第二章直线和圆的方程（A卷知识通关练）

班级姓名学号分数第二章直线和圆的方程（A卷·知识通关练）核心知识1直线的倾斜角与斜率1．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.【答案】

【解析】因为直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，所以l的斜率为，所以l的斜率取值范围为，设其倾斜角为，，则，所以其倾斜角的取值范围为，故答案为：，2．（2022·上海市控江中学高二期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.【答案】1【解析】因为直线l经过点､，所以直线l的斜率是，故答案为：13．（2022·上海虹口·高二期末）直线与的夹角为________．【答案】【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，直线的斜率，即倾斜角满足，所以，所以，又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.4．（2022·重庆·高二期末）经过点作直线，直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是________．【答案】【解析】，，而，因此，故答案为：．5．（2022·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率的定义知，.故选：D.6．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：B．7．（2022·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵直线过定点，且，，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D8．（2022·重庆长寿·高二期末）直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.故选：C9．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.核心知识2直线方程的五种形式10．（2022·全国·高二期末）直线过点、，则直线的方程为______．【答案】【解析】由题设，，则直线的方程为，整理得.故答案为：11．（2022·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.【答案】，【解析】显然直线的斜率存在且不为，设：令，则；令，则依题意，解之得或当时，：当时，：故答案为：，12．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（

）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【解析】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.由，解得：.故的值是2或1.故选：D13．（2022·全国·高二期中）已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或1，故直线方程为或，即或.故选：C.14．（2022·上海市大同中学高二期中）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C15．（2022·天津天津·高二期末）经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为直线经过点且斜率为2，所以直线的方程为，即，故选：．16．（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））完成下面问题：(1)求直线分别在轴，轴上的截距；(2)求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程；(3)已知两点，，求线段的垂直平分线的方程.【解析】(1)将化为截距式，由此可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为10与4.(2)因为所求直线平行于直线，所以可设所求直线方程为，这两条直线间的距离，解得c=0或c=4，直线方程为或；(3)直线MN的斜率，MN的垂直平分线的斜率MN的中点坐标为，所以线段MN的垂直平分线的方程为，整理得.17．（2022·吉林长春·高二期中（文））已知的三个顶点的坐标为，，．(1)求边AB上过点C的高所在直线的方程；(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．【解析】(1)，边AB上的高所在直线的斜率为，

又直线过点，

所求直线的方程为：，即；(2)设直线l的方程为：，即，，，解得：，直线l的方程为：，直线l过点，三角形斜边长为，直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．核心知识3直线的平行与垂直18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知两直线，若，则____；若l1∥l2，则______.【答案】

3或2

【解析】因为，，所以，若，则，解得或,若，则，解得，经检验适合题意.故答案为：①3或2；②19．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知，若直线：与直线：平行，则______________．【答案】3【解析】因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.20．（2022·四川南充·高二期末（文））“”是“直线：与直线：互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A21．（2022·湖北孝感·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线与直线垂直,则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：B.22．（多选题）（2022·云南普洱·高二期末）已知直线，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【解析】直线，则，由，得，所以恒过定点，所以A错误；由可得：，所以，B正确；由可得：，，所以C错误；由，当时，，不过第三象限；当时，，不过第三象限，只需要，解得，所以的取值范围为，所以D正确；故选：BD.23．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线：和：．(1)若，求实数m的值；(2)若，求实数m的值．【解析】(1)由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，因为，所以，解得或2，①当时，由此时直线，重合，②当时，，此时直线，平行，综上：若，则实数m的值为2．(2)①当时，直线的斜率为0，此时若必有，不可能.②当时，若必有，解得，由上知若，则实数m的值为或．核心知识4直线的交点坐标与距离公式24．（2022·上海市控江中学高二期中）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是___________.【答案】【解析】由直线，得；令，解得，则直线过定点；又，且过点，则直线与之间距离的最大值；故答案为：.25．（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．【答案】【解析】设，则，解得，点的坐标为，故答案为：．26．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.【答案】【解析】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.故答案为：27．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．【答案】4【解析】在一象限，所以，点到直线的距离为3，则，解得：或.因为，所以.故答案为：4.28．（2022·贵州遵义·高二期末（文））直线与直线的距离为______．【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以它们间的距离为：.故答案为：29．（2022·广东·江门市第二中学高二期中）直线与间的距离为3，则_______.【答案】或【解析】由题，可知，所以两平行线间距离为，解得或，故答案为：或30．（多选题）（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（

