专题08二次函数与幂函数（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练08二次函数与幂函数练高考明方向1．(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____2．（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 ()(A)(B)(C)(D)4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A． B． C． D．讲典例备高考二次函数与幂函数二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、幂函数的定义基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋12．（幂函数的判断）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个类型二、幂函数的图象基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知，且，若，则函数的图像为（）.A． B．C． D．2．（根据图象确定解析式）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、33．（利用图象比较大小）对于幂函数，若，则，的大小关系是（）A． B．C． D．无法确定4．（利用图象比较大小）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________．①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点；③当时，函数的图象是一条直线；④当时，函数在定义域内是严格减函数；⑤过点的幂函数图象关于轴对称．类型三、幂函数的性质基础知识：1、五个常见幂函数的性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数eq\a\vs4\al(偶函数)奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减过定点(0,0)，(1,1)(1,1)1．（幂函数单调性）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（）A． B． C． D．2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.3．（幂函数的奇偶性）设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（）A． B．C． D．类型四、二次函数的解析式基础知识：二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq\f(x1＋x2,2)基本题型：1．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质基础知识：函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c<0C．a－b＋c>0D．abc<02．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是()基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．类型四、二次函数给定区间上最值问题基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则f(x)的最小值是________．2、（轴动区间定）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为________．3、（轴定区间动）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．新预测破高考1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（）A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数C．的值域为 D．在定义域内有最大值2．下列关于幂函数的结论，正确的是（）.A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象不经过第四象限C．幂函数为奇函数或偶函数 D．幂函数在其定义域内都有反函数3．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②4．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为()5．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（）A． B． C．或 D．6．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．17．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0 B．1C．2 D．39．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A． B．C． D．10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．11．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b12．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则()A．函数f(x)有两个不同的零点B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝eq\f(1,3)13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.14．定义函数，，则的最小值为________.15．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在