数学学案：课堂导学放缩法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】证明下列不等式：(1）···…·〈；(2）1〈<2.证明：（1）〈,<,……，<，令A=··…·，B=··…·,∴A〈B,A2<A·B=〈.∴···…·〈。（2)<=2，又=1,∴原不等式成立。各个击破类题演练1设n为正整数,求证：≤〈1。证明:∵n∈N＊,∴，以上各式相加得故原不等式成立。变式提升1求证:。证明:∵，∴即原不等式成立.二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩【例2】(1)比较log23与log34的大小;(2)求证:log56·log54<1;(3）已知f（x)=logx（x+1),①比较f（1024)·f(1025)·…·f（2048)与1。1的大小;②求证:f(n）>f(n+1)（n∈N，n≥2）。（1）解析：log23-log34=∴log23〉log34。(2）证明:=log524〈log525=1。(3)①解析：f（1024）·f（1025）·…·f(2048)==1。1。②证明：f（n）〉f（n+1)logn(n+1)〉logn+1(n+2)logn+1(n+2)·logn+1n<1,仿(2）的证明思路,此式易证。温馨提示1。对于(1）,比较大小→作差→平均值不等式→放缩，结果出来了。熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩：log23=log827>log816〉log916=log34，就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式，需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度，缩到怎样的范围，必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c为三角形的三边，p=，p2=2ab,求证：（1)p<2a；（2)a>c.证明：（1）∵a+c>b,∴p=>=b.∴2ab=p·p>p·b,即p<2a。(2）p=≤，即≤，故a≥c。当且仅当2a=b时取等号,此时,由条件p2=2abp=b,再由p=知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾，因此a>c.变式提升2（1）a,b，c为三角形的三边,证明a2+b2+c2〈2（ab+bc+ca）；（2）设a,b,c为三角形的三边，证明证明：（1）a，b,c为三角形的三边,有a+b>cc(a+b）>c2,b+c>aa(b+c）〉a2，c+a>bb(c+a)〉b2。三式相加即为2(ab+bc+ca)〉a2+b2+c2。(2)∴原不等式成立。三、利用其他方法进行放缩【例3】设0<α〈β<，0<θ<，求证:。思路分析:α，β,θ为锐角，因此sin(θ+α),sin（θ+β)，sinα，sinβ都是正值，当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢？外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：∴原不等式成立。温馨提示将cosα换成cosβ，值变小了，这里又直接利用了不等式:a，b,m〉0且a〈b，则〈。其实，很多时候我们不可能一下子看清问题的实质,那么去尝试一下,尝试的过程中，去伪存真，删繁就简。类题演练3设△ABC的三边a，b,c满足关系：a2+b2=c2，当n〉2，且n∈N*时,求证:an+bn〈c2n.证明:∵a2+b2=c2，∴a<c，b<c。∴an—2〈cn-2,bn-2〈cn-2。∴an+bn=a2·an-2+b2·bn-2<a2·cn-2+b2·cn-2=cn—2（a2+b2)=cn,即an+bn