2023-2024学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−3x+3<0}，B={x|x−2≤0}，那么集合A∪B=A.(−∞,3] B.(−∞,3) C.[2,3) D.(−3,2]2.若tanα=34，则sinα+cosαsinA.−1 B.1 C.−7 D.73.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(ℎ)的关系为P=P0e−kt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%A.7小时 B.10小时 C.15小时 D.18小时4.把函数y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π3个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)=(

)A.sin(x2−π3) B.5.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω、φA.2，−π3 B.2，−π6 C.4，−π6.函数f(x)=(2−a)x+1,x<2ax−1,x≥2在R上单调递增，则实数aA.(1,53] B.[53,2)7.平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)在单位圆O上，设∠xOP=α，若α∈(π4A.310 B.210 C.8.函数y=f(x)的定义域为R，若y=f(x+2)与y=f(x−2)都是奇函数，则(

)A.y=f(x)是偶函数 B.y=f(x)是奇函数

C.f(x)=f(x+4) D.y=f(x+6)是奇函数二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(2x+π6)，则下列选项中正确的是A.y=f(x)的最小正周期是π

B.y=f(x)在[0,π3]上单调递减

C.y=f(x)满足f(π6+x)=f(π610.下列说法正确的有(

)A.函数f(x)=x−1x+1关于点P(−1,1)对称

B.函数f(x)=loga(x−1)+1(a>0,a≠1)的图象过定点P(1,1)

C.方程(12)x=x2在区间11.已知函数f(x)=ex+1ex−2，且a=f(log3A.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B.y=f(x)在(−∞,1)上单调递减

C.a>b>c D.b>a>c12.已知正数x、y、z满足3x=4yA.x+y>(32+2)z B.xy>2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.cos2π14.已知函数f(x)=ln(1+x2−x)+1，15.若3cos(π3−α)−sinα=16.设y=f(x)是定义在上R的奇函数，且当x>0时，f(x)=12x+13x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知−π2<x<0，sinx+cosx=15．

(1)求sinx−cosx的值；

(2)18.(本小题12分)

设函数f(x)=sin2x+cosx+a．

(1)若1≤f(x)≤174对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的方程f(x)=0在19.(本小题12分)

设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1．

(1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数f(x)在区间[π6,7π6]上的简图(20.(本小题12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(116(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．21.(本小题12分)

若函数f(x)=a(1−aax+1)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．

(1)判断f(x)的单调性，并证明；

(2)若存在x∈[122.(本小题12分)

已知函数u(x)=x2−1,x≥0−2x,x<0，v(x)=21−x2．

(1)解关于x的不等式u(x)≤v(x)；

(2)若关于x的方程u(x)+v(x)+|u(x)−v(x)|=2ax+4有三个实根x1<x2<x参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.B

7.C

8.D

9.AB

10.ACD

11.ABC

12.ABC

13.314.−2

15.−516.(0,+∞)

17.解：(1)将sinx+cosx=15，两边平方得：(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=125，

∴2sinxcosx=−2425，

则(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx=4925，

∵−π2<x<0，

∴sinx<0，cosx>0，即sinx−cosx<0，

则sinx−cosx=−18.解：(1)f(x)=sin2x+cosx+a=−cos2x+cosx+a+1，

因为−1≤cosx≤1，

根据二次函数的性质可知，当cosx=12时，函数取得最大值a+54，当cosx=−1时，函数取得最小值a−1，

若1≤f(x)≤174对一切实数x恒成立，则a+54≤174a−1≥1，解得2≤a≤3

故实数a的取值范围为[2,3]；

(2)若关于x的方程f(x)=0在[−π3,π2]有实数解，

则a=cos2x−cosx−1在[−π3,π219.解：(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1

=cos2x+xπ5π2π11π7π2x−0ππ3π2π2cos(2x−20−202描点，连线，可得函数图像如下：

(2)因为f(θ2)=13，

可得2cos(2×θ2−π3)=2cos(θ−π3)=13，即cos(θ−π3)=1620.解：(1)由于图中直线的斜率为k=10.1=10，

所以图象中线段的方程为y=10t(0≤t≤0.1)，

又点(0.1,1)在曲线y=(116)t−a上，所以1=(116)0.1−a，

所以a=0.1，因此含药量y(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为

y=10t(0≤t≤0.1)(116)t−0.1(t>0.1)，

21.解：(1)因为函数f(x)=a(1−aax+1)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=a(1−a2)=0，

解得a=0(舍)或a=2，

所以f(x)=2(1−22x+1)，

所以f(x)在R为增函数，证明如下：

任取0≤x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=2(22x2+1−22x1+1)=4×2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)，

因为0≤x1<x2，

所以2x1<2x2，2x1−2x2<0，

又因为2x1+1>0，2x222.解：(1)由函u(x)=x2−1,x≥0−2x,x<0，v(x)=21−x2，

当x≥0时，令f(x)=v(x)−u(x)=21−x2−x2+1，

设1−x2=a，则a≤1，此时f(a)=2a+a，

由f(x)≥0，即2a+a≥0，即a≥0，可得1−x2≥0，解得x≤1，

所以u(x)≤v(x)的解集为0≤x≤1；

当x<0时，令g(x)=v(x)−u(x)=21−x2+2x，

由u(x)≤v(x)，可得21−x2+2x≥0，即21−x2≥−2x，

可得21−x