北京市海淀区教师进修学校附属实验学校 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题2分，共20分）1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．42．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列运算正确的是（）A．x3+x3＝x6 B．x2x3＝x6 C．（x2）3＝x6 D．x6÷x3＝x24．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（）A．160° B．170° C．180° D．190°5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（）的交点．A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（）A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD周长相等 C．BF∥CE D．△ABD和△ACD面积相等7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（）A．9 B．39 C．12 D．1088．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．30° B．40° C．80° D．60°9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（）A．120° B．125° C．130° D．135°10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）二、填空题：（每题3分，共18分）11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是．12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于．13．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝；n＝．14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为．15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为．16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为．三、解答题：（共62分）17．（10分）计算：（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有个；（3）求△ABC的面积．（4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小．20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．（1）求证：∠BED＝∠FDC；（2）若DE＝DF，求证：BE＝CD．22．（7分）（1）填空：＝+；（2）若，则＝；（3）若a2﹣3a+1＝0．求的值．23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q．（1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由；（2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数．25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．（1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝；（2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长．26．（5分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为km2．

2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题2分，共20分）1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【考点】三角形三边关系．【答案】D【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，则：5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，只有选项D符合题意．故选：D．2．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．3．（2分）下列运算正确的是（）A．x3+x3＝x6 B．x2x3＝x6 C．（x2）3＝x6 D．x6÷x3＝x2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【答案】C【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式＝2x3，错误；B、原式＝x5，错误；C、原式＝x6，正确；D、原式＝x3，错误．故选：C．4．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（）A．160° B．170° C．180° D．190°【考点】多边形内角与外角．【答案】C【分析】根据∠ABC＝180°﹣∠1，∠ADC＝180°﹣∠2，∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC，计算求解即可．【解答】解：由题意知，∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝72°，∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°，故选：C．5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（）的交点．A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【答案】A【分析】根据角平分线的性质进行判断．【解答】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∴探照灯位置是△ABC三条角平分线的交点．故选：A．6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（）A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD周长相等 C．BF∥CE D．△ABD和△ACD面积相等【考点】全等三角形的判定；三角形的面积．【答案】B【分析】本题先证明△BDF≌△CDE可判断A，由全等三角形的性质可得∠DBF＝∠DCE，可判断C，由AD为三角形的中线可判断B，D，从而可得答案．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故A不符合题意．∴∠DBF＝∠DCE，∴BF∥CE，故C不符合题意；∵AB≠AC，BD＝CD，∴△ABD和△ACD周长不相等，△ABD和△ACD面积相等，故B符合题意，D不符合题意，故选：B．7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（）A．9 B．39 C．12 D．108【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．【答案】C【分析】先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解即可．【解答】解：∵xm＝6，xn＝3，∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝62÷3＝12．故选：C．8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．30° B．40° C．80° D．60°【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．【答案】D【分析】由轴对称的性质得出∠C＝∠D，再由∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D，即可得到∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C，从而求出答案．【解答】解：由题意得：∠C＝∠D，∵∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C，∴∠1﹣∠2＝2∠C＝60°．故选：D．9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（）A．120° B．125° C．130° D．135°【考点】线段垂直平分线的性质．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可．【解答】解：∵∠ABC＝80°，∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，∴MA＝MP，NC＝NP，∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°，∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，故选：C．10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）【考点】坐标与图形变化﹣对称；规律型：点的坐标．【答案】A【分析】由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，进而可得答案．【解答】解：由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，坐标是（3，1）．∵2024＝4×506，∴经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，∴经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（3，1）．故选：A．二、填空题：（每题3分，共18分）11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性．【考点】三角形的稳定性．【答案】三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于64．【考点】完全平方式．【答案】见试题解答内容【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．【解答】解：∵x2+16x+k是完全平方式，∴k＝64．故答案为：6413．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝﹣1；n＝3．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，∴m＝﹣1，n＝3，故答案为：﹣1，3．14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为．【考点】多项式乘多项式；合并同类项．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求m的值．【解答】解：由题意得：（x﹣m）（2x+3）＝2x2+3x﹣2mx﹣3m＝2x2+（3﹣2m）x﹣3m，∵式子不含一次项，∴3﹣2m＝0，解得：m＝．故答案为：．