数学学案：课堂导学反证法和放缩法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用反证法进行证明【例1】已知函数f(x)是（—∞,+∞)上的增函数，a，b∈R,（1）若a+b≥0，求证:f（a)+f（b）≥f(-a)+f(-b）；（2）判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.证明：(1)∵a+b≥0,∴a≥-b，—a≤b.又f(x)是（—∞,+∞)上的增函数,∴f（a)≥f(—b),f(—a)≤f（b).∴f（a)+f(b）≥f(—a）+f(-b）。（2）逆命题：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b）a+b≥0,下面用反证法证明。假设a+b<0，则a〈-b,b<—a，∴f(a）<f(-b),f（b）〈f（—a）.∴f（a)+f(b)〈f(—a)+f（—b）.与已知矛盾,∴假设不成立，逆命题得证.温馨提示反证法要从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.二，运用放缩法证明不等式【例2】已知n，k均为大于1的整数,试证明1+++…+<2.证明:1+++…+≤1+++…+<1+++…+=1+（1—）+（-)+…+（—）〈2。温馨提示用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等.放缩时要注意适度，否则不能同向传递。三，反证法和放缩法的综合应用【例3】n为大于1的正整数，求证：（1+)（1+）…(1+）〉。证明：∵>（k≥2),设A=（1+）(1+）…（1+）=×××…×，B=××…×，∴A2>AB=××××…××=〉.∴A>（n≥2).温馨提示有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法,凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.放缩法是一种证题技巧,要想用好它，必须有目标,目标可以从要证的结论中考察.各个击破类题演练1设f（x)=x2+bx+c，x∈［—1,1］,证明当b<-2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f（x)｜≥成立。证明:假设不存在x∈［—1，1］上满足｜f（x)|≥,则对于x∈［—1,1］上的任意x有—〈f（x）〈成立.∴b〉—与b〈—2矛盾。故假设不成立，即原命题成立。变式提升1已知a，b，c∈（0,1）,求证:（1-a)c，(1—b)b,(1—c）a不能同时大于。证明:假设三式同时大于,因为0<a<1,所以1—a>0..同理,，都大于.三式相加得>矛盾.所以原命题成立。类题演练2已知a，b,c，d∈R+,求证：1〈.证明:∵,又，∴1〈〈2.变式提升2求证：1+++…+〈2—(n≥2,n∈N）。证明:由<=—,得1+++…+≤1+1—+-+…+—=2-(n≥2,n∈N)。∴原不等式成立.类题演练3设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2—b2，求证：1<a+b<。证明:由题设得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b）2〉a2+ab+b2=a+b，故a+b〉1。又(a+b)2〉4ab，而（a+b）2=a2+2ab+b2=a+b+ab〈a+b+,即(a+b)2<a+b,∴a+b〈.∴1〈a+b〈.变式提升3已知a,b，c∈R+,求证:≥abc。证明：∵a2b2+b2c2≥2ab2b2c2