专题02 不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）

专题02不等式目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 3考点一：比较数或式的大小 3考点二：利用基本不等式求代数式的最值 5考点三：一元二次不等式的解法 7考点四：不等式恒成立问题 9考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 11实战能力训练 13明晰学考要求1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；2、掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题；3、了解一元二次不等式；4、能够从函数观点认识方程和不等式；5、了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系基础知识梳理1、不等式中的基本事实依据a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小①由上述基本事实可知，要比较两个数或式的大小，只需要比较这两个数或式的差与0的大小，一般将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．②对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．③对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小．2、不等式的性质性质性质内容注意1a>b⇔b<a⇔2a>b，b>c⇒a>c不可逆3a>b⇔a＋c>b＋c可逆4a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正①若a＞b＞0，则0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＜b＜0，则0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).③若，则.3、基本不等式（1）不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（）称为基本不等式，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）当时，，，以上两式均在a＝b时取等号.（3）最值定理：已知x，y都为正数，则：如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.简记为：积定和最小，和定积最大．（4）应用基本不等式的三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备．4、一元二次不等式的概念定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数5、一元二次不等式的解法（1）二次函数零点的概念：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．（2）三个二次的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅①零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标．②不等式的解集必须写成集合的形式.若不等式无解，则应说解集为空集．考点精讲讲练考点一：比较数或式的大小【典型例题】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】ACD可举出反例；B选项，可利用不等式的性质得到.【详解】A选项，若，则，A错误；B选项，由不等式的性质可得，B正确；C选项，若，满足，但，C错误；D选项，若，满足，但，D错误.故选：B例题2．已知，是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解.【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件.故选：C.例题3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，则有.故选：C【即时演练】1．若，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项.【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误；对于B，取，，，满足，，，，但，B项错误；对于C，取，，但，故C项错误；对于D，若，，则，故D正确.2．已知，则下面不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立；对于C：由可得，故成立.故选：C3．已知，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可.【详解】由得，所以，得，所以.考点二：利用基本不等式求代数式的最值【典型例题】例题1．若，则有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】A【分析】利用基本不等式求出最值.【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以当时，则有最小值6.故选：A.例题2．已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3.故选：D例题3．已知，且，则（

）A．的最大值为1 B．的最小值为1C．的最大值为 D．的最小值为【答案】A【分析】由基本不等式求解即可．【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，而，且0<x<2，故无最小值.故选：A【即时演练】1.已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知利用1的代换法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为，且，则，当且仅当，即时取等号．故选：B．2.已知，的最小值为．【答案】12【分析】利用不等式即可求解.【详解】,当且仅当,即或时,等号成立,故的最小值为12.故答案为：12.3．若，则的最小值是．【答案】3【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．考点三：一元二次不等式的解法【典型例题】例题1．不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【分析】因式分解，求出不等式解集.【详解】，解得，故不等式的解集为.故选：A例题2．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.【详解】因为，所以.故选：C.例题3．若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意知，是方程的两个根，且，则，解得，所以.故选：D.【即时演练】1．不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可.【详解】解不等式，得，所以原不等式的解集为.故选：A2．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】由且不等于1，由题意得，，解得.3．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】不等式即可化为，解得，所以不等式的解集为.故选：B考点四：不等式恒成立问题【典例讲解】例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围.【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意；时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立，则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，从而，解得，所以，的取值范围为，故选：B.例题2．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，则，原题意等价于当时，不等式恒成立，又因为，当且仅当，即等号成立，可得，所以实数a的取值范围是.例题3．设函数(1)若，求不等式的解集；(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可；（2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可.【详解】（1）当时，即为，解得或，则该不等式解集为.（2）对恒成立，即对恒成立，分离参数得对恒成立，因为当时，，当且仅当，即时等号成立，则.【即时演练】1．若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的性质建立不等式，求解参数范围即可.【详解】因为不等式对一切实数都成立，所以，解得，故B正确.故选：B2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可.【详解】由题意对任意恒成立，由复合函数单调性可知在上单调递减，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．【答案】【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用【典例讲解】例题1．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（

）A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8【答案】A【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间.【详解】由题意得：，令，即，解得，所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为.故选：A.例题2．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备台．【答案】400【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案.【详解】每台设备的平均成本，当且仅当，时，等号成立，故答案为：400.【即时演练】1.某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（）A．60台 B．90台 C．120台 D．150台【答案】D【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解.【详解】由题意，有，即，所以，解得或（舍）．故选：D.2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，即，解得，又因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C实战能力训练1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果.【详解】取，，可知A，B错误；因为，所以C正确；取，可知D错误；故选：C.2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果.【详解】解不等式可得；又可知，可知A错误，B正确；，即可得C错误，D错误.故选：B3．已知，，，则的最小值为（

）．A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选：B4．一元二次不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可.【详解】不等式化为，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：A5．“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断.【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足；若时，取，此时且不成立