数学学案：课堂导学绝对值的三角不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用绝对值的三角不等式进行大小比较【例1】设a≠0，a，b∈R,试比较与的大小。解：-.=-=—=||a|—｜b｜｜-(|a|—｜b｜)=(+)｜｜a|-|b｜|—（｜a｜—｜b｜)≥｜｜a|-｜b|｜-｜(｜a|—|b｜)≥（|a｜—｜b|）—(｜a|—|b|）=0.∴≥.当b=0或a=±b时取等号.温馨提示对于含绝对值符号的比较大小的问题,可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等式的性质作转化处理。二,利用绝对值的三角不等式进行证明【例2】已知函数f(x）=2x2—2x-1，|x-a｜〈.求证：|f（x）-f（a）|<2（｜a｜+）。证明：｜f（x)-f（a）｜=｜2x2-2x-1-(2a2-2=｜2x2-2a2-2x+2a｜=|2(x—a）(x+=2|x—a|·｜x+a—1|〈｜x+a—1｜=｜x-a+2a—1|≤｜x-a|+｜2a|+|—1｜〈+|2=+2｜a|=2（+｜a｜）.∴原不等式成立.温馨提示利用了放缩的方法,过程简捷.由于结论中两式含有根号和绝对值符号，也可采用平方差法，三角换元法,数形结合等方法证明.三,绝对值的三角不等式的综合应用【例3】设1≤|x｜≤4，2≤｜y|≤7,则｜x-y｜的最大值和最小值分别是__________.解析:∵3≤｜x｜+｜y|≤11，∴|x—y|≤｜x|+｜y｜≤11。∵｜x—y|≥|｜x|-|y｜|≥0，∴0≤｜x-y｜≤11.∴最大值和最小值分别为11和0.答案：11和0温馨提示含绝对值的不等式常与函数联系,要注意绝对值不等式性质的灵活运用。各个击破类题演练1已知函数f(x)=x2-x+13，｜x—a｜〈1,比较|f（x）—f(a）｜与2(｜a|+1｜）的大小。解析：｜f（x）—f(a)｜=|x2—x+13-(a2—a+13)｜=|x2—a2—x+a|=｜(x—a）(x+a-1)|=|x-a|·｜x+a—1｜〈｜x+a—1|=|x-a+2a≤｜x—a|+|2a-1｜〈1+｜2=2+2|a|=2(1+｜a｜).∴|f(x）—f（a)｜〈2（|a｜+1)。变式提升1若｜x-a|<h，|y—a｜<h，则下列不等式一定成立的是()A。｜x—y｜〈h B。｜x-y|〈2h C.|x—y｜>h D。｜x-y|>2h解析：|x—a|〈h,｜y—a|〈h|x—a|+|y—a|<2h|x-y｜〈|x—a｜+|y—a｜<2h.故选B.答案：B类题演练2若f（x）=,x1≠x2，试证明|f(x1)-f(x2）|<|x1-x2|。证明:|f（x1）-f（x2）｜=｜-|==|x1-x2｜.变式提升2求证:≥｜a|—｜b|.证明:≥=｜a|-·|b｜,(1)若||≥1,则｜a|-｜b｜≤0,原不等式显然成立.（2）若||<1，则—｜b｜·｜｜〉—｜b｜,由不等式的传递性知原不等式成立.类题演练3若|h｜<，|k｜<，求证：|2h-3k|<a。证明：｜2h—3k|≤|2h｜+｜3k|=2|h|+3|k|〈2×+3×=+=a.∴｜2h-3k｜〈a。变式提升3已知|x—a｜<，0〈|y-b｜<，y∈（0,M）,求证:|xy-ab|〈ε。