）A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点【答案】BD【解析】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；对B，，解可得，故过定点，故B正确；对C，当时，，显然与重合，故C错误；对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确；故选：BD31．（2022·北京十五中高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解得，则直线的交点，又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.32．（2022·全国·高二期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（

）A．无论，，如何，方程组总有解B．无论，，如何，方程组总有唯一解C．存在，，，方程组无解D．存在，，，方程组无穷多解【答案】B【解析】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程组有唯一解.故选：B33．（2022·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B34．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A35．（2022·全国·高二期末）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．【解析】证明：原方程整理为，则由得所以点坐标为．36．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．【解析】易得在的垂直平分线上，的中点坐标为，又，则的垂直平分线斜率为，则方程为，即，由解得所以点坐标为．37．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l：.(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值.【解析】(1)由已知：，即，令，解得：x=1，y=4，∴直线l恒过定点(1,4).(2)设直线，分别与直线交于C，D两点，由，解得C，由，解得D，∴CD的中点M的坐标为(－2,－2)，不妨设A在直线上，B在直线上，则△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)为AB的中点，将M代入直线l的方程得：，解得·38．（2022·全国·高二期中）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：(1)边上的高所在的直线方程；(2)的面积．【解析】（1）因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．（2），直线方程为，整理得，则到的距离为，则的面积为.39．（2022·全国·高二期中）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．【解析】两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°．设直线的斜率为，故解得：或则直线的方程为：或.整理得：或.核心知识5对称问题40．（2022·吉林油田高级中学高二期中）已知点P与点关于直线对称，则点P的坐标为_______.【答案】【解析】由题可知该直线是线段PQ的垂直平分线，设，则解得故答案为：(3，0).41．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则___________.【答案】【解析】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示：则，不妨设，则直线的方程为，设点坐标为，则，且，整理得，解得，即点，又；设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得；故其内心坐标为，由及△的内心三点共线，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案为：.42．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．【答案】.【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：43．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．【答案】.【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：44．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．【答案】【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：45．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．【解析】（1）因为，所以．设直线的方程为（，且）．在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点的坐标为．把点的坐标代入直线的方程，得，解得，所以直线的方程为．（2）由，得，所以与的交点坐标为．另取上不同于A的一点，设关于的对称点为，则，得，即点的坐标为．所以过与的直线的方程为，即．46．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，求：(1)直线l关于点对称的直线的方程；(2)直线关于直线l对称的直线的方程．【解析】(1)设直线关于的对称直线上任意一点为，则点关于点的对称为，则，解得，即,将点代入直线，可得，整理得，即对称直线的方程为.(2)由，解得，即直线与的交点坐标为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，又由，所以直线的方程为，整理得，即直线关于直线l对称的直线的方程为.47．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:.(1)求点P（3，4)关于直线l对称的点Q；(2)求直线l关于点（2，3)对称的直线方程．【解析】(1)设Q（x0，y0)．由于PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上，则，解得，所以Q.(2)在直线l上任取一点，如M（0，－1).设点M关于点（2，3)对称的点为N（x，y)，所以，解得：，所以N（4，7)因为所求直线与l平行，所以,所以所求的直线方程为，即x－2y＋10＝0.核心知识6直线中的范围与最值问题48．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________.【答案】【解析】如图所示：定点关于函数的对称点，关于轴的对称点，当与直线和的交点分别为时，此时的周长取最小值，且最小值为．此时点的坐标满足，解得，即点.故答案为：.49．（2022·北京十五中高二期中）已知直线均过点P(1，2).(1)若直线过点A(1，3)，且求直线的方程；(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.【解析】(1)因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(1，3)，所以，因为，所以，则直线的方程，即；(2)如图所示：由题意得：直线的方程为：，令，得，即，令，得，即直线与x轴的交点为，直线又过点，所以直线的方程为：，即，令，得，即，所以，，，因为，所以当时，PNOM面积的最小值为.50．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．【答案】【解析】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.51．（2022·四川巴中·高二期中（文））当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.【答案】【解析】由可得过定点，由可得过定点.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.故答案为：.52．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．【答案】2【解析】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：.53．（2022·四川南充·高二期末（文））过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，直线l的方向向量，则有，解得，因此，，因当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选：D54．（2022·湖南·益阳平高学校高二期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【解析】由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选：D.55．（2022·四川·遂宁中学高二期中（理））过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为(

