数学学案：课堂导学第一讲一平面直角坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具，讨论轨迹非常方便.请看例1。【例1】两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹。解：如图。以AB所在直线为x轴,以AB中点为原点,建立平面直角坐标系，则A（-3,0),B(3，0），设动点P（x,y），由已知得|PA｜2+｜PB｜2=26，即x2+y2=4.这即是点M的轨迹方程，是以AB的中点为圆心，2为半径的圆.温馨提示由此可见，建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了。各个击破类题演练1已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|=4，点A到l的距离为3.求△ABC外心的轨迹方程。解：以l为x轴,过A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A为（0,3)，设△ABC的外心为P(x,y)。因为P是BC的中垂线上的点,故B，C坐标分别为（x—2,0），（x+2,0).因P在线段AB的中垂线上,故|PA|=|PB｜，即，即x2-6y+5=0.变式提升1证明三角形的三条高线交于一点.证明:如图，△ABC，则AD,BE，CO分别是△ABC的三条高，取边AB所在的直线为x轴，CO所在的直线为y轴,建立坐标系.设BE交AD于点H（x,y)，A（-a,0，),B(b，0）,C（0，c),则=(x-b，y),=（x+a，y),=（-b,c），=(a，c）。∵⊥·=0,即a(x—b)+cy=0，①∵⊥·=0,故（-b）(x+a）+cy=0,②①-②得（a+b)x=0。∵a+b≠0,∴x=0.∴H在AB的高线上，即△ABC三条高线交于一点。二、坐标变换问题【例2】在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。①y2=2x；②y=3sin2x。解：由伸缩变换得y′。(*）①将（*)代入y2=2x,得(y′）2=2·（2x′）.∴y′2=64x′.∴经过伸缩变换后抛物线y2=2x变成了抛物线y′2=64x′。②将(＊)代入y=3sin2x，得y′=3sin2·（2x′），∴y′=12sin4x′.∴经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x变成了曲线y′=12sin4x′。类题演练2将曲线C按伸缩变换公式变换后的曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线C的方程为（)A。=1B.=1C.4x2+9y2=36D。4x2+9y2=1解析:将代入方程x′2+y′2=1，得4x2+9y2=1。故选D。答案：D变式提升2已知f1(x）=cosx，f2(x）=cosωx（ω>0）,f2(x）的图象可以看作是把f1（x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，则ω为(）A.B。2C。3解析:f1（x）=cosx→f2（x）=cos3x.∴ω=3，选C.答案：C三、利用直角坐标系解决应用题【例3】某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽8m，一木船宽4m,高2m,载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？解：以水平面与拱的截面的交线为x轴,以该交线的中点为原点建立平面直角坐标系,如图。由题意,点A（-4,0），B（4，0)，C（0，5）.则可设抛物线为y=ax2+c.∴把A，C代入得16a+c=0且c=5.∴a=。∴y=x2+5。当船沿拱的中心方向通过时,D为（—2，0)，代入得y=·4+5=，即拱到水平面的高为m。又船高2m，∴水面上涨的余地为-2=，若保证船通过，则水平面涨到与拱顶相距m时，船开始不能通航，其中=5-.类题演练3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t);写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t）.（2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注:市场售价和种植成本的单位：元/102千克,时间单位：天）解：(1)由题图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t)=由题图(2）可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=（t-150）2+100,0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t）=f(t）—g(t)，即h(t)=，当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=（t-50)2+100，所以当t=50时，h（t）取得区间［0,200］上的最大值100;当200<t≤300时,配方整理得h(t）=(t-350）2+100.所以当t=