同理，.于是，，又，故，当且仅当，即时等号成立.故的最大值为.另令，则.当且仅当，即.故的最大值为.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．【解析】（1）根据题意可得解得椭圆的标准方程（2）圆设，则设，，，则，同理可得：，，∵的面积是面积的倍，则代入整理得：联立方程，得或，即，同理联立方程，得或，即，同理代入可得：，解得或当时，直线，；当时，直线，例24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D．(1)若点C是的中点，求p的值；(2)设与的面积分别为，求的最大值．【解析】（1）设直线l的方程为，代入，得，由题意，即，∴l的方程为，又∵l过，∴；（2）l的方程化为，设，则l的方程为，点C的纵坐标，则，由，得，解得．设M，N的纵坐标分别为，令，显然，则，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值为．例25．（2022·河北邯郸·二模）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．(1)求C的标准方程；(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．【解析】(1)因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，所以有；(2)由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，与椭圆方程联立为：，设，因为，所以，，直线AG的方程为：，令，得，即，同理可得：，，因为，所以有，于是有，因此为定值.例26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围．【解析】(1)设椭圆的方程为，焦距为，椭圆的离心率，则有，解得，所以椭圆的方程为；(2)，设，则，且，则kAP设的方程为，则的方程为，联立，消得，则，联立，消得k2+3x则，所以，同理可得，所以，设，则，因为，则，则，所以，即.例27．（2022·江西鹰潭·二模（理））设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.(1)求动点D的轨迹E的方程；(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.【解析】(1)设，则，因，则，又P在圆上，即，所以动点D的轨迹E的方程是.(2)当直线的斜率时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，设直线的方程为：，因直线与圆相切，则，即，由消去x并整理得：，，设，则，而T是线段AB中点，则，令，则，而，当，即时，，于是.题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型例28．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．(1)求椭圆C的方程；(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．【解析】（1）因为，，所以，，因为轴，焦距为2，所以，，又，所以，，所以椭圆C的方程为；（2）由已知可设直线的方程为，设，，联立方程组化简可得，所以，化简可得，所以，，，又的方程为，与直线联立可得，所以，的方程为，与直线联立可得，所以，所以，当时，，所以因，，所以，当且仅当时取等号，当且时，，，，所以，所以的最小值为.例29．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点P的轨迹方程C；(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)设，依题意有，，即，整理得：或；(2)当时，，即圆D的半径为，当最大时，必有，，当时，，当时，，当时，，在时，取最大值=；(3)设，，当时，有,由弦长公式得，，∴，，此时，点P的坐标为或;综上，轨迹C的方程为，取最大值=，存在，P或P.例30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．【解析】（1）由题意知，，又，∴，，∴椭圆标准方程为.（2）∵轴，∴，设，则，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，设，，则，，∴.①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得.得，∴，即，解得.故直线的方程为或.例31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且．(1)求椭圆的长轴和短轴的比值；(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．【解析】（1）设，则，，所以，，所以长轴和短轴的比值为；（2）由（1），设椭圆方程为，由题意直线的斜率存在且不为0，设其方程为，．由得：，则，所以，所以，因为，设，则，，即，又，所以，所以的取值范围是．例32．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为设点P的坐标为，由题意得，化简得故动点P的轨迹方程为；（2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，则因为，所以，所以即，解得，因为，所以，故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.【解析】当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立，设,则，由弦长公式可得；因为,故，进而可得所以四边形的面积为,因为，即，，当且仅当时，等号成立，当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为∴四边形面积的最小值为.例34．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为，所以，当为上顶点或下顶点时，的面积最大，因为的最大面积为，所以，即，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，联立消去得，解得，所以，所以两点的坐标分别为，所以.因为，设四边形的面积为，所以.设直线的方程为.联立消去得，所以，即，，所以，所以当时，，此时.所以四边形面积的最大值为.例35．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆与圆内切，且与圆外切，动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，其中从而轨迹的方程为：（2）（i）设直线的方程为，则由可得：直线的方程为，令可得点的横坐标为：为一个定点，其坐标为（ii）根据（i）可进一步求得：.，则，四边形面积（法一）等号当且仅当时取，即时，（法二）令，则当，即时，题型七：四边形的面积问题之一般四边形例36．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．【解析】（1）设，，联立直线与椭圆方程得，消去y得，又，是这个方程的两个实根，所以，由弦长公式得，所以当时，取到最大值，即，解得．所以椭圆C的方程为．（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，所以，且，记点，到直线的距离分别为，，又，且，所以，所以，因为，所以，整理得，所以满足条件，综上所述直线的方程为，即为．例37．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．【解析】（1）依题意，又，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，且，所以，即，又，，所以，若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，则，所以，所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原点到的距离，所以，将代入得，所以，综上可得，四边形的面积为定值.例38．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．(1)求C的方程．(2)直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最