数学学案：课堂导学导数的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元。问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x吨时的利润为f（x)=（24200—x2）x-（50000+200x）=—x3+24000x—50000(x≥0)。由f′（x)=-x2+24000=0.解得x1=200,x2=-200(舍去）。因f（x)在［0，+∞)内只有一个点x=200使f′(x）=0,故它就是最大值点，且最大值为f（200)=-（200）3+24000×200—50000=3150000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y′=0的根,求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】已知某厂生产x件产品的成本为c=25000+200x+x2（元）.（1)要使平均成本最低，应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解。解析:（1）设平均成本为y元，则令y′=0,得x1=1000，x2=—1000（舍去）.当在x=1000附近左侧时,y′<0;在x=1000附近右侧时，y′>0；故当x=1000时，y取得极小值。由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值,那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品.（2)利润函数为L=500x—（25000+200x+）=300x—25000—.∴L′=（300x—25000-）′=300—.令L′=0，得x=6000，当x在6000附近左侧时,L′〉0；当x在6000附近右侧时L′〈0，故当x=6000时，L取得极大值.由于函数只有一个使L′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大,应生产6000件产品.三、导数在生活中的应用【例3】如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角Φ多大时,水流的横断面积为最大?解：(1)依题意，侧边BC=h·（sinΦ）-1，设下底AB=x，则上底CD=x+2hcotΦ,又S=(2x+2hcotΦ）h=(x+hcotΦ）h，∴下底x=—hcotΦ,∴横断面被水浸湿周长l=（0〈Φ<)。∴l′Φ=令l′Φ=0，解得cosΦ=，∴Φ=。根据实际问题的意义，当Φ=时,水渠横断面被水浸湿的周长最小。（2)设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=（a+a+2acosΦ）·h=（2a+2acosΦ）·asinΦ=a2（1+cosΦ）·sinΦ（0〈Φ〈）.∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ）cosΦ］=a2（2cosΦ—1）（cosΦ+1）。令S′=0，得cosΦ=或cosΦ=-1(舍），故在（0,)内，当Φ=时，水流横断面积最大,最大值为S=a2（1+cos)sin=a2。各个击破类题演练1已知A、B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时（8〈v≤v0）。若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解:设每小时的燃料费为y1，比例系数为k（k〉0)，则y1=kv2，当v=12时，y1=720，∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1·∴y′=.令y′=0，∴v=16.∴当v0≥16时,v=16时全程燃料费最省；当v0<16时，即v∈（8,v0）时y′〈0，即y在（8，v0]上为减函数，∴当v=v0时，ymin=综上，当v0≥16时，v=16千米/时全程燃料费最省。当v0<16时，则v=v0千米变式提升1求f(x)=在［—1，3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f′（x)=0,即f′（x)=即x2-2x—1=0得x1=1-与x2=1+且x1,x2∈［-1，3］相应的函数值为:②计算f(x)在区间端点上的值为:f（-1）=0，f（3）=0③通过比较可以发现，f(x)在点x1=1—处取得最大值在x2=1+2处取得最小值.类题演练2用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为xcm，则水箱高为h=60-(cm).水箱容积V=V(x)=x2h=60x2—(0〈x〈120）(cm3）。V′（x）=120x—x2.令V′（x）=0，得x=0(舍)或x=80。当x在(0，120）内变化时,导数V′(x)的正负如下表：x(0，80）80（80，120)V′（x)+0—因此在x=80处,函数V（x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V（x）的最大值。将x=80代入V（x)，得最大容积V=802×60—=128000cm3.答:水箱底边长取80cm时，容积最大.其最大容积为128000cm变式提升2铁路上AB段的距离为100千米，工厂C到铁路AB的距离BC=40千米,今要在AB之间设一转运站D.向工厂修一条公路,使从原料供应站A运货到工厂C所用费用最省.问D点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D与B间距离为x千米，则C与D间距离为千米。A与D间距离为(100-x）千米，设铁路与公路运费的比例为k，则：y=k［3（100—x)+5](0≤x≤100）,y′=k［—3+］.令y′=0，解得x=30。因此，当B、D距离30千米时，所用费用最省。类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比。现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计)？解：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a、b值使y值最小。根据题设,有4b+2ab+2a=60（a>0,b得b=(0<a<30)，于是y=∵y′==0时，a=6或a=-10（舍去).由于本题只有一个极值点，故当a=6时，b=3时为所求。变式提升3一报刊图文应占Scm2，上，下边宽都是acm，左右边均为bcm，若只注意节约用纸,问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时,要注意以下几点：①设出两个变量,依据题意分析它们的关系,把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义