数学学案：课堂导学利用导数判断函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间。（1)y=x4-2x2+6;(2）y=-lnx+2x2。思路分析：求出导数y′,分别令y′>0或y′<0,解出x的取值范围，便可得出单调区间.解：（1)y′=4x3—4x，令y′〉0,即4x3—4x>0，解得—1<x<0或x>1，所以单调增区间为（—1，0)和（1，+∞）。令y′〈0，解得x<—1或0<x<1，因此单调减区间为(—∞,—1)和(0,1)。（2)y′=4x—,令y′〉0，即4x->0,解得-〈x〈0或x>;令y′〈0,即4x-<0，解得x<—或0<x<.∵定义域为x>0,∴单调增区间为（,+∞)，单调减区间为（0,)。温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑。二、函数单调性的逆向应用【例2】若函数f（x)=+(a—1）x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.解析:函数f(x）的导数f′（x）=x2-ax+a—1。令f′（x)=0,解得x=1或x=a—1.当a—1≤1,即a≤2时,函数f（x）在(1，+∞)上为增函数，不合题意。当a-1>1,即a>2时，函数f（x)在(-∞，1）上为增函数，在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数。依题意应有当x∈(1，4）时，f′（x)〈0;当x∈（6，+∞)时，f′(x）〉0.所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7。所以a的取值范围是［5，7］。温馨提示本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例3】当x∈(0,)时,证明tanx〉x。思路分析:首先构造函数f(x)=tanx—x,然后判断f(x)在（0，）上的单调性.证明:设f(x）=tanx-x，x∈(0，）。∴f′（x)=(∴f(x)在(0，）上为增函数.又∵f(x)=tanx—x在x=0处可导且f（0)=0，∴当x∈（0,）时,f（x）〉f（0)恒成立,即tanx—x〉0，∴tanx>x。温馨提示对于tanx的导数,没有导数公式可用，可先变换成sinx、cosx的导数，然后根据运算法则求导。各个击破类题演练1证明函数f(x）=ex+e—x在［0,+∞)上是增函数.证明：f′（x)=（ex)′+()′=ex+（—）=ex—e-x=,∵当x∈［0,+∞)时，ex≥1，∴f′（x）≥0。∴f(x)=ex+e—x在［0，+∞)上为增函数。变式提升1设f(x）=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：f′(x)=3ax2+1。若a〉0,f′(x)>0对x∈（—∞，+∞）恒成立，此时f（x)只有一个单调区间，与已知矛盾，若a=0，f′（x)=1>0，∴x∈(—∞，+∞），f(x）也只有一个单调区间，与已知矛盾，若a〈0，∵f′（x）=3a，此时f（x)恰有三个单调区间；即单调减区间(—∞,-）、（，+∞)和单调增区间（-,）.因此，a的取值范围是（-∞,0)。类题演练2函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数g=f′(x）的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x）图象的顶点在(）A。第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限解:设g=f′(x)=kx+b(k<0,b>0），则y=f(x）=ax2+bx+c;则f′（x）=2ax+b,由此可知a〈0，b>0，又因为函数y=f(x）图象过原点，所以c=0，故y=ax2+bx+c的顶点:x=—>0,y=>0,故选A.答案：A变式提升2当a取何值时，函数f（x)=x3+（a—1)x2+2x+1在区间（-∞,+∞)内是增函数？解:f′（x）=(a2-1）x2+2(a-1）x+2因为f(x)在（—∞，+∞）内是增函数，∴f′(x)=(a2-1)x2+2（a—1)x+2≥0恒成立.当a=1时，f′(x)=2>0，恒成立。当a=-1时,f′（x)=—4x+2,f′(x）≥0不恒成立。当a≠±1时，应有解得a〉1或a≤—3综上可知a≥1或a≤-3。类题演练3求证：2>3-（x>1）证明：令f(x)=2—3+,则f′（x)=。∵x>1时，x2〉x>0.∴∴f′（x)=〉0。∴f（x）在(1,+∞）上为增函数.∴当x〉1时，f(x)>f（1）=2—3+1=0。∴当x>1时，2〉3-。变式提升3x≠0，求证ex>1+x证明:令f(x)=ex—1-x,f（0）=e0-1-0=0,f′(x)=ex—1。①当x>0时,f′（x）=ex—1〉0，即f（x）在（0，+∞)上为增函数，∴f（x)〉f（0