解题技巧：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线及构造等腰三角形之六大题型（解析版）

专题12解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 6【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 10【题型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 19【题型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 27【题型六利用倍角关系构造新等腰三角形】 34【典型例题】【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．【答案】(1)(2)图见解析，，理由见解析【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，，故答案为：．（2）解：，理由如下：①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，；②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，；综上，线段与的数量关系是，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）①证明：如图1，连接，∵，，∴.∵点O为的中点，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如图2，连接，同理可证：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，∵，，点O为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，点，在的边上，，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明；（2）过作于点，易证，可得，即可求解．【详解】（1）证明：如图过作于点，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：过作于点，在和中，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由；②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①成立，理由见解析；②，理由见解析【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则；（2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出；②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明．【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，∵，∴，即，∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴

（2）解：①成立，理由如下：如图所示，过点B作于H，∵，∴，即，同（1）可得，∴，∵，∴，∴；

②，理由如下：如图所示，在上截取，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图所示，D为内一点，平分，，，若，，求：线段的长．

【答案】5【分析】延长交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可求出的长度．【详解】解∶延长交于点E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．【变式训练】1．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．【答案】(1)3(2)，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；（3）如图所示，在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2）解：，理由如下：如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）解：①如图所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如图所示，过点C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．【题型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．【答案】(1)；(2)成立；理由见解析(3)【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．【详解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分线相交于点，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共个，与、的数量关系是：，故答案为：；．（2）与、的数量关系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）与、间的数量关系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分别是与的角平分线，∴，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．已知△ABC．(1)观察发现如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由(2)猜想论证如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由(3)类比探究如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)不成立，理由见详解【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，同理得到，结合图形证明即可；（2）仿照（1）的证明方法，先利用平行线的性质和角平分线的性质，得到角的关系，再利用等角对等边，得到边与边的关系，解答即可；（3）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，结合图形解答即可．【详解】（1）解：平分，，，，，，同理，，故答案为：；（2）解：平分，，，同理，，故答案为：；（3）解：不成立．．理由如下：，．平分，，，，同理：，．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，掌握平行线的性质定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．2．解答(1)问题背景如图（1），已知，平分，求证：．(2)尝试应用：如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．(3)拓展创新：如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)，见解析【分析】（1）由知，由平分知据此得，从而得证；（2）延长，交于点，先证得，再由是是的平分线，知，从而得，据此知，结合可得答案；（3）延长，交于点，可得，，据此知，继而得出答案．【详解】（1）证明：，，平分，，，；（2）如图，延长，交于点，

，，在和中，，，，是的平分线，，，，，；（3）如图，延长，交于点，

，，是的平分线，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．3．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得：____________，∴，∴，（依据是：____________）∴是等腰三角形；(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：．【答案】(1)；等腰三角形中等角对等边(2)，理由见详解(3)证明过程见详解【分析】（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解；（3）如图所示（见详解），过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证．【详解】（1）证明：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得，∴，∴，（依据是：等腰三角形中等角对等边）∴是等腰三角形；故答案为：；等腰三角形中等角对等边．（2）解：，理由如下，由（1）可证，为等腰三角形，则，∵平方，，∴，∴为等腰三角形，即，∵，∴．（3）解：如图所示，过点作，∵为边的中点，∴点是的中点，即，∵，平分，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．【题型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【答案】(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，，∵点M是BC的中点，∴，，∵，∴，∴，，设，则，，∴，∴．（2）如图2，过点M作交AC于点G，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴．（3）如图3，过点P作交AB于点M，∴为等边三角形，∴，，∵P为AC的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P为AC的中点，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．【变式训练】1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点.(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，为中点，求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据余角的性质，得出，根据对顶角的性质，得出，即可得出答案；（2）证明，得出，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴为等腰三角形；（2）解：过点A作于点G，如图所示：∵，，，∴，∵为中点，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法．2．在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)【分析】（1）根据证明，可得结论；（2）如图1，分别过点作于点，于点，由（1）同理得出．证明，则可得出结论；（3）如图2，过点作，由等边三角形的性质和判定证明，从而得的长．【详解】（1）解：，理由如下：是等边三角形，，是的中点，，，，，，；故答案为：；（2）解：结论成立．．理由：如图1，过点分别作于点，于点，由（1）可得：，，，，，．在和中，，，；（3）解：如图2中，过作交于点，，同理可证，，．，，，，，，，，，．故答案为：6【点睛】本题是三角形综合题，考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．【题型六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【答案】证明见解析【分析】方法一：（截长）在上截取，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；方法二：（补短）延长到点使得，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；方法三：（补短）延长到点使得，连接．根据等腰三角形的性质，得到，，再结合三角形角平分线的定义和外角的性质，得到，即可证明结论．【详解】证明：方法一：（截长）在上截取，连接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，，，，，，，；方法三：（补短）延长到点使得，连接，

，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形角平分线的定义，外角的性质，利用“截长补短”模型添加辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：．(1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图2）小洁的证明思路：延长至点E，使，连接．（如图3）请你任意选择一种思路完成证明．(2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）小