2024-2025学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+i)z=|3+i|，i为虚数单位，则z等于A.1−i B.1+i C.12−12.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+bA.−8 B.−6 C.6 D.83.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1A.5 B.7 C.10 D.154.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则A.关于点(π12, 0)对称 B.关于(π6, 0)对称

C.关于直线x=5.将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是(

)A.6 B.12 C.15 D.186.已知锐角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点A(a,1)，且cos2α=23，则a=(

)A.15 B.255 C.7.已知向量a,b为单位向量，且a⋅b=12，向量c与A.12 B.22 C.8.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且ea1+a2+A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(2−i)(i−1)在复平面内对应的点为P，则(

)A.P在第一象限 B.z−=−1−3i C.|z|=10 10.已知f(x)=sin|x|+1|sinx|A.f(x)为偶函数 B.2π是f(x)的最小正周期

C.f(x)在区间(π2, π)上单调递增 D.11.如图，平面四边形ABCD中，对角线AC，BD的交点为E，△ABD的面积是△BCD面积的两倍，又数列{an}满足a1=2，当n≥2时，BD=(an−1+2n−1A.AE=23AC

B.BE=14三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x−12x)6的展开式的常数项是______13.已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=3514.在△ABC中，若2tanA=1tanB+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π．

(Ⅰ)若|a−b|=2，求a⋅b；

(Ⅱ)16.(本小题15分)

在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．

(1)求B；

(2)若△ABC的周长为4+2317.(本小题15分)

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求出f(x)在[0,π2]上的值域；

(Ⅱ)若将函数f(x)的图象向右平移18.(本小题17分)

如果正项有穷数列a1，a2，⋯，am满足a1⋅am=1，a2⋅am−1=1，…即ai⋅am−i+1=1(i=1,2,…,m)，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，13，12与数列3，2，1，12，13都是“1的对称数列”．

(Ⅰ)设{bn}是项数为8的“1的对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b2=4，b4=8，请依次写出{bn}的每一项；

(Ⅱ)设数列{cn}19.(本小题17分)

已知数列{an}为有穷数列，且an∈N∗，若数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}为m的k增数列：

①a1+a2+…+an=m；

②对于1≤i<j≤n，使得ai<aj的正整数对(i,j)恰有k个．

(Ⅰ)若等差数列1，3，5，7，9为m的k增数列，求m+k的值；

(Ⅱ)若数列b1，参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.BC

10.AC

11.ACD

12.−20

13.−414.(0,π15.解：(Ⅰ)由a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，

可得a−b=(cosα−cosβ,sinα−sinβ)，

由|a−b|=2，

可得|a−b|2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2，

解得cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以a⋅b=0；

(Ⅱ)由c=(−1, 0)，a−b=c，

可得a−b=(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(−1,0)，

即cosα−cosβ=−1,①sinα−sinβ=0,②

①2+②2得：cos16.解：(1)根据正弦定理由c=2bcosB⇒sinC=2sinBcosB⇒sin2B=32，

因为C=2π3，所以B∈(0,π3)，即2B∈(0,2π3)，所以2B=π3⇒B=π6；

(2)由(1)可知B=π6，而C=2π3，所以A=π−π6−2π3=π6，

因此a=b，由余弦定理可知：c=17.解：(Ⅰ)由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知，

f(π4)=2sin(π4ω+φ)=1，所以sin(π4ω+φ)=22，即π4ω+φ=π4①，

由f(5π8)=2sin(5π8ω+φ)=0，所以sin(5π8ω+φ)=0，即5π8ω+φ=π②，

由①②解得ω=2，φ=−π4，满足题意；

所以函数f(x)=2sin(2x−π4)，18.解：(Ⅰ)b1，b2，b3，b4是等差数列，且b2=4，b4=8，

可得公差d=b4−b24−2=2，可得b1=2，b2=4，b3=6，b4=8，b5=18，b6=16，b7=14，b8=12；

(Ⅱ)设数列{cn}是13项的“1的对称数列”，cn>0，其中c1，c2⋯c5是公比为q(q>0)的等比数列，c1−c5=15，c2−c4=6，

则c1−c1q4=15，c1q−c1q3=6，解得c19.解：(Ⅰ)由题意得，根据m的k增数列的定义，m=1+3+5+7+9=25，

因为a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，

所以对于1≤i<j≤5，使得ai<aj的正整数对(i,j)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10对，

所以k=10，于是m+k=25+10=35．

(Ⅱ)由题意得，数列b1，b2，…，b6为m的8增数列，

即b1+b2+b3+b4+b5+b6=m，且对于1≤i<j≤6，使得bi<bj的正整数对(i,j)恰有8个，

所以数列{bn}各项中必有不同的项，所以m≥7，

若m=7，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2，所以k≤5，不符合题意，所以m>7；

若m=8，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2，此时数列为{1,1,1,1,2,2}，

满足要求的整数对(i,j)分别为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，符合m的8增数列，

所以当m=8时，存在m的8增数列，

故m的最小值为8．

(Ⅲ)由题意得，若数列{an}中的每个项都相等，则k=0，

若k≠0，则数列中存在大于1的项，若首项a1≠1，则将a1拆分成a1个1后k变大，

所以此时k不是最大值，故a1=1，

当i=2，3，…，n时，若