2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学光华校区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学光华校区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣32．（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263．（4分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）A．60cm2 B．120cm2 C．0.6cm2 D．36cm24．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：25．（4分）如图，a∥b∥c，AB＝6，DE＝9，则EF的长为（）A．4 B．3 C．2.5 D．26．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED7．（4分）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形8．（4分）如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，相似比为，则点A的对应点的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知，则＝．10．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，c＝2cm，则d＝cm．11．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝6，S1＝6，则S2的大小为．13．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，D为圆心，大于，两弧相交于M，N两点，连接CE，则CE的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．15．（8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；（3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法16．（8分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF），通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，测得AM＝21m，求树高AB．17．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD，BC于点E，F，G，DG．（1）求证：四边形BGDE是菱形：（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝618．（10分）问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点E，使DE＝DB，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，那么线段AP﹣PB＝cm．20．（4分）已知实数a、b、c满足，则a﹣2b+c的值为．21．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为．22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，D为AC中点，E为BC上一点，若∠AFD＝30°，则CE的长为．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，且CF、DE相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A（1）直接写出A，B的坐标；（2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，若存在，请求出点Q的坐标，请说明理由；（3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，求a的值．26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O（1）如图1，当PC⊥BD时，求PD的长；（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，CP，AB于点N，G，F，M，求；（3）如图3，连接OP，若以OP为折痕，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，求PD的长．

2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学光华校区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的一次项为﹣2x，∴一次项系数为﹣3．故选：B．2．（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【解答】解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣7.02，x＝3.25，ax2+bx+c＝3.03，∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，即方程ax2+bx+c＝3（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜2.25．故选：C．3．（4分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）A．60cm2 B．120cm2 C．0.6cm2 D．36cm2【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，∴点落在黑色阴影的概率为8.6，∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6，∴黑色阴影的面积为10×10×0.6＝60（cm7）．故选：A．4．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为4：2．故选：D．5．（4分）如图，a∥b∥c，AB＝6，DE＝9，则EF的长为（）A．4 B．3 C．2.5 D．2【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，∴EF＝3．故选：B．6．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED【解答】解：（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，（C）∵∠A＝∠A∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，（D）∵∠A＝∠A，∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，故选：A．7．（4分）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题；故选：C．8．（4分）如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，相似比为，则点A的对应点的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【解答】解：当△AOB的位似图形在位似中心的同侧时，可得点A的对应点的坐标为（﹣2，1）；当△AOB的位似图形在位似中心的异侧时，可得点A的对应点的坐标为（7，﹣1）．综上所述，点A的对应点的坐标为（2，7）．故选：C．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知，则＝．【解答】解：∵，∴a＝b，∴＝＝．故答案为：．10．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，c＝2cm，则d＝8cm．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝bc，∵a＝1cm，b＝4cm，∴d＝5（cm）．故答案为：8．11．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m×2＞0，解得．故答案为：．12．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝6，S1＝6，则S2的大小为3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MAO＝45°＝∠OBN，OA＝OB，∵四边形OEGF是正方形，∴∠MON＝90°，∴∠MON+∠MBN＝180°，∴∠BMO+∠BNO＝180°，∵∠AMO+∠BMO＝180°，∴∠BNO＝∠AMO，在△AMO和△BNO中，，∴△AMO≌△BNO（AAS），∴S△BNO＝S1＝6，∵AB＝8，∴S正方形ABCD＝36，∴S△BOC＝S正方形ABCD＝2，∴S2＝S△BOC﹣S△BNO＝9﹣7＝3，故答案为：3．13．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，D为圆心，大于，两弧相交于M，N两点，连接CE，则CE的长为16﹣16．