专题12勾股定理（题型归纳）

专题12勾股定理题型分析题型分析题型演练题型演练题型一用勾股定理解直角三角形题型一用勾股定理解直角三角形1．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，又因为中有，所以，故由已知，算出，相减即可．【详解】，，为等边三角形，，又在中，，则，，已知，所以，，，故选：B．2．如图，中，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，在射线上任取一点D，连接．若，则的长为（）A．10 B．11 C．12 D．6【答案】A【分析】连接、（图见详解），由可得为线段的垂直平分线，再利用勾股定理求出、，即可求得的长．【详解】如图，连接、，设交于点O由作图步骤可知：E点在线段的垂直平分线上A点在线段的垂直平分线上垂直平分线段，在中，由勾股定理得在中，，由勾股定理，得故选：A3．小明钉了一个长与宽分别为30厘米和20厘米的长方形木框，为了增加其稳定性，他准备沿长方形的对角线钉上一根木条，这根木条的长应为（

）厘米．（结果用最简二次根式表示）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．【详解】解：设这条木板的长度为厘米，由勾股定理得：，解得．故选：C．4．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，，，，，故选：A．5．如图，在中，，，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过A作于G，过B作于H，依据等腰三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后依据面积法即可得出的长，进而得到点B到线段的距离．【详解】解：如图，过A作于G，过B作于H，∵，∴，，∵，∴，，由折叠的性质得：，，∴，∴，，∴，∴，∴中，，∵，∴故选：B．6．在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点．(1)证明：；(2)取中点，连接、，猜想线段、、的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）证明即可证得结论；（2）连接，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到，进而证明求得，，利用勾股定理和线段和与差计算即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：结论：．证明：如图，连接，∵，，是中点，∴，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∵，∴．7．如图：已知在中，，．(1)尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）①先以A为圆心，大于A到的距离为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于D，则可得答案；②先以A为圆心，任意长为半径画弧，得与的两边相交的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于E，则可得答案；（2）利用含的直角三角形的性质求解，再证明，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：①如图，则为所作；②如图，则为所作．（2）在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴．8．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．(1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图①，求的长；(2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；(3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．【答案】(1)；(2)点F所经过的路径长为3；(3)点所经过的路径的长为．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质即可求出的长；（2）连接，易证，根据全等三角形的性质可得，当点在处时，，当点在处时，点与重合，进一步即可求出点运动的路径的长；（3）取中点，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，，当点在处时，，当点在处时，点与重合，从而可求出点所经过的路径长．【详解】（1）解：∵、是等边三角形，∴，，．∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：连接，如图所示：∵、是等边三角形，∴，，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵是边长为的等边三角形，∴，当点在处时，，当点在处时，点与重合，∴点运动的路径的长；（3）解：取中点，连接，如图所示：∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵是边长为的等边三角形，∴，，根据勾股定理，得，当点在处时，，当点在处时，点与重合，∴点所经过的路径的长．9．如图，和都是等腰直角三角形，，，连接并延长与交与点，连接.(1)如图1，求证：(2)如图2，绕着顶点旋转，当、、三点共线时，取的中点，连接，求证：；(3)如图3，若，，连接，当运动到使得时，求的面积.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明；（2）延长至点H使，连接，，根据全等三角形的性质得出，利用平行四边形的判定和性质得出，，最后利用全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明；（3）作平行于交于点J，连接，根据平行线的性质得出，，再由等腰三角形及等边三角形的判定得出是等腰三角形，即，是等边三角形，过J作的垂线交于点K，再利用含30度角的三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴；（2）由（1）得，∴，，即，延长至点H使，连接，，∵，∴四边形是平行四边形，即，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，即；（3）作平行于交于点J，连接，∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，即，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴，即，过J作的垂线交于点K，∵，，∴，∴．10．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接．①求的大小；②求证：．（2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上．若，，求的长度．【答案】（1）①，②见解析；（2）【分析】（1）由条件易证，从而得到：．由点在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解．【详解】（1）①解：∵和均为等边三角形，∴，∴，在和中，，∴．∴，∵为等边三角形，∴，∵点在同一直线上，∴，∴，∴；②证明：∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴；即；（2）解：∵为等腰直角三角形，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．题型二勾股定理与网格问题题型二勾股定理与网格问题11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，的面积是：，∵是的高，，∴，解得，，故选：．12．如图，矩形ABCD由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点E、C及D、F交于点O，则的值为(

