数学学案：课堂导学空间向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量求和的三角形法则【例1】已知三棱椎O-ABC中,G为△ABC的重心,=a,=b,=c，试用a,b,c来表示。思路分析:先在△OBC中考虑中线OD，然后在△OAD中考虑G为AD的分点，分成的比是2∶1，再次使用向量的运算性质即可。解：=+=a+·（+）=a+（-+—）=(a+b+c）温馨提示（1）把平面内的三角形法则推广到空间也有（2）常用的结论：若AD是△ABC的中线,则有=（+）二、在平行六面体中的向量问题【例2】已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，点M是棱AA′的中点,点G在对角线A′C上且CG∶GA′=2∶1，设=a,=b,=c，试用a,b,c表示向量,，、.思路分析:要想用a,b，c表示出所给向量,只需结合图形，充分运用空间向量加法和运算律得到。解：如下图所示（1）=+=a+b。(2）=+=a+b+c.（3）=+=++=a+b+c.（4)==（a+b+c）。温馨提示在平行六面体内，经常会用到平行四边形法则,另外，“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量"这一结论也经常使用.三、利用向量解决其他问题【例3】证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三倍.思路分析：要证四面体的顶点与对面重心连线共点，且到顶点的距离是它到对面重心的距离的三位,只须在这4条直线AG1,BG2，CG3,DG4上分别取满足条件的4点H1，H2，H3,H4,然后证明H1，H2,H3,H4四点重合即可.证明:设G1,G2,G3,G4分别是四面体D—ABC中四个面的重心（如下图)，取四点H1、H2、H3、H4,满足=；=；=;=；则=++=++=［(++）］++［（++）］=0所以，H1与H2重合。同理可证，H1与H3、H1与H4重合，故H1、H2、H3、H4是同一点,且此点到某顶点的距离是它到对面重心距离的三倍。温馨提示要证明A,B两点共点,只需证明=0即可；或者引入第三个点C,证明=，也可说明点A,B共点.各个击破类题演练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（)①（+)+②（）+③（+）+④（）+A。1个B.2个C。3个D.4个答案：D变式提升1已知空间四边形ABCD（如下图），连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则+(+）等于（）A.B。C.D.答案：A类题演练2已知正方体ABCD—A′B′C′D′(如右图）,点E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，求下列各题中x、y的值:(1)=x（++)(2）=+x+y;(3)=+x+y.解析：（1),∴x=1.(2）∴x=y=.(3）=+=++，∴x=y=。变式提升2已知平行六面体OABC—O′A′B′C′,且OA=a,=b，=c,用a,b,c表示如下向量：（1），;（2）（G为侧面BC′的对角线交点).解析:对（1）主要用平行四边形法则,结合图形容易得出=a+b,=c-b。对（2）主要运用三角形法则的推广形式。+(+)=b+(c+a）=a+b+c。类题演练3设互不共线的向量a,b，c满足a+b+c=0,证明顺次将它们的始点和终点相连结构成一个三角形。证明:作=a,=b，=c,则=++=a+b+c=0，所以A、D重合，即a，b，c可以构成三角形