数学学案：课堂导学柯西不等式_第1页
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文档简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用柯西不等式求最值【例1】已知x2+y2≤4,求2x+y的最大值.解析:(2x+y)2≤(22+12）(x2+y2）=5（x2+y2)≤5×4=20,则—≤2x+y≤，即2x+y的最大值为2.温馨提示利用柯西不等式求最值，注意基本的形式和外在的条件。二、利用柯西不等式证明不等式【例2】已知a,b,c,d∈R+,证明a+b+c+d≥+++。证明：对于两组正数，，,和，，,,有(a+b+c+d)（b+c+d+a)≥（+++)2，即（a+b+c+d)2≥（+++)2,因此a+b+c+d≥+++.温馨提示利用柯西不等式证明不等式,要注意将原不等式转化为柯西不等式的形式.三、柯西不等式的综合应用【例3】设x，y,z∈R+,x+y+z=2，证明++≤2.证明：取两组数:，，;，,，则[(）2+()2+(）2］［(）2+（）2+（)2］≥(++)2，即4=（x+y+z)2≥(xy+yz+xz)2，所以++≤2.温馨提示注意柯西不等式的形式及适用条件，并通过凑配达到形式的统一.各个击破类题演练1已知x2+y2=1，求|xcosθ+ysinθ｜的最大值。解析:|xcosθ+ysinθ|2≤（x2+y2）(sin2θ+cos2θ）=(x2+y2）=1，则|xcosθ+ysinθ｜的最大值为1.变式提升1已知2x+3y≥7，求x2+y2的最小值.解析:2x+3y≥7（2x+3y）2≤（22+32）（x2+y2)=13(x2+y2）。又（2x+3y）2≥49,则x2+y2≥,即x2+y2的最小值为.类题演练2设a，b，c∈R+,且a+b+c=1,求证:++≥9。证明：取两组正数，，，,++，则有［（)2+（）2+()2]［()2+（)2+(）2］≥(a·+b·+c·）2=9,即++≥9。变式提升2用柯西不等式证明问题导入中的不等式.证明：取两组数:a，b,c,b，c，a,则(a2+b2+c2）(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ac）2，因此a2+b2+c2≥ab+bc+ac.类题演练3设a，b，c∈R+，求（++）（++)的最小值.解析:（++)(++）≥（·+·+·)2=(1+1+1)2=9。于是最小值为9。变式提升3设x1,x2，x3∈R+,求证：

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