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第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州二中高一(上)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−3x+3<0},B={x|x−2≤0},那么集合A∪B=A.(−∞,3] B.(−∞,3) C.[2,3) D.(−3,2]2.若tanα=34,则sinα+cosαsinA.−1 B.1 C.−7 D.73.为加强环境保护,治理空气污染,某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测,发现该厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(ℎ)的关系为P=P0e−kt,如果在前5个小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%A.7小时 B.10小时 C.15小时 D.18小时4.把函数y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把所得图象向右平移π3个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则f(x)=(
)A.sin(x2−π3) B.5.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω、φA.2,−π3 B.2,−π6 C.4,−π6.函数f(x)=(2−a)x+1,x<2ax−1,x≥2在R上单调递增,则实数aA.(1,53] B.[53,2)7.平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在单位圆O上,设∠xOP=α,若α∈(π4A.310 B.210 C.8.函数y=f(x)的定义域为R,若y=f(x+2)与y=f(x−2)都是奇函数,则(
)A.y=f(x)是偶函数 B.y=f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+4) D.y=f(x+6)是奇函数二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(2x+π6),则下列选项中正确的是A.y=f(x)的最小正周期是π
B.y=f(x)在[0,π3]上单调递减
C.y=f(x)满足f(π6+x)=f(π610.下列说法正确的有(
)A.函数f(x)=x−1x+1关于点P(−1,1)对称
B.函数f(x)=loga(x−1)+1(a>0,a≠1)的图象过定点P(1,1)
C.方程(12)x=x2在区间11.已知函数f(x)=ex+1ex−2,且a=f(log3A.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B.y=f(x)在(−∞,1)上单调递减
C.a>b>c D.b>a>c12.已知正数x、y、z满足3x=4yA.x+y>(32+2)z B.xy>2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.cos2π14.已知函数f(x)=ln(1+x2−x)+1,15.若3cos(π3−α)−sinα=16.设y=f(x)是定义在上R的奇函数,且当x>0时,f(x)=12x+13x四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)
已知−π2<x<0,sinx+cosx=15.
(1)求sinx−cosx的值;
(2)18.(本小题12分)
设函数f(x)=sin2x+cosx+a.
(1)若1≤f(x)≤174对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程f(x)=0在19.(本小题12分)
设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1.
(1)在给定的平面直角坐标系中,用“五点法”画出函数f(x)在区间[π6,7π6]上的简图(20.(本小题12分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=(116(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式.(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.21.(本小题12分)
若函数f(x)=a(1−aax+1)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)判断f(x)的单调性,并证明;
(2)若存在x∈[122.(本小题12分)
已知函数u(x)=x2−1,x≥0−2x,x<0,v(x)=21−x2.
(1)解关于x的不等式u(x)≤v(x);
(2)若关于x的方程u(x)+v(x)+|u(x)−v(x)|=2ax+4有三个实根x1<x2<x参考答案1.B
2.C
3.B
4.C
5.A
6.B
7.C
8.D
9.AB
10.ACD
11.ABC
12.ABC
13.314.−2
15.−516.(0,+∞)
17.解:(1)将sinx+cosx=15,两边平方得:(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=125,
∴2sinxcosx=−2425,
则(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx=4925,
∵−π2<x<0,
∴sinx<0,cosx>0,即sinx−cosx<0,
则sinx−cosx=−18.解:(1)f(x)=sin2x+cosx+a=−cos2x+cosx+a+1,
因为−1≤cosx≤1,
根据二次函数的性质可知,当cosx=12时,函数取得最大值a+54,当cosx=−1时,函数取得最小值a−1,
若1≤f(x)≤174对一切实数x恒成立,则a+54≤174a−1≥1,解得2≤a≤3
故实数a的取值范围为[2,3];
(2)若关于x的方程f(x)=0在[−π3,π2]有实数解,
则a=cos2x−cosx−1在[−π3,π219.解:(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1
=cos2x+xπ5π2π11π7π2x−0ππ3π2π2cos(2x−20−202描点,连线,可得函数图像如下:
(2)因为f(θ2)=13,
可得2cos(2×θ2−π3)=2cos(θ−π3)=13,即cos(θ−π3)=1620.解:(1)由于图中直线的斜率为k=10.1=10,
所以图象中线段的方程为y=10t(0≤t≤0.1),
又点(0.1,1)在曲线y=(116)t−a上,所以1=(116)0.1−a,
所以a=0.1,因此含药量y(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为
y=10t(0≤t≤0.1)(116)t−0.1(t>0.1),
21.解:(1)因为函数f(x)=a(1−aax+1)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=a(1−a2)=0,
解得a=0(舍)或a=2,
所以f(x)=2(1−22x+1),
所以f(x)在R为增函数,证明如下:
任取0≤x1<x2,
则f(x1)−f(x2)=2(22x2+1−22x1+1)=4×2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1),
因为0≤x1<x2,
所以2x1<2x2,2x1−2x2<0,
又因为2x1+1>0,2x222.解:(1)由函u(x)=x2−1,x≥0−2x,x<0,v(x)=21−x2,
当x≥0时,令f(x)=v(x)−u(x)=21−x2−x2+1,
设1−x2=a,则a≤1,此时f(a)=2a+a,
由f(x)≥0,即2a+a≥0,即a≥0,可得1−x2≥0,解得x≤1,
所以u(x)≤v(x)的解集为0≤x≤1;
当x<0时,令g(x)=v(x)−u(x)=21−x2+2x,
由u(x)≤v(x),可得21−x2+2x≥0,即21−x2≥−2x,
可得21−x
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