数学学案：课堂导学对数函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域。（1）y=log2(x2-4x-5）；(2）y=log3（9-x2);(3）y=；(4)y=。思路分析：（1)(2）题，用y=logax的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=logax中的x的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义，结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解。解：（1)∵x2—4x-5〉0，∴x〈-1或x〉5。∴y=log2（x2—4x—5)的定义域是{x｜x〈-1或x〉5}.又令g(x）=(x—2)2—9，∵g（x)在定义域内恒有g（x)>0，∴函数值域为R。（2)由9-x2>0，得—3〈x<3,∴y=log3（9—x2)的定义域为｛x｜—3〈x<3}.又知0〈9—x2≤9且y=log3x是增函数，∴y=log3（9—x2)≤log39=2。∴y=log3(9-x2）的值域为（-∞,2］。(3）∵该函数有奇次根式,要使函数有意义，只需对数的真数是正数,∴所求定义域是｛x|x〉0｝,值域为R.（4）要使函数y=有意义,必须log0.5(4x-3)≥0=log0。51.∴0〈4x—3≤1。∴<x≤1.∴所求定义域是{x|〈x≤1｝，值域为[0,+∞)。二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小:（1）log0。3,log20.8；（2)loga5.1,loga5。9;(3)log67,log76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定。对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁"，如“0”和“1”，间接地比较大小.解:(1）由对数的性质，知log0。3>0,log20。8<0,∴log0。3>log20.8。（2）对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数a进行讨论.当a〉1时,函数y=logax在(0，+∞)上是增函数,5。1<5.9,∴loga5。1<loga5.9;当0<a〈1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,5。1〈5。9,∴loga5.1>loga5。9.(3）∵log67〉1，log76<log77=1，∴log67〉log76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x）=-logx在(0，+∞）上是增函数；（2)求函数f(x)=log2（x2—1）的单调区间。(1）证明:在（0,+∞)上任取x1、x2,且0〈x1〈x2,则f(x1）—f(x2）=（—logx1)—(-logx2）=logx2—logx1。又y=logx在(0，+∞)上是减函数,有logx2〈logx1,∴logx2—logx1〈0,即f（x1)—f（x2)〈0.∴f（x1)<f(x2)。∴f（x）=—logx在(0,+∞）上是增函数。（2)解析:由x2-1>0得x>1或x<—1,∴f（x)定义域为（1,+∞)∪(-∞,-1）。令g(x)=x2—1，知g（x）在（1，+∞)上递增，在(-∞,-1)上递减且f（x）=log2x为增函数。故f(x)的增区间为(1，+∞),减区间为(—∞，-1）。温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=logax的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x）=f［g（x）］,若g(x）与f(x）同增（或同减）,则G（x)为增；若g（x）与f(x）一增一减，则G（x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=loga(a—ax)（其中a>1)，求它的定义域和值域.解析：根据题意a—ax>0,∴ax〈a.又∵a〉1,y=ax是增函数,∴x〈1。∵ax〈a，且ax〉0，0<a—ax〈a，∴loga(a—ax)<1.∴函数y=loga(a—ax)的定义域和值域分别是｛x｜x<1｝和｛y|y〈1｝.变式提升1求下列函数的定义域:（1)y=log7;(2)y=;（3)y=log(x+1）(16-4x）。解析:（1)由得x<,∴所求函数的定义域为｛x｜x<}.(2）由即∴函数y=的定义域为｛x｜x≥2或x〈-3且x≠-1}。(3)由∴y=log(x+1)(16—4x）的定义域为{x｜—1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小:（1）log3,log3；(2）log3π，log20。8。解析：(1）∵在x∈（1,+∞)上，y=logx的图象在y=logx图象的上方,∴log3〉log3.(2)∵log3π〉log31=0,log20。8<log21=0，∴log3π>log20.8。变式提升比较(lgm）1。9与(lgm)2。1(m>1）的大小。解析：把lgm看作指数函数的底数，本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小，于是应对底数lgm进行讨论：当1〉lgm〉0,即1〈m〈10时，y=（lgm)x在R上是减函数,1。9〈2.1,∴（lgm）1。9>（lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm）2.1=1;当lgm〉1,即m>10时，y=（lgm)x在R上是增函数，1.9〈2.1,∴（lgm）1.9〈(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log0。5(x2—2x—3）的单调区间。解析：由x2—2x-3>0得x>3或x<—1,令g（x)=（x—1）2—4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(—∞，—1）上递减.又f（x）=log0.5x是减函数,故f（x)的增区间为(—∞，—1）,减区间为（3,+∞）.变式提升3判断f(x)=loga(x2-2x—3）在(3,+∞）上的单调性。解析：令g（x）=x2-2x-3，当x∈（3,+∞)时,有g(x)〉0.设x1、x2∈（3，+∞）且x1>x2,则g(x1）=x12-2x1-3,g(x2）=x22-2x2-3.∴g(x1）—g（x2)=(x12-x22)—2（x1—x2)=（x1-x2）（x1+x2-2）.∵x1>x2>3,∴x1-x2>