数学学案：课堂导学用数学归纳法证明不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，用放缩法证明不等式【例1】证明1+++…+<2-(n≥2）。证明：当n=2时，左边=1+=，右边=.左<右，成立。②假设n=k时成立,即1+++…+〈2-.当n=k+1时,1+++…++〈2—+<2—+=2—（1-）<2-。温馨提示观察所证式子与已知条件，可以发现采用此法是较简单的.二,证明数列不等式【例2】设数列｛an}满足an+1=an2-nan+1,(1)当a1=2时，求a2，a3，a4,并猜想an的通项公式；（2）当a1≥3时,证明对所有n≥1有an≥n+2.解:(1）由a1=2得a2=a12—a1+1=3；由a2=3得a3=a22-2a2由a3=4得a4=a32—3a3由此猜想an的一个通项公式为an=n+1（n≥1)。(2）当n=1时,a1≥3=1+2，不等式成立。假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak-k)+1≥(k+2)（k+2-k)+1≥k+3。∴n=k+1时,ak+1≥（k+1）+2.∴当n≥1时，an≥n+2.温馨提示从已知条件入手，寻求它们的内在联系，从而找出证明的途径，充分利用不等式的性质进行放缩证明。三，运用柯西不等式证明【例3】+≥.证明：［+］2=（x1-x3）2+(y1-y3)2+（x2—x3)2+（y2—y3)2+2·≥(x1-x3）2+(y1—y3)2+（x2-x3）2+(y2—y3）2+2=(x1-x3)2+（x2—x3)2+(y1—y3）2+(y2-y3）2+2|(x1—x3）（x2-x3)+（y1-y3）（y2—y3)｜≥(x1—x3)2+（x2-x3)2+（y1—y3）2+（y2-y3)2+2（x1-x3）(x3—x2)+2(y1—y3）（y3—y2)=（x1—x3+x3-x2）2+（y1—y3+y3-y2）2=(x1-x2)2+（y1—y2）2。∴原不等式成立.温馨提示柯西不等式是一个重要不等式，是与高等数学的结合点，要灵活应用.各个击破类题演练1用数学归纳法证明不等式2n≥n2时，n应取的第一个值为(）A。1 B.2 C.3 D.4解析：计算可知.答案：D变式提升1用数学归纳法证明1+++…+〈n（n∈N*,n〉1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是（)A.2k B。2k—1 C。2k—1 D。2k+1解析：增加项为++…+共2k项。答案:A类题演练2设a0为常数，且an=3n—1-2an-1（n∈N*),证明对任意的n≥1,an=[3n+（—1）n—1·2n］+（-1)n2na0。证明:①当n=1时，a1=1—2a0②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=［3k+（—1）k—1·2k］+（—1）k·2ka0，那么ak+1=3k-2ak=3k-［3k+（—1)k-1·2k]-(-1）k·2k+1a0=[3k+1+(—1）k·2k+1]+（-1）k+1·2k+1a0,也就是说,当n=k+1时，等式也成立。根据①和②可知,等式对任何正数n成立.变式提升2用数学归纳法证明++…+≥时，由n=k到n=k+1时,左边增加项为__________。解析:当n=k+1时,左边=++…++，∴增加式子为+—=-.答案：-类题演练3求函数的最大值.解：函数定义域为［6，7]，且y〉0。≤,当且仅当4=,即x=时函数取最大值。变式提升3已知a2