)A．1 B．3 C．4 D．2【答案】C【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，∴，∴．故(当且仅当时取“”)．故选：C．56．（2022·安徽省六安中学高二期中（文））已知，点为轴上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知点关于轴的对称点为，，直线方程为，令得，所以直线与轴交点为，，当且仅当是与轴交点时等号成立．故选：A．57．（2022·湖北荆州·高二期中）（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）设直线l的方程为，若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求面积取最小值时，直线l的方程．【解析】（1）当直线不过原点时，设l的方程为＋＝1，∵点在直线上，∴＋＝1，解得，所以直线方程为x＋y－1＝0；当直线过原点时，直线斜率，∴直线的方程为，即3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.58．（2022·四川巴中·高二期中（文））已知直线过点（1，2）.(1)若直线与平行，求直线的方程；(2)若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值.【解析】(1)因为直线与平行，所以直线的斜率为2，又直线过点（1，2），所以直线的方程为，即；(2)由题意，直线的斜率存在，设，且，令，可得，令，可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的面积的最小值为4.59．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）设，，则的最小值为______；已知x、y满足，若，则d的最小值______．【答案】【解析】因为，，则，即的最小值为；，可看作点和到直线上的点的距离之和，关于直线的对称点设为，，则，解得，，所以的坐标为，则的最小值为．故答案为：；．核心知识7圆的方程60．（2022·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为________．【答案】＝2【解析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线上，令，得圆心的坐标为，又，半径，则圆的方程为．故答案为：61．（2022·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程为______．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为；圆心关于直线对称的点为，所以所求圆的方程为.故答案为：.62．（2022·上海金山·高二期中）过直线与直线的交点，圆心为的圆的标准方程是_____.【答案】【解析】由，得，所以直线与直线的交点为，所以圆的半径为，所以所求圆的标准方程为，故答案为：63．（2022·全国·高二期中）已知点，为坐标原点，则以为直径的圆的方程是______．【答案】【解析】由题意可知，，，所以以的中点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为.故答案为：.64．（2022·全国·高二期中）方程表示圆，则的取值范围为______．【答案】或【解析】由题意知：，即，解得或.故答案为：或.65．（2022·贵州·遵义四中高二期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心(2,2),半径为2，圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,所以所求对称圆的标准方程为，故答案为：66．（2022·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知得，分别在原点、轴、轴上，，经过三点圆的半径为，圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.67．（2022·福建宁德·高二期中）某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D68．（2022·河北唐山·高二期中）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【解析】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，则圆心坐标为（－，－1），半径为因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.故选：C．69．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A70．（2022·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点和(1)求直线的方程；(2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程【解析】(1)，故直线方程为.(2)设圆心为，半径为,圆心在直线上，，则点为,由题意可得可得：解得，，，圆的标准方程为.71．（2022·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知的三个顶点分别为，求：(1)边中线所在的直线方程(2)的外接圆的方程【解析】(1)设的中点为，则所在直线的斜率为，则边所在直线的方程为，即．(2)设的外接圆的方程为，由，解之可得故的外接圆的方程为．核心知识8轨迹方程72．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.(1)求圆的方程；(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【解析】(1)由，令，解得或；令，得，所以圆过.设圆的方程为，，解得，所以圆的方程为.(2)设，则，将的坐标代入圆的方程得，即.73．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P与两个顶点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程;(2)过点且斜率为k的直线l，交曲线C于、N两点，若，求斜率k【解析】(1)设点，依题意，，则，化简整理得：，所以曲线C的轨迹方程是：.(2)依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：，由得，设，，则有，，即，整理得，解得或（舍去），所以斜率.74．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.【解析】(1)由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；(2)设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得又点D在圆C：上，所以有，化简得：．故所求的轨迹方程为．75．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C经过（1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.【解析】(1)设圆C的方程为则有，解之得则圆C的方程为(2)设，，则有，，由，可得，解之得由点A在圆C上，得即故点M的轨迹方程为.76．（2022·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.(1)求点的轨迹方程；(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.【解析】(1)设，由题意，得：，化简得，所以点的轨迹方程为(2)方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆轨迹的圆心到直线的距离为：77．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知圆，直线.(1)判断直线与圆的位置关系；(2)若圆与直线相交于点和点，求弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)直线经过定点，点到圆心的距离等于1小于圆的半径，故定点在圆的内部，故直线与圆总有两个不同交点，故直线和圆相交；(2)设中点的坐标为，则由直线和圆相交的性质可得.由于定点､圆心､点构成直角三角形，由勾股定理得，，∴，即，由于直线的斜率一定存在，故排除圆上的点.此圆在圆的内部，故点的轨迹方程为：，除去点.78．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知坐标平面上动点与两个定点、，且，设动点的轨迹为曲线.(1)若直线与曲线交于、两点，求的长；(2)若点与动点所连线段上有一点，满足，求点的轨迹方程.【解析】(1)，，即，所以，化简为，所以，曲线是以点为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，所以，.(2)设、，则，，因为，则，即，可得，因为，所以，，化简得，所以点E的轨迹方程为.79．（2022·广西柳州·高二期中（理））若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（

