控制工程基础教案

第一讲

绪

论控制工程基础教案（一）一、课程的地位与作用

随着科学技术、特别是信息技术的突飞猛进，自动控制技术越来越广泛地应用于工农业生产、交通运输、国防、宇航及日常生活的各个领域。掌握和了解自动控制的基本理论和方法，对从事工程技术类各专业的科学技术人员是十分必要的。本课程具有科学方法论的鲜明特点，研究的问题带有普遍性，是广泛意义上的方法论。这将对学生提高分析问题和解决问题的能力，奠定坚实的理论基础。

控制工程基础是工科许多专业一门学科基础课。目前在我校有六个专业大类中的12个专业将该课程设置成学科基础课，有三个专业大类中的4个专业将该课程设置为学科选修课，电气信息类及机械类培优班均将该课程设置成学科基础课。

该课程在各专业的学习过程中起着非常重要的作用。它既是前期基础课向专业课的转折，又是后续专业课的一个重要基础课。作为培养工程技术人员的学科基础课，该课程使学生首次学习控制和控制系统的概念，系统地学习控制理论的经典方法。该课程的学习是专业学习过程中的一个重要环节。二、课程简介控制工程基础是研究各类控制系统共性的一门技术基础科学。教学内容以反馈控制理论为核心，介绍控制系统建模方法，介绍线性系统的时域、频域和根轨迹的分析与设计方法。本课程具有科学方法论的鲜明特点，研究的问题带有普遍性，对工程实践具有重要的指导意义。教学方式以讲授为主，辅以多媒体CAI及课堂讨论。课程的教学目标是，使学生掌握有关自动控制的基本概念、基本理论和基本方法，能够自觉运用反馈原理解决实际工程中的相关问题，进一步提高分析问题和解决问题的能力。三、课程的教学目标与基本要求通过本课程的学习，使学生掌握有关自动控制、自动控制系统的基本概念，掌握有关经典控制理论的基本概念、基本理论和基本方法，能够运用反馈原理解决实际中的相关问题，提高分析问题和解决问题的能力。要求掌握自动控制系统的基本组成、线性系统数学建模以及系统分析与设计的基本方法，能进行典型控制系统的分析和设计。考核采用闭卷笔试形式，学习成绩将根据平时作业、实验课成绩及考试成绩综合评定。该课程在教学组织时应根据不同专业的特点，不同专业的要求，具有针对性的教学。在教材的选用、教学方式的组织、实验的开设以及课内课外时数的分配上有所区别。考核方式为闭卷笔试加平时作业。本课程将为培养学生运用控制原理的方法，分析和解决各种工程问题奠定扎实的理论基础。四、主要教材、参考书（作者、教材名称、出版社）RichardC.Drof&RobertH.Bishop,ModernControlSystem(第八版)高等教育出版社,2001年KatsuhikoOgata现代控制理论（第三版），电子工业出版社，2000年胡寿松，自动控制原理（第四版），科学出版社，2000年刘明俊，自动控制原理.国防科技大学出版社，2000年董景新赵长德，控制工程基础，清华大学出版社，1992年李友善主编，自动控制原理(修订版)，北京:国际工业出版社，1989吴麒主编，自动控制原理，北京：清华大学出版社，1990绪方胜彦著，现代控制工程,卢伯英等译，北京：科学出版社，1976黄家英，自动控制原理，高等教育出版社，2003年7月五、本课程中各章节之间的关系：第二讲

控制系统的基本概念1.自动控制的基本概念

本章主要内容：引言自动控制的基本原理及基本控制方式自动控制系统示例及基本组成自动控制系统的分类对控制系统的基本要求控制系统示例

1.0引言

以“三论”（系统论、信息论、控制论）为代表的科学方法论，是一门新兴的学科，是二十实际以来最伟大的成果。它的崛起为人类认识世界和改造世界提供了新的有力的武器。

近几年，自然科学的高速发展一方面使得科学不断分化，分支科学越来越多，各种新的学科如雨后春笋般地相继出现；另一方面，各学科之间又不断的相互渗透，呈交叉的趋势，由分化走向统一的趋势。客观上要求有共同的方法论，为各学科的彼此沟通，发挥桥梁作用。“三论”的出现正是这种时代要求的结果。

“三论”是从自然科学研究中总结出来的一种科学方法，但它不限于自然科学，具有一般的方法论意义。它不是某一具体科学的方法论，而是包括自然科学、社会科学和思维科学在内的共同的方法论，是认识世界和改造世界的统一的方法。被称为“横向科学”或“横断科学”。这种方法具有严格的程序和精确的形式，是一种更科学、更规范的方法，对科学研究、领导决策和各项工作都具有很强的指导性，在一定意义上可以说“三论”是哲学范畴的具体化、规范化、模型化。

“三论”的出现是有深刻意义和历史背景的。作为“三论”之一的“控制论”中的“控制”的概念，人们并不陌生。什么是控制？

控制论是一种现代科学的方法论，它所提供的科学方法，对我们分析问题忽然解决问题是十分重要的，它还算一门新兴学科，正在不断地发展和完善，其定义和规定的研究内容也众说不一，主要有以下几种说法：