)．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】以点F为原点，以FC所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系F(0,0)，E(﹣1,1)，D(2,2)，C(2,0)，求出，再根据0＜∠DOC＜，求出的值．【详解】解：以点F为原点，以FC所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系，则F(0,0)，E(﹣1,1)，D(2,2)，C(2,0)，，，∴cos∠DOC=，∵0＜∠DOC＜，∴sin∠DOC=，∴tan∠DOC=．故选：B．13．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理解得AB，AO，BO的长，再由即可解答．【详解】解：由图可知，AB=2，AO=，故选：A．14．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案．【详解】解：在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，任意两个格点间的距离为，，，1，2，3，，，．任意两个格点间的距离不可能是，故选：A．15．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，的长，再利即可求解．【详解】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，，S△ABC＝BC•AD，，∴AD＝，故选：C16．图①、图②分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，两点在小正方形的格点上，请在图①、图②中各取一点（点必须在小正方形的格点上），使以为顶点的三角形分别满足下列要求．(1)在图①中画一个，使，面积为5；(2)在图②中画一个，使，为钝角，并求的周长．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，【分析】（1）根据题意可知，要使面积为5，则只需要过点作垂直的直线且长度为2即可；（2）要使为钝角等腰三角形，则必须找到和相等的边且点必须在小正方形的顶点上．【详解】（1）如图①中，即为所求；（2）如图②中，即为所求．，，的周长为．17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并保留必要的作图痕迹．(1)在图1中，在直线的下方作格点D使，连接，垂足为H．(2)在图2中找出所有可能的格点F，使是以为直角边的等腰直角三角形，并画出．(3)在图3中的线段上画出点G，使．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；（3）构造等腰直角，交于点，点即为所求．【详解】（1）解：如图1中，线段，点H即为所求；（2）解：如图2中，点，点即为所求；（3）解：如图3中，点即为所求．18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，(1)在格点上取一点C，画一个，使∠BAC＝45°，且．(2)在格点上取一点D，画一个，且AD＝5，，并利用网格画出∠DAB的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取格点，使得∠BAC＝45°，到的距离为，的长为4，则；（2）根据网格的特点，根据勾股定理求得，确定点的位置，然后根据网格的特点作出∠DAB的平分线即可求解．【详解】（1）如图所示；取格点，使得∠BAC＝45°，到的距离为，的长为4，则理由：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴点即为所求；（2）如图所示；根据勾股定理求得，确定点的位置，然后根据网格的特点作出∠DAB的平分线理由：取格点，则∴，，∴，∵，，∴，∴，设交于点，则，∴，∴，∵，∴是的角平分线．19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：（1）三角形的顶点在格点上；（2）三角形是腰长为无理数的等腰三角形；（3）三角形的面积为6．【答案】见解析【分析】结合网格特点利用勾股定理构造腰为无理数的等腰三角形，画图即可．【详解】如图所示：由图可知三角形的三个顶点均在格点上，根据勾股定理有：图①三角形的两条腰长为：，图②三角形的两条腰长为：，图③三角形的两条腰长为：，根据网格图形可知图①三角形的底为4，高为3，故面积为4×3×=6，图②三角形的底为6，高为2，故面积为6×2×=6，图③三角形的底为2，高为6，故面积为2×6×=6，故所画三角形即为所求；题型三勾股定理与折叠问题题型三勾股定理与折叠问题20．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知：，∴，，，∵四边形为矩形，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴．故选：B．21．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9cm，∴BE=9AE，根据勾股定理可知：．即解得：AE=4，∴△ABE的面积为．故选C．22．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=xcm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，∴AB=10cm，∴BE=ABAE=106=4(cm)，设CD=DE=xcm，则DB=BCCD=（8x）cm，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得x=3，∴CD=3cm．∴BD=8x=83=5(cm)，故选：A．23．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3x，∴22+(3x)2=x2，解得即AE=故选A24．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴点F到BC的距离为．故选：C题型四勾股定理的证明方法题型四勾股定理的证明方法25．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（

）A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理【答案】B【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．【详解】解：图1的面积关系表示为：，为平方差公式；图2的面积表示为：，化简得：，为勾股定理；故选：B．26．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH．下列等式成立的是（

）A．abc B．c2ab24ab C．c2abab D．a2b2c2【答案】D【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．【详解】解：由图可得剩下的正方形的面积为：，根据正方形面积公式，剩下的正方形面积也可以表示为：，∴，化简得，故选：D．27．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解:A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．28．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（

）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想【答案】C【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C．29．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．【详解】标记如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故选：C．题型五勾股定理的实际应用题型五勾股定理的实际应用30．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（）A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定【答案】C【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，由勾股定理得BC=8米，△A1BC1中，∠C=90°，A1B1=10米，A1C=5米，由勾股定理得B1C=5米，∴BB1=B1CBC=58≈0.66（米），故选C．31．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（

）A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺【答案】D【分析】设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解．【详解】解：设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意可得：x2+82=（x+3）2，解得：x=．∴x+3=12，故绳索长度为12尺．故选：D．32．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（

