2023年江苏省中考数学第一轮复习卷9三角形

2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：9三角形一．选择题（共13小题）1．（2022•射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．（2022•宜兴市一模）如图，△ABC中，BC＝6，∠A＝30°，点O为△ABC的重心，连接AO、BO、CO，若固定边BC，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC的大小不变，则线段AO的长度的取值范围为（）A．3＜AO≤2+4 B．3≤AO≤3+4 C．2≤AO≤2+4 3．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°4．（2022•如皋市二模）平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），C(n，2n)，其中m，n均为常数，且n≠0．当△A．﹣3 B．﹣2 C．-3 D．5．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSS C．角平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL6．（2022•宜兴市校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，BD⊥CE，垂足为点D，连结AD．下列结论：①若∠ABC＝30°，则BD＞AD；②若∠ABC＝45°，则S△ACE＝4S△BDE；③若sin∠ABC=13，则S△ABC＝S△ABD；④若tan∠ABC＝m，则CE＝2m•A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．（2022•惠山区校级二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝10，在△ABC三边上各取一点连成等边△DEF，则△DEF面积的最小值是（）A．2533 B．75143 C．758．（2022•苏州模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（）A．22 B．2315 C．129．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．410．（2022•镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A．2 B．73 C．625 11．（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm13．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．433 B．2213 C．5二．填空题（共11小题）14．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是．15．（2022•亭湖区校级模拟）如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若BC＝10，则IQ的长为．16．（2022•泰兴市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若AD：AE＝4：5，AC﹣AB＝2，则阴影部分的面积和为．17．（2022•镇江一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点D，你有哪些发现？写出一个即可：．18．（2022•锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP＝30°，则∠ABE＝°，DGQM的值为19．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝8cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE＝cm．20．（2022•高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为α，则tanα的值为．21．（2022•启东市二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，则河宽AB为米．（结果保留根号）22．（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．23．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．24．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．三．解答题（共9小题）25．（2022•亭湖区校级模拟）如图，△ADE中，AD＝AE，点B、C是直线DE上的两点，点B在点D左侧，点C在点E右侧，且BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若DA⊥AE，∠B＝28°，求∠BAD的大小．26．（2022•海州区校级三模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若EF＝12，AE＝10，求四边形AEDF的面积．27．（2022•邗江区二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，∠ACB的角平分线交边AB于D点，BD=2（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，（3）在（2）的条件下，若AE＝EC，请求出△EGC的面积．28．（2022•扬州三模）如图，△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝62，AD＝2时，请直接写出DC的长．29．（2022•连云港模拟）在平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段颜款首尾精接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10：发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC（的度数可能是多少？尝试：報线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离：拓展：①如图2，设点D与B的盟离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）：②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．30．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+3531．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为°；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE32．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝42，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG33．（2022•苏州）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．①若DE＝1，BD=32，求②试探究ABAD（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1•S3=916S22，求cos∠