）A．B．C．中点的轨迹方程为D．中点的轨迹方程为【答案】C【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得，故A、B错误；由圆的性质可知直线垂直平分线段，所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确，D错误；故选：C80．（2022·上海·位育中学高二期末）已知圆过三个点.(1)求圆的方程；(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.【解析】(1)设圆的方程为，因为圆过三个点，可得，解得，所以圆的方程为，即.(2)因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，联立方程组，解得或，所以点的轨迹方程为.核心知识9直线与圆的位置关系81．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆与直线相切，则___________.【答案】【解析】，圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，∵圆和直线相切，∴.故答案为：.82．（多选题）（2022·云南曲靖·高二期末）已知圆与直线，则（

）A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆的圆心，半径，直线变形得，得直线过定点，∵，∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为，故C对；故选：AC．83．（多选题）（2022·广东深圳·高二期末）已知直线，圆，则（

）A．直线与圆相交B．圆上的点到直线距离的最大值为C．直线关于圆心对称的直线的方程为D．圆关于直线对称的圆的方程为【答案】ACD【解析】由圆方程知：圆心，半径；对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确；对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误；对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：，则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确；对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，所求圆的圆心为，半径为，圆关于直线对称的圆的方程为，D正确.故选：ACD.84．（多选题）（2022·广东汕尾·高二期末）直线：与圆：相交于，两点，则（

）A．直线过定点B．时，直线平分圆C．时，为等腰直角三角形D．时，弦最短【答案】AD【解析】对A，因为当时，恒成立，故直线过定点，故A正确；对B，当时，，圆的圆心为不满足，故此时直线不过圆的圆心，故直线不平分圆，故B正确；对C，当时，经过圆的圆心，故无，故C错误；对D，因为直线过定点，，故在圆内，故当弦最短时，与直线垂直.因为时，直线的斜率为，直线的斜率为1，故与直线垂直成立，故D正确；故选：AD85．（多选题）（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）过点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（

）A． B．四边形PAOB的外接圆方程为C．直线AB方程为y=2x+1 D．三角形PAB的面积为【答案】BD【解析】对A，，由勾股定理，.A错误；对B，由题意可知，，则PO为所求圆的直径，线段PO的中点为，半径为，于是，所求圆的方程为：.B正确；对C，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点B，则，而，则，于是，直线AB的方程为：.C错误；对D，易知，因为，，联立解得两条直线的交点，则，，所以三角形的面积为：，则三角形PAB的面积为.故选：BD.86．（多选题）（2022·湖北恩施·高二期末）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】BC【解析】由，得，令解得故直线l恒过点.圆心，半径，，则，即.故选：BC.87．（多选题）（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）下列说法正确的是（