15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为16．【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【答案】16．【分析】如图所示，延长BD交AC于E，利用ASA证明△ADB≌△ADE，得到BD＝DE，进而推出S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，即可得到答案．【解答】解：如图所示，延长BD交AC于E，∵AD为∠BAC的角平分线，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADE（ASA），∴BD＝DE，∴S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，∵S△ABC＝S△ADB+S△ADE+S△EDC+S△BDC，∴，即S△ABC＝2S△ACD＝16，故答案为：16．16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为30°．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝DCO，边角边证明△BCO≌△DCO，其性质求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得∠BCA的度数为30°．【解答】解：∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线，∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO＝∠D，又∵∠BAC＝100°，∴∠CAO＝＝，又∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，∴∠D＝＝＝25°，∴∠CBO＝25°，∴∠CBA＝50°，又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案为30°．三、解答题：（共62分）17．（10分）计算：（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．【考点】整式的混合运算．【答案】（1）﹣2x8；（2）﹣m+n．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；（2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8；（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m＝（m2﹣n2+m2﹣2mn+n2﹣4m2+4mn）÷2m＝（﹣2m2+2mn）÷2m＝﹣m+n．18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有4个；（3）求△ABC的面积．（4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【答案】（1）见解答；（2）4；（3）5；（6）见解答．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置；（3）根据割补法即可求得三角形的面积；（4）连接CB1，交直线l于点Q，连接BQ，此时QB+QC的值最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）由图可知，P1，P2，P3，P4满足到点A，B的距离相等，∴网格中满足条件的点P有4个．故答案为：4；（3）S＝5；（4）如图，点Q即为所求．20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数．【考点】三角形内角和定理．【答案】见试题解答内容【分析】由高线可得∠ADC＝90°，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，∠DAC＝18°，从而可求得∠BAD＝40°，再利用角平分线的定义可得∠ABF＝25°，再次利用三角形的内角和即可求∠AFB的度数．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝58°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝18°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠ABC＝25°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAD＝115°．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．（1）求证：∠BED＝∠FDC；（2）若DE＝DF，求证：BE＝CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠FDC＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠EDF＝∠B，∴∠BED＝∠FDC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE与△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴BE＝CD．22．（7分）（1）填空：2＝+2；（2）若，则＝23；（3）若a2﹣3a+1＝0．求的值．【考点】分式的化简求值；完全平方公式．【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7．【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据（1）中结论计算，得到答案；（3）根据等式的性质得到a+＝3，计算即可．【解答】解：（1）∵（x+）2＝x2+2+，（x﹣）2＝x2﹣2+，∴x2+＝（x+）2﹣2＝（x﹣）2+2，故答案为：2，2；（2）∵a+＝5，∴（a+）2＝25，∴a2+＝（a+）2﹣2＝23，故答案为：23；（3）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2+1＝3a，∴a+＝3，∴（a+）2＝9，∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式的几何背景；完全平方式．【答案】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；②2．【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答；（2）①利用（1）的结论可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后进行计算即可解答；②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b，则a+b＝2，ab＝1，然后利用（1）的结论进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：阴影部分的面积＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，即x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①由（1）可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∵a2+b2＝10，a+b＝6，∴10＝36﹣2ab，解得：ab＝13；②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b，∴a+b＝2021﹣c+c﹣2019＝2，∵（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，∴ab＝1，∵（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2×1＝4﹣2＝2．24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q．（1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由；（2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用折叠的性质可得∠APB＝∠APQ，然后利用长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠APB＝∠DAP，进而可得∠DAP＝∠APQ，即可解答；（2）先利用角平分线的性质可得∠DPC＝∠DPQ，然后利用平行线的性质可得∠DPC＝∠PDA＝55°，从而可得∠DPQ＝∠DPC＝55°，再利用平角定义可得∠BPQ＝70°，从而可得∠APB＝35°，即可解答．【解答】解：（1）∠DAP＝∠APQ，理由：∵长方形纸片ABCD沿AP折叠，∴∠APB＝∠APQ，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠DAP，∴∠DAP＝∠APQ；（2）∵PD平分∠QPC，∴∠DPC＝∠DPQ，∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠PDA＝55°，∴∠DPQ＝∠DPC＝55°，∴∠BPQ＝180°﹣∠DPC﹣∠DPQ＝70°，∵∠APB＝∠QPA，∴．25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．（1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝106°；（2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长．【考点】三角形综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°，根据角平分线的定义得到∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论；（3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠MAO，根据全等三角形的性质得到OM＝OB，∠AMO＝∠ABO，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C＝32°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°，∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAO＝BAC，∠ABO＝ABC，∴∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝，∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°，故答案为：106°；（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OF＝OG，∴OC平分∠ACB；（3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM，∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠MAO，∵AO＝AO，∴△BAO≌△MAO（SAS），∴OM＝OB，∠AMO＝∠ABO，∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO＝ABC，∠ACO＝ACB，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ABO＝2∠ACO，∴∠AM