2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：9三角形参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：如图，延长AC交平行线与点H，则∠2＝30°，∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故选：A．2．（2022•宜兴市一模）如图，△ABC中，BC＝6，∠A＝30°，点O为△ABC的重心，连接AO、BO、CO，若固定边BC，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC的大小不变，则线段AO的长度的取值范围为（）A．3＜AO≤2+4 B．3≤AO≤3+4 C．2≤AO≤2+4 【解答】解：如图1，作△ABC的外接圆E，连接BE，EC，过点E作ED⊥BC于D，∵BE＝EC，∴BD＝CD＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠BEC＝60°，∵BE＝EC，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝6，ED＝33，当点A接近点B或点C时，OA的值最小，OA＞3，当AO与ED在同一直线上时，如图2，AO最大，∵AD＝AE+DE＝6+33，∵O是重心，∴AO=23AD＝4+23，即AO的最大值是4+2综上所述，3＜OA≤4+23故选：D．3．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°【解答】解：如图，连接CP．∵AB＝AC，∠A＝55°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣55°）＝∵∠APC＝∠B+∠PCB，∴62.5°＜∠APC＜125°，故选：C．4．（2022•如皋市二模）平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），C(n，2n)，其中m，n均为常数，且n≠0．当△A．﹣3 B．﹣2 C．-3 D．【解答】解：∵A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），∴|AB|=(2m+2-2m此时，△ABC中，|AB|长度确定，设△ABC的高为h，∴S△ABC∴当△ABC的面积最小时，h最小，设直线AB为：y＝kx+b，则-m解得：k=-∴直线AB为：y=-12（x﹣2m）﹣m﹣1=-∴2y＝﹣x﹣2，x+2y+2＝0，点C到直线AB的距离为：n=|n+2×由图可知，点C在第三象限会使h最小时，n＜0，n+4n当且仅当n=4n，n＝﹣故选：B．5．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSS C．角平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL【解答】解：A、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故A不符合题意；B、当AD是中线时，则利用SSS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故B不符合题意；C、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故C符合题意；D、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故D不符合题意；故选：C．6．（2022•宜兴市校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，BD⊥CE，垂足为点D，连结AD．下列结论：①若∠ABC＝30°，则BD＞AD；②若∠ABC＝45°，则S△ACE＝4S△BDE；③若sin∠ABC=13，则S△ABC＝S△ABD；④若tan∠ABC＝m，则CE＝2m•A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：①如图1，延长BD，CA交于点G，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=2x，AB＝AC＝x+2∴CE=A∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE=（CEBE）∴S△ACE＝（2+2）S△BDE故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EF设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝22a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=2a延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝32a，BD＝DG，∴AG＝22a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×22a×S△ABC=12•2a•4a＝22a∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB∴CE2BD=∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．7．（2022•惠山区校级二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝10，在△ABC三边上各取一点连成等边△DEF，则△DEF面积的最小值是（）A．2533 B．75143 C．75【解答】解：由题意知，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠B＝60°，延长BC至G，连接FG使∠G＝∠B＝60°，∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°，∴∠BED+∠FEG＝120°，∵∠B＝60°，∴∠BED+∠BDE＝120°，∴∠FEG＝∠BDE，在△GFD和△BDE中，∠G=∴△GFE≌△BDE（AAS），∴BE＝GF，设CG＝x，∵Rt△CFG中，∠G＝60°，∴∠CFG＝30°，∴GF＝2x，FC=3x∴BE＝2x，CE＝10﹣2x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，EC2+CF2＝EF2，∴EF=(10-2x∵0≤2x≤10，即0≤x≤5，∴当x=207时，EF最小值∴S△DEF的最小值=1故选：C．8．（2022•苏州模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（）A．22 B．2315 C．12【解答】解：如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，∵AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，∴AE＝AF＝BE＝DF，∵∠BAD＝60°，∴△EAF是等边三角形，∵AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠CAD＝30°，AC⊥EF，设AE＝23x，则EF＝BE＝23x，AO＝3x，∴BC＝4x，AC＝8x，∴OC＝8x﹣3x＝5x，由勾股定理得：EC＝FC=BC2+B∵S△EFC=12•EF•OC=12•∴EF•OC＝CF•EG，∴23x•5x＝27x•EG，∴EG=5∴sin∠ECF=EG故选：D．9．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE=12AC＝故选：C．10．（2022•镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A．2 B．73 C．625 【解答】解：如图：连接AE，由题意得：AE∥BC，AD=32+42=∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，故选：A．11．（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝2，∴BC＝4，故选：B．12．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．13．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．433 B．2213 C．5【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC=AE2+C在Rt△BCD中，BD=B在Rt△AOB中，OB=A∵OB+BD＝OD＝m，∴m2-3化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m=533或∴m=5故选：C．二．填空题（共11小题）14．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是45．【解答】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OC＝OA＝4，连接AC，BC．∵△AOC，∠APB都是等腰直角三角形，∴∠OAC＝∠PAB，AC=2OA，AB=2∴∠OAP＝∠CAB，OAAC∴△OAP∽△CAB，∴∠AOP＝∠ACB＝90°，∴点B在直线y＝x+4上运动，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，当点B与T重合时，OB+AB的值最小，∵E（﹣4，40，a（4，0），∴AE=42+∴OB+AB的最小值为45，故答案为：45．15．（2022•亭湖区校级模拟）如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若BC＝10，则IQ的长为103【解答】解：连接AI并延长交BC于D，如图，∵点I为△ABC的重心，∴AI＝2ID，∴AIAD∵PQ∥BC，∴AQAC又∵PQ∥BC，∴△AIQ∽△ADC，∴IQDC∴IQ＝DC×2∵I为△ABC的重心，∴DC=1∴IQ=5×故答案为：10316．