）A．过点且在、轴截距相等的直线方程为B．过点且垂直于直线的直线方程为C．过两圆及的交点的直线的方程是D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是【答案】BC【解析】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为，若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为，所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；对于B选项，直线的斜率为，所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对；对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，，，故两圆相交，将两圆方程作差得，所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对；对于D选项，由可得，得，所以曲线表示圆的上半圆，直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，则，解得；当直线过点时，则，解得.由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错.故选：BC.88．（2022·广东江门·高二期末）直线：与圆：的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】A【解析】圆：的圆心为，半径，圆心到直线：的距离，所以直线与圆相切；故选：A89．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由直线可化为，则直线l过定点，因为直线l：与圆C：有公共点，所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，故选：B90．（2022·吉林辽源·高二期末）已知过坐标原点O的直线与圆相切，则切线长（点O与切点间的距离）为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】C【解析】圆C的标准方程为，圆心，半径，所以，切线长为.故选C.91．（2022·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线是圆的对称轴.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为C(2,1)，半径为2.点(2,1)在直线上，即点A的坐标为(4,1)过点A作圆C的切线所得切线长为以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为故选：A.92．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，半径，又直线，直线恒过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，此时弦心距为．所截得的最短弦长：．故选：C．93．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线​与圆​相交于​两点，且​(其中​为原点)，则​的值为（

）A．​或​ B．​ C．​或​ D．​【答案】A【解析】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得故选：A94．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.【解析】(1)由题意可知，圆C的圆心为，半径，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，化为一般式：，若直线l与圆相切，则，即，解得，：，即l：，综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，直线l的方程为，即，设圆心到直线l的距离为d，则，由垂径定理可得，，即，整理得，，解得或，则直线l的方程为或95．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上(1)求圆心为C的圆的方程;(2)过点作圆C的切线，求切线的方程.【解析】(1)因圆心C在直线上，则设，由得：，解得，因此，圆心，半径，所以圆C的方程为：.(2)设过点的圆C的切线方程为：，，于是有：，整理得：，解得或，当时，切线方程为：，当时，切线方程为：，所以过点的圆C的切线方程为或.96．（2022·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆，(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切.【解析】（1）由圆可得，半径，由圆可得，半径，，所以，所以圆相交.设直线分别与圆切于，，连接，在直角梯形中，，所以，即它们的公切线之长为；（2）设线段的中点为，则，因为动直线与圆交于，，且线段的长度为，所以，又因为，所以点到直线的距离为，所以直线总与圆相切，所以存在一个定圆，直线总与之相切.核心知识10圆与圆的位置关系97．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.【答案】3【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴故答案为：398．（2022·山西吕梁·高二期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________．①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切．【答案】(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)【解析】设圆心坐标为，由①可知，半径为，由②③可知，整理可得，当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)99．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.【答案】【解析】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆的圆心，半径为，所以，圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：100．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.【答案】或或【解析】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，易得切线的方程为，因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以，可知和关于对称，联立，解得在上，在上任取一点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为或或.故答案为：或或.101．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.102．（多选题）（2022·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（

）A．B．过作圆的切线，切线长为C．过点A且与圆相切的直线方程为D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为【答案】ACD【解析】依题意，由解得，则，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，A正确；过作圆的切线，切线长为，B不正确；直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，即，C正确；因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.故选：ACD核心知识11圆中的范围与最值问题103．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.【答案】【解析】设，则，整理可得：；，当三点共线且在线段上时，取得最小值，又直线方程为：，即，由得：或，又在线段上，.故答案为：.104．（2022·江苏江苏·高二期中）在圆内，过点互相垂直的两条直线，与圆分别相交于点A，C和B，D，则四边形ABCD的面积的最大值为_______.【答案】15【解析】由，设圆心为F(1，3)，半径r=，当，有一条垂直于x轴时，不妨设⊥x轴，⊥y轴，则，，；当，斜率均存在且不为零时，设AC中点为H，BD中点为G，则FH⊥AC，FG⊥BD，又∵AC⊥BD，故四边形EHFG是矩形，设圆心F到BD的距离=d，则，，，，当且仅当，即时取等号；，∴四边形ABCD面积的最大值为15﹒故答案为：15．105．（多选题）（2022·江苏·南京市秦淮中学高二