【解答】解：延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝4，AD∥BC，∴∠EBF＝∠A＝45°，由作法得MN垂直平分AD，∴AP＝DP＝AD＝2，∴PF⊥BC，在Rt△APE中，∵∠A＝45°，∴AE＝AP＝2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，在Rt△BEF中，∵∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝BE＝）＝2，∴CF＝CB+BF＝8+2﹣4＝2，在Rt△CEF中，CE＝﹣16．故答案为：16﹣16．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣5x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣6）2＝5，x﹣6＝±，所以x1＝7+，x2＝4﹣；（2）（x﹣2）（x﹣6）＝12，方程化为一般式为x2﹣5x﹣3＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝8或x+1＝0，所以x4＝6，x2＝﹣5．15．（8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为200人，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；（3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）本次调查总人数为20÷10%＝200（人）．∴D类游戏活动的人数为200﹣40﹣20﹣60﹣30＝50（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：200人．（2）1000×＝150（人）．∴估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人．（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有2种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．16．（8分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF），通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，测得AM＝21m，求树高AB．【解答】解：根据题意可得：∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴，∵EF＝0.2m，DE＝7.3m，∴，∴BC＝14m，∴AB＝AC+BC＝1.5+14＝15.6（m），答：树高AB为15.6m．17．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD，BC于点E，F，G，DG．（1）求证：四边形BGDE是菱形：（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝6【解答】（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC，BD，F，G，∴∠ABD＝∠DBG，∵EG垂直平分BD，∴DG＝BG，DE＝EB，∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，∴BE∥DG，DE∥GB，∴四边形BGDE是平行四边形，又∵DE＝EB，∴四边形BGDE是菱形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形BGDE是菱形，∴∠ABC＝∠EDG＝30°，DE＝DG＝BG＝6，∴∠ABC＝∠DGC＝30°，又∵DH⊥BC，∴，，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝3，∴．18．（10分）问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点E，使DE＝DB，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点D是AC的中点，∴∠DBC＝30°，∵BD＝ED，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AF＝AG，∵AG＝AB，∴AF＝AB，∴；（2）取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC（ASA），∴BH＝EC，∴，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴，∴，∴；问题拓展取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴，∴，∴，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴，∵DH＝AB，∴，∴．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，那么线段AP﹣PB＝（6﹣12）cm．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，∴AP＝AB＝﹣3）cm，∴PB＝AB﹣AP＝6﹣（3﹣3）＝（9﹣8，∴AP﹣PB＝3﹣3﹣（9﹣3﹣12）cm，故答案为：（4﹣12）．20．（4分）已知实数a、b、c满足，则a﹣2b+c的值为6．【解答】解：设，则，∴，∴∴a﹣3b+c＝（k﹣1）﹣2（3k﹣2）+（3k+6）＝k﹣1﹣4k+2+3k+3＝7．故答案为：6．21．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为1．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x8﹣2（m+1）x+m6+2＝0的两实根，∴x5+x2＝2（m+8），x1x2＝m5+2，∵（x1+4）（x2+1）＝3，∴x1x2+x6+x2+1＝3，∴m2+2+4（m+1）+1＝6，解得m＝1或m＝﹣3，∵Δ＝2（m+1）2﹣4（m2+2）＝4m﹣4≥0，解得m，∴m＝1，故答案为：6．22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，D为AC中点，E为BC上一点，若∠AFD＝30°，则CE的长为．【解答】解：取AB的中点H，连接CH，垂足为点G，∵∠ACB＝90°，，CB＝7，∴，∵D为AC中点，∴，∴，∴，∴△ACH是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠AFD＝30°，∴∠2+∠7＝30°，∴∠1＝∠2，∵∠DCB＝∠BGA＝90°，∴△DCB∽△BGA，∴，解得，设CE＝x，BE＝6﹣x，，∵∠AEC＝∠BEG，∠ACE＝∠BGE＝90°，∴△AEC∽△BEG，∴，即，解得或x＝14，经检验或x＝14都是原方程的解，舍去，∴，故答案为：．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，且CF、DE相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为．【解答】解：如图1中，连接AG．∵CD∥BF，∴＝，＝，∴＝，∵AF＝AE，∴DW＝CW，∴点G在AW上运动．如图2中，作GH⊥AB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，∴CD∥BF，BD＝3，∴△CDG∽△FBG，∴＝，即BG＝2DG，∵BG+DG＝BD＝2，∴BG＝，在Rt△GHB中，BG＝，sin60°＝，GH＝，cos60°＝，BH＝，在Rt△AHG中，AH＝4﹣＝，AG2＝（）2+（）6＝，∴AG＝．∴G点路径长度为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时【解答】解：（1）设八、九两月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x4＝0.25＝25%，x2＝﹣4.25（不符合题意，舍去）．答：八、九两月的月平均增长率为25%．（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（35﹣y﹣21）元，依题意得：（35﹣y﹣21）（400+5y）＝4565，整理得：y2+66y﹣207＝7，解得：y1＝3，y8＝﹣69（不符合题意，舍去）．答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A（1）直接写出A，B的坐标；（2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，若存在，请求出点Q的坐标，请说明理由；（3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，求a的值．【解答】解：（1）由得，∴A（2，3），在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，∴B（6，0）；（2）平面内存在一点Q，使得以O，A，P，理由如下：设P（t，﹣t+4），q），①若PQ，OA为对角线，OA的中点重合，∴，解得，∴Q（﹣6，5）；②若PO，QA为对角线，QA的中点重合，∴，解得或，∴Q（，﹣）或（﹣，）；③若PA，QO为对角线，QO的中点重合，∴，解得（此时P，舍去）或，∴Q（6，6）；综上所述，Q的坐标为（﹣5，﹣）或（﹣，，4）；（3）如图，设点D（x，则E（﹣x，x＜0，∵△ABD与△ABE相似，∴E只能在点B左侧，∴∠ABE＝∠DBA，若△ABD∽△EBA，则＝，∴AB2＝BE•BD，∴（2﹣6）2+（7﹣0）2＝（4+x）（6﹣x），∴x2＝2，解得x＝±2，∵x＜0，∴x＝﹣6，∴D（﹣2，0