（2022•泰兴市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若AD：AE＝4：5，AC﹣AB＝2，则阴影部分的面积和为12．【解答】解：设DE交以AC为直径的半圆于F，取BC的中点O，作OG⊥DF于G，连接CF、BD、OA．∵AC是直径，∴∠AFC＝90°．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵DF∥BC，OG⊥DF，∴四边形BCFD、四边形DBOG是矩形，∴BC＝DF，OB＝DG，∵AD：AE＝4：5，设AD＝4k，AE＝5k，则AG=12AE=∴DG＝AD+AG＝4k+52k=∴OB＝OA＝DG=132k，BC＝DF＝2OB＝13∴AF＝DF﹣AD＝13k﹣4k＝9k，∴OG=OA2∴CF＝BD＝OG＝6K，在Rt△ABD中，AB=AD2+B在Rt△ACF中，AC=AF2+C∵AC﹣AB＝2，∴313k﹣213k＝2，∴k=2∴AB＝4，AC＝6，S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S△ABC﹣直径为BC的半圆的面积=12π（AC2）2+12π（AB2）2+12AC=18π（AC）2+18π（AB）2-18π（BC=18π（AC2+AB2﹣BC2）+1=12AC=12×＝12．故答案为：12．17．（2022•镇江一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点D，你有哪些发现？写出一个即可：A、C、D三点共线（答案不唯一）．【解答】解：写出一个发现为：A、C、D三点共线，理由如下：连接BD、CD，在△ABC和△DBC中，AC=DCAB=DB∴△ABC≌△DBC（SSS），∴∠BCD＝∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠BCD＝180°，∴A、C、D三点共线，故答案为：A、C、D三点共线（答案不唯一）．18．（2022•锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP＝30°，则∠ABE＝30°，DGQM的值为3-1【解答】解：∵四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，∴∠EAB＝∠CAM，在△EAB和△CAM中，AE=AC∠EAB=∠CAM∴△EAB≌△CAM（SAS），∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，∴∠BPQ＝∠APM＝60°，∴∠BQP＝90°，∴PQ=12设AP＝a，∴PM＝2AP＝2a，在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM=P∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（3-1）a∴PQ=12PB=∴QM＝QP+PM=3-12a+2a∵∠ACB＝90°，∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠ACB＝∠DCG，在△ACB和△DCG中，BC=CG∠ACB=∠DCG∴△ACB≌△DCG（SAS），∴DG＝AB=3a∴DGQM故答案为：30；3-119．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝8cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE＝4cm．【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴AC=12BC＝4∵BD平分∠ABC，DA⊥BA，DE⊥BC，∴DE＝DA，∴DC+DE＝DC+DA＝AC＝4cm．故答案为：4．20．（2022•高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为α，则tanα的值为13【解答】解：如图1所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC＝90°，∴∠DBA+∠EBC＝90°，∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EBC＝∠DAB，∵∠ADB＝∠BEC，AB＝BC，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD＝BE＝2a，DB＝EC＝a，∴AF＝DE＝3a，∵CF＝a，∴tanα=1故答案为：1321．（2022•启东市二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，则河宽AB为153【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴BC=33在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD=3AB=3∴CD＝BD﹣BC=3x-33x∴233x＝解得x＝153．即：河宽AB为153米．故答案是：153．22．（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是AB＝DE（答案不唯一）．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．23．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是2．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．24．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是21．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=DF在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=AC∵12•DF•EF=12•DE∴FG=12∴BG=B∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE∴F′H＝FG=12∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM∴BM=14AB同法可证AN=14AB∴MN＝15-15∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+15故答案为：21．三．解答题（共9小题）25．（2022•亭湖区校级模拟）如图，△ADE中，AD＝AE，点B、C是直线DE上的两点，点B在点D左侧，点C在点E右侧，且BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若DA⊥AE，∠B＝28°，求∠BAD的大小．【解答】（1）证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中AD=AE∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AB＝AC；（2）解：∵AD⊥AE，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∵∠B＝28°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝17°．26．（2022•海州区校级三模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若EF＝12，AE＝10，求四边形AEDF的面积．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，∴DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，DA=DADE=DF∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵AD垂直平分EF，EF＝12，AE＝10，∴EG=12EF=6，∠AGE∴AG=A∵∠AGE＝∠AED＝90°，∠GAE＝∠EAD，∴△GAE∽△EAD，∴AEAD=AG∴AD=25∴S四边形27．（2022•邗江区二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，∠ACB的角平分线交边AB于D点，BD=2（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE（3）在（2）的条件下，若AE＝EC，请求出△EGC的面积．