数学学案：课堂导学第一讲第一节平行线等分线段定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例1】如图1—1-1,已知△ABC中，AD是BC边上的中线,E为AD中点,BE的延长线交AC于F。图1-1—1求证：AF=AC.思路分析：欲证AF=AC，只要取FC的中点G,然后证AF=FG=GC即可，或者过D作DG∥BF,再证AF=FG=GC。证法一：取FC中点G,∵BD=DC,∴DG为△BFC的中位线。∴DG∥EF.在△ADG中，E为AD中点,∴F为AG中点。∴AF=FG=GC。∴AF=AC。证法二:过D作DG∥BF交AC于G。在△ADG中,E为AD中点,∴AF=FG。在△BCF中，D为BC中点，∴FG=GC。∴AF=FG=GC。∴AF=AC。温馨提示证法一利用取中点和中位线定理得平行，然后再利用定理及推论证得线段相等。证法二是作平行线,直接利用定理或推论。二、线段和差的证明问题【例2】如图1—1-3，ABCD中，AC、BD相交于O，以A为端点引射线AM，分别过B、C、D向AM作垂线,垂足分别为B′、C′、D′。求证：AD′=B′C′。图1—1—3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出O是△AC′C的边AC的中点,也是梯形BDD′B′的腰BD的中点.为此,只要过O作OO′⊥AM或OO′∥DD′易得O′分别为AC′和B′D′的中点,即O′A=O′C′,O′D′=O′B′,两式相减即得证.证明:作OO′⊥AM，O′为垂足,∵ABCD为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.又∵DD′,OO′，BB′，CC′都垂直于AM,∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′。∴O′A=O′C′，O′D′=O′B′。∴O′A—O′D′=O′C′-O′B′，即AD′=C′B′。三、探索线段间的关系【例3】如图1-1-5，已知M是AB中点，A、B在l的两侧,分别过A、B、M作直线l的垂线，垂足分别为C、D、N.请探讨AC、BD、MN的关系并证明.图1—1—5（1)思路分析:假设B、D重合,则图形变为图1—1-5（2).图1-1—5(2）∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC。又∵M是中点，∴N是BC中点，MN是△ABC的中位线.∴MN=AC。而当B、D不重合时,要么MN=(AC+BD),要么MN=(AC-BD).通过观察,A、B在l异侧时MN＜AC，因此我们猜想MN=（AC—BD）.下面我们给出猜想的证明。解：如图1-1—5(1)，连结DM并延长交AC于E，∵AC、MN、BD都垂直于l，∴AC∥MN∥BD.又∵M是中点，∴N是CD的中点.∴MN是△CDE的中位线.∴MN=EC=（AC—AE).∵AE∥BD，∴∠A=∠B。在△AME和△BMD中,∴MN=（AC-BD)。温馨提示容易证明A、B在l同侧时，MN=(AC+BD）.各个击破类题演练1如图1—1-2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC，M是CD的中点，求证：MA=MB.图1—1-2证法一:过M点作MN∥BC交AB于N，则AD∥MN∥BC。∵DM=MC,∴AN=MC。又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB。∴MN是AB的垂直平分线。∴MA=MB。证法二：取AB中点N，∵AN=BN,DM=MC,∴MN是梯形ABCD的中位线.∴MN∥AD∥BC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN是AB的中垂线。∴MA=MB.类题演练2如图1-1—4,已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点，连结EF,交BD于G,交AC于H.求证:GH=(BC—AD).图1—1-4证明：∵E、F为AB、CD的中点，∴EF为梯形ABCD的中点,∴EF∥AD∥BC.∴BG=DG，AH=CH。∴EG、EH分别为△ABD和△ABC的中位线.∴EH=BC,EG=AD。∴EH-EG=BC-AD.∴GH=(BC-AD)。温馨提示在证明线段相等时有时，通过将有关线段作和、差来证明。类题演练3如图1—1—6,梯形ABCD中，AB∥CD，G、H分别是梯形对角线的中点.图1—1-6探讨GH与AB、CD的关系.解析：猜想当A、B重合，AC与BC重合，梯形变为三角形，如图1—1—6.由三角形中位线定理知GH=CD。一般地,GH肯定与AB有关,可能GH=（CD+AB）或GH=(CD-AB).通过观察，GH不大于CD，所以猜想GH=（CD—AB)。下面给出证明。证明：如图1—1—7，图1—1—7连结AH并