）A．x2＋62＝102 B．（10－x）2＋62＝x2C．x2＋（10－x）2＝62 D．x2＋62＝（10－x）2【答案】D【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x2+62=（10x）2．故选D33．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（

）cm．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据勾股定理即可求得．【详解】解：如图：连接AC故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度由题意可知：BC=6cm，AB=9cm在中，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要11cm故选：C34．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里【答案】B【分析】过点P作PC⊥AB，则在中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．【详解】解：作PC⊥AB于C点，∵A在P的北偏东30°方向，∴，∴，又∵B在P的南偏东45°方向上，∴，∴，∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）∴在中，，∴（海里）∵在中，∠BPC＝45°，∴三角形为等腰直角三角形，∴，∴（海里）．故选：B．35．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上(1)画出一个以AB为底的等腰，点E在小正方形的顶点上，且的面积为；(2)画出以CD为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；(3)在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）画出等腰直角三角形ABE即可；（2）根据要求利用数形结合的思想作出图形即可；（3）利用勾股定理求解即可．【详解】（1）如图，△ABE即为所求；（2）如图，△CDF即为所求；（3）36．如图，将一架梯子斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离．(1)求梯子的长度；(2)如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动1m，那么此时梯子顶端下滑了多少米．【答案】(1)10m(2)【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程，即可得到答案．【详解】(1)在Rt△ABC中，，，∴．∴这把梯子的长度为10m．(2)设梯子向下滑动后，梯子顶端距地面的高度为xm，则，解得：，（舍去）．∴此时梯子向下滑动．37．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．【答案】12米.【分析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.【详解】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：，解得x=12，答：旗杆的高度为12米.38．如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度．【答案】13.5米【分析】用比例式求得AB的长度，然后在中求出BC的长，两者相加即可求出未折断前大树的高度．【详解】解：依题意得,则BC＝4.5（米）．在Rt△ACB中，AB＝2BC＝9（米）所以4.5+9＝13.5（米）答：大树未折断前的高度约为13.5米．39．如图，某海岸线的方向为北偏东，从港口A处测得海岛C在北偏东方向，从港口B处测得海岛C在北偏东方向，已知港口A与海岛C的距离为36海里，求港口B与海岛C的距离．【答案】港口B与海岛C的距离为海里．【分析】过点C作，构造直角三角形，可得，，根据港口A到海岛C的距离为36海里求出的值，进而求解．【详解】解：过点C作，垂足为D，由题意得，，，∵港口A与海岛C的距离为36海里，即(海里)，∴(海里)，∵，∴(海里)，∴(海里)，答：港口B与海岛C的距离为海里．40．如图，台风中心位于点处，并沿东北方向（北偏东），以千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，在点的北偏东方向，距离千米的地方有一城市，问：市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【答案】会受到影响，受到影响时间约为小时【分析】过点作于点，可求得的长，由离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．【详解】解：会受到影响，影响时间约为小时．理由如下：由题意得，，，∴，如图，过点作于点，∴，∵，∴会受到影响，如图，，由题意知，台风从点开始影响城市到点影响结束，∵，∴，∴，∵风速为，∴（小时），∴影响时间约为小时．题型六判断直角三角形题型六判断直角三角形41．下列各线段中，能构成直角三角形的是（

）A．1、 B．1、1、1 C． D．6、【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理来进行判断即可．【详解】解：A．，能构成直角三角形，选项正确，符合题意；B．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；C．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；D．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；故选A．42．三角形的三边，，满足，则此三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】将所给出的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解．【详解】解：三角形的三边，，满足，，，三角形为直角三角形．故选：B．43．下列各组数中，能构成直角三角形的是（

）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理解答．【详解】解：A.不能构成直角三角形故A不符合题意；B.能构成直角三角形故B符合题意；C.不能构成直角三角形故C不符合题意；D.不能构成直角三角形故D不符合题意；故选：B．44．下列各组数中，能构成直角三角形的是（

）A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．6，8，10【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理可进行求解．【详解】解：A、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；B、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；C、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；D、，符合勾股定理逆定理，故符合题意；故选D．45．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误．【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，∵，即，∴三角形是直角三角形，正确；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，∴2∠C=180°，即∠C=90°，正确；C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,解得6x=90,故正确；D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，5x=75,故不是直角三角形，错误；故本题选择D．题型七利用勾股定理逆定理求解题型七利用勾股定理逆定理求解46．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（

）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2【答案】D【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．【详解】解：如图，连接BD，∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，∴BD==5（cm），∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，∴BD2+CD2=CB2，∴∠BDC=90°，∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），S△ABD=×3×4=6（cm2），∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），故选：D．47．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（

）A．9，40，41 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．