【解答】解：（1）如图，作DM⊥BC于M，∵CD平分∠ACB，∠DAC＝90°，∴AD＝DM，∵BD=2，∠B＝45∴DM＝BM＝1，∴AD＝DM＝1，又∵∠A＝90°，∠B＝45°，∴AC＝AB=2（2）EFAE如图2，取AF的中点为N，连接EN，CN，∵∠AEF＝∠ACF＝90°，∴EN＝CN＝AN＝NF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACD，又∵∠DAC＝∠AEF＝90°，∴△AEF∽△DAC，∴EFAE（3）由第（2）问可知A、E、C、F四点共圆，∴∠EAC＝∠CFE，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AFE＝∠ACE，∴∠AFE＝∠EFC，∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝45°，∴∠ACD＝22.5°，∴∠AFE＝∠EFC＝22.5°，∴∠AFC＝45°，∴CF＝AC=2+又∵tan∠EFC＝tan∠AFE，∴CGCF∴CFCG∴CG＝1，∴AG=2∵∠EAC＝∠ACE，∵∠EAC+∠DAE＝∠ACE+∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE＝EC，∴S△AEC=12S△ADC=12×12∵S△EGC∴S△GEC=2+1428．（2022•扬州三模）如图，△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：BE＝AD；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝62，AD＝2时，请直接写出DC的长．【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案为：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：当点D不在AC上时，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE=2AD理由如下：当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：DCEC=sin45在等腰直角三角形ABC中：ACBC∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，DCEC∴△DCA∽△ECB，∴ADBE∴BE=2②当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：∵AB＝62，AD＝2，由上可知：AC＝AB＝62，BE=2AD=2∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴EFCF∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝62，∴BF=14×在Rt△EBF中：EF=B∵CF＝3EF＝3×5∴EC＝EF+CF＝102（或EC＝4EF＝102），在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝102×2当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝62，AD＝2，∠DAC＝45°∴AH＝DH=2，CH＝AC﹣AH＝52∴CD=DH2综上所述，满足条件的CD的值为10或213．29．（2022•连云港模拟）在平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段颜款首尾精接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10：发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC（的度数可能是多少？尝试：報线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离：拓展：①如图2，设点D与B的盟离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）：②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．【解答】论证：证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，∠A=∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，∴AO＝10；发现：①设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°，而BO＝BC'＝10，∴△BC'O是等边三角形，∴BC旋转到BO的位置，即C与O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等边三角形，∴此时∠ADC＝60°；②如图：当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，∴此时∠ADC＝120°，综上所述，∠ADC为60°或120°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x=5∴AQ=5∴DQ=A∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴MNDQ=BM∴MN=15∴点M到AB的距离为1515拓展：①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，连接BD，如图：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH=12BD=设BG＝m，则AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m=d∴BG=d∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴BPBD∴BP=BH⋅BD②过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK=25∴CK=ARt△ACK中，tan∠KAC=CKRt△AFH中，tan∠KAC=FH设FH=7n，则CH＝FH=7n，AH＝5∵AC＝AH+CH＝102，∴5n+7n＝102解得n=10∴AF=AH2Rt△ADF中，cosα=AD30．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+35【解答】解：（1）如图①所示，点A0为所求点，过点A0作A0D⊥y轴于D，∴∠A0DB＝90°＝∠AOB，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA＝4，BO＝3，∵把线段AB绕点B逆时针旋转90°，∴∠A0BA＝90°＝∠AOB，A0B＝AB，∴∠ABO+∠OAB＝90°＝∠ABO+∠A0BD，∴∠A0BD＝∠OAB，∴△A0BD≌△BAO（AAS），∴BD＝AO＝4，A0D＝BO＝3，∴点A0（3，7）；（2）如图②，过点O'作O'H⊥y轴于H，过点A'作A'E⊥O'H于E，∵把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO＝BO'＝3，∠OBO'＝120°，A'O＝AO＝4，∠AOB＝∠A'O'B＝90°，∴∠O'BH＝60°，∴∠BO'H＝30°，∴BH=32，O'H=3∴OH=9∴点O'（92，3∵∠A'O'E＝90°﹣∠BO'H＝60°，∴∠O'AE'＝30°，∴EO'=12A'O'＝2，A'E=3EO'＝∴HE=33∴点A'（332-2，9（3）如图③，过点P作PC⊥AB于C，∵OA＝4，BO＝3，∴AB=AO2∴sin∠BAO=OB∴PC=35∵旋转，∴BP'＝BP，∴P′B+BA+35AP＝BP+5+作点B关于x轴的对称点B'，过点B'作B'C'⊥AB于C'，交x轴于P''，此时BP+PC的最小值为B'C'的长，∴BO＝B'O＝3，∴BB'＝6，∵sin∠ABO=AO∴B'C'=24∴P′B+BA+35AP的最小值为531．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为45°；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝122，∵D、E分别为BC、PC的中点，∴DE∥AB，DE=12∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案为：45；（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，∵DE=12∴DE＝6-x∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF=22DE＝32∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝62，∴C