数学学案：课堂导学基本逻辑联结词

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、逻辑联结词“或”“且”“非"【例1】写出由下列各组命题构成的“p或q"“p且q”“非p”形式的新命题，并判断真假.(1)p：1是质数；q：1是方程x2+2x—3=0的根；(2）p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直;（3)p：NZ；q：0∈N。思路分析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或"“且”“非”的应用。解：（1）因为p假q真，所以p或q：1是质数或是方程x2+2x—3=0的根，为真；p且q:1是质数且是方程x2+2x—3=0的根，为假；非p：1不是质数，为真.(2）因为p假q假,所以p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真。（3)因为p真q真，所以p或q：NZ或0∈N,为真；p且q:NZ且0∈N，为真；非p：NZ，为假。温馨提示为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式,然后指出其中命题p、q的真假，再根据已有结论判断这个命题的真假。二、含有一个量词的命题的否定【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；（2）p：x∈R，x2+2x+5＞0.解析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”,因此，p：至少存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立；即p：x∈R，使x2+x+1≠0成立.(2）由于“x∈R"表示至少存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个"的否定为“任意一个”，因此，p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即x∈R,x2+2x+5≤0.温馨提示首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定。从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题。三、逻辑知识的综合应用【例3】已知p：方程x3+mx+4=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m—2)x+1=0无实根，若p或q为真,p且q为假，求m的取值范围.解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则解得m＞4，即p：m＞4若方程4x2+4(m-2）x+1=0无实根，则Δ=16(m-2）2-16=16(m2-4m+3）＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。因p或q为真,所以p、q至少有一个为真。又p且q为假，所以p、q至少有一个为假。因此，p、q两命题应一真一假，即p为真,q为假，或p为假,q所以解得m＞4或1＜m＜3.温馨提示由p、q的真假可以判断p∨q、p∧q,p的真假。反过来,由p∨q、p∧q，

p的真假也应能准确断定p、q的真假情况.如“p∧q”为假，应包括“p真q假"“p假q真"“p假q假”这三种情况.类题演练1指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：(1）10≤10；（2)方程x2-6x—1=0没有实数根;(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.解:(1)是“p∨q”形式的复合命题，其中p：10=10；q：10<10，为真命题；也可认为是非p形式的复合命题，其中p：10>10；（2)是非p形式的复合命题，其中p：方程x2-6x+1=0有实根为真，则非p为假命题；(3）是“p∧q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题.变式提升1用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断真假.(1）5和7都是素数；（2）平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分。解：（1)“5和7都是素数"可以改写成“5是素数且7也是素数"。∵“5是素数"与“7是素数”都是真命题.∴这个命题是真命题.(2）“平行四边形的对角线既互相垂直,又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分"。∵“平行四边形的对角线互相垂直”是假命题.∴这个命题是假命题。类题演练2命题p：x∈R,＜0的非p形式的命题是()A。x∈R，＞0B.x∈R，1≤x≤3C。x∈R,x＜1或x＞3D。x∈R，x≤1或x≥3解析：事实上,求一个命题的“非p”形式，首先应把该命题化为最简形式.求命题p：x∈R,〈0的“非p”形式，由于该命题不是最简形式,所以首先应把它化为最简形式1<x〈3后再求其“非p”形式，故应选D.答案：D变式提升2判断命题“x∈R,方程x2+2x+1=0有解”是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.解析：由于x∈R表示x是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；其否定是“x不是任意实数,方程x2+2x+1=0无解”。类题演练3已知a＞0，a≠1,设P：函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减；Q：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点。如果P和Q有且只有一个正确，求a解：当0<a<1时，函数y=loga（x+1)在(0，+∞)内单调递减；当a>1时，y=loga（x+1）在（0,+∞）内不是单调递减.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于（2a-3）2—4>0,即0〈a<或a〉。（1)若P正确，且Q不正确，即函数y=loga（x+1）在（0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a—3）x+1与x轴不交于两点，因此a∈（0,1）∩([,1）∪(1,］）,即a∈［,1）。（2)若P不正确，且Q正确，即函数y=loga（x+1)在(0,+∞)内不是单调递减,曲线y=x2+（2a-3）x+1与轴交于两点，因此a∈(1,+∞)∩((0,)∪（，+∞)）,即a∈（,+∞）.综上，a的取值范围为［,1)∪（