数学学案：课堂导学比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一,作差法证明不等式【例1】(1）已知正数a,b,c成等比数列，求证:a2-b2+c2≥(a—b+c）2；（2)设a，b∈R,求证：a2+b2≥2(a—b—1)。思路分析：证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题。（1）证明:∵ac=b2，b>0，∴b=。∴a2-b2+c2-（a-b+c）2=a2—b2+c2—a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b2—2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a—2b+c）=2b()2≥0.∴a2-b2+c2≥（a—b+c）2。(2)证明:∵a2+b2-2(a—b-1)=a2+b2—2a=a2—2a+1+b2+2b+1=（a—1）2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b—1）。温馨提示作差法证明不等式的步骤：作差-变形—判定符号—结论。这里变形的目的是能判断出差式的符号。为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能；不能分解因式的，往往能配方确定符号。各个击破类题演练1已知a,b是正数且a≠b，试探讨能否确定a3+b3与a2b+ab2的大小？解析:a3+b3—（a2b+ab2）=（a3—a2b)-(ab2-b3)=a2（a-b)-b2（a—b)=（a-b）（a2—b2)=(a+b)(a-b）2，∵a，b是正数，∴a+b>0。又∵a≠b，∴（a—b）2>0.∴(a+b)(a-b）2>0。∴a3+b3〉a2b+ab2.变式提升1a,b,c满足怎样的条件能使a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca解析:a2b+b2c+c2a-ab2—bc2=ab（a-b)-c（a2-b2）+c2(a-b)=ab（a—b）—（ac+bc)（a—b)+c2(a-b)=(a-b)(ab-ac-bc+c2）=（a—b)［a（b-c)—c(b-c）］=（a-b）（b-c)（a-c)<0，∴要使a2b+b2c+c2a〈ab2+bc2+ca则a〈b<c或b<c〈a或c<a<b.温馨提示作差法证明是最基本的证明方法，变式越彻底，越有利于符号的判断.最后最好出现常数、平方、几个因式之积，再逐一论证各因式的符号,从而得出差式整体的符号。二、作商法证明不等式【例2】已知a〉b>c>0,求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小较为容易。证明:∵a>b〉c〉0，∴ab+cbc+aca+b〉0.作商=a2a-b—cb2b—c—ac2c—a-b=aa-baa-cbb—cbb—acc-acc—b=（.(＊)∵a>b>c>0，∴a—b>0，a-c>0,b—c〉0,且。∴(*)式大于1.从而a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。温馨提示一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时,可用同样的方法比较其绝对值的大小,即>1且B<0A<B。类题演练2已知a，b∈R+,求证：aabb≥abba.证明：=aa—b·bb-a=(）a—b。①当a〉b>0时,>1,a-b>0，∴（)a-b〉1；②当0<a<b时，0〈<1,a-b〈0，∴（）a—b>1;③当a=b时，=1,a—b=0，(）a-b=1。总之,aabb≥abba.变式提升2若a>b>0，求证:.证明:（作商法）∵三、不等式在实际问题中的应用【例3】甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点?思路分析:设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2。要回答题中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了，谁用时较少谁就先到达指定地点.解:设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意得=s，=t2，∴t1=，t2=，t1-t2==∵s、m、n都是正数，且m≠n，∴(m-n）2〉0，（m+n）mn>0,即t1—t2<0.∴t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点.温馨提示实际应用题的特点往往是没有具体数据，给出的一点点数据也是字母。这就需要在求解问题时，设出必要的量,然后用代数式把实际问题表达成纯数学问题。这一过程叫数学建模.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模。建模的第一步设量是建模的关键.类题演练3有甲、乙两个粮食经销商，各自在同一处购了两次粮食（每次粮价不同）。甲每次购粮mkg,乙每次购m元粮食.试问甲、乙两个粮食经销商的购粮平均价格哪一个更低？解析：设两次粮价分别为每千克a元和b元，甲两次购粮共花去(ma+mb）元，购得2mkg的粮食,其平均粮价为.乙两次购粮共花去2m元,得到的粮食为()千克，故平均每千克粮价为.∵，∴乙的平均价格更低一些.变式提升3本节情景导入问题.解析：设信鸽在无风中飞行的速度是V，风速是v（v<V）,那么信鸽顶风的速度是V—v，顺风的速度是V+v.设两村间距离为s,那么信鸽在无风时飞行两村来回的时间为，有风时,飞