说法一：“控制论”是关于机器的理论

说法二：“控制论”是电子计算机和电子学的理论

说法三：“控制论”就是类似于数学的一门学科

说法四：“控制论”是关于动物和机器中控制和通信的科学（维纳定义）维纳其人：1893年生美国人数学家哲学家《控制论》。根据维纳的定义人们关于“控制论”的较公认的说法是：“控制论”是以研究各种系统共同存在的控制规律为对象的一门科学。“控制论”就是要揭示包括机器、生物、社会在内的各种不同的控制系统的共同规律。是研究各种系统共同控制规律的科学，是方法论。控制论产生的基础：来源于人们的社会实践活动，有它产生的实践基础和理论基础。例如：人类很早以前就利用水的势差和风的流动作为能源的各种装置，像“风磨漏斗”、“蒸汽机的调节器”。19世纪以来，随着电子技术的发展，出现了以电信号传递信息为主的控制过程，如：数控机

床、控制炼钢等等。

第二次世界大战以前，在美国，一些不同学科的科学家自发地建立组织讨论会，研究他们共同感兴趣的问题，更多的是各学科之间的交叉问题。维纳参加了这样的讨论，得到了启迪，形成了控制论的思想基础信息在控制中的作用要使控制行为得以实现，就要求控制部分以某种方式给予受控部分以影响，受控部分就按照影响变化自己的行为，这种联系和影响是什么？如：电、力、风、生物电脉冲……等等。共同点：控制内容的消息----信息，正是控制部分和受控部分之间发生了这种信息的联系、信息的运动，控制过程才得以实现。控制过程就是系统中信息运动的过程。反馈是如何调节控制行为的呢？反馈调节完全可以看成是一种原因与结果不断相互作用的关系。反馈的两种作用方式是控制论中要研究的主要问题。反馈有两种方式：正反馈、负反馈。定义：正反馈：凡是后输出的信息与原输出的信息起着相同的作用，使总的输出增大的反馈调节。负反馈：凡是后输出的信息与原输出的信息起着相反的作用，使总的输出减小的反馈调节。自动控制的发展及现状以维纳的《控制论》为标志，1948年正式形成。三个时期：第一个时期经典控制理论时期40年代末到50年代

单机自动化局部自动化单变量控制自动调节器伺服系统第二个时期现代控制理论时期60年代

多变量控制最优控制多种变化因素航天系统导弹系统人造卫星第三个时期大系统理论时期70年代

规模庞大结构复杂变量参数多目标不单一生物系统社会系统机器人发展前景：

向大系统理论发展规模庞大结构复杂功能综合因数众多……

向智能控制系统发展自组织自学习自修复自繁殖……控制理论已形成了以理论控制论为中心的四大分支（也有不同分法）：工程控制论技术系统工程系统生物控制论生物系统社会控制论社会系统智能控制论思维系统控制论的基本概念和方法是人类认识史上的一个飞跃，开辟了认识世界的新途径。

1.1自动控制的基本原理及基本控制方式①自动控制

自动控制指在没有人直接参与的情况下，利用控制装置使被控对象（如：机器、设备或生产过程）的某一物理量（或工作状态）自动地按照预定的规律运行（或变化）。

例：化工过程的反应塔

数控机床

雷达、指挥仪、火炮控制系统

人造地球卫星

……②自动控制系统

自动控制系统是指能够对被控制对象的工作状态进行自动控制的系统。

组成：控制装置对被控对象起控制作用的设备的总体。

被控对象要求实现自动控制的机器、设备和生产过程自动控制系统的基本方式：开环控制和闭环控制③开环控制开环控制是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制。特点：信号流动的单向性无反馈开环系统是指具有开环控制方式的控制系统。开环系统的输出量不对系统的控制发生作用。例1：电加热炉输入信号：电流i(t)（时间的函数）控制装置：开关k，电阻丝被控对象：炉子输出信号：炉温T

分析：工作原理抗干扰能力

各个量之间的关系

特点：控制装置只按照给定的输入信号对被控对象进行单向的控制，被控对象的输出不影响控制。例2：直流电机转速的开环控制

输入信号：电压v

控制装置：电位器、功放、电动机

被控对象：负载

输出信号：电动机的转速n

分析：工作原理

抗干扰能力

各个量之间的关系

特点：电动机的转速由电位器控制

转速对电位器上电压的大小没有影响

开环系统的特点：

a.简单，给定一个输入量，便对应有一个输出量。

b.精度由元器件的精度和干扰决定。不具备修正由于干扰而引起的系统的偏差。因而使用受到限制。④闭环控制

闭环控制是指控制装置与被控对象之间既有顺向作用，又有反向联系的控制。

特点：信号流动的双向性有反馈

闭环系统是指具有闭环控制方式的控制系统。闭环系统的输出量对系统的控制发生作用，它可以实现复杂而又准确的控制。

例1：电加热炉的闭环控制方式

例2：直流电机转速的闭环控制开环控制与闭环控制的比较：a.稳定性b.精度c.抗干扰d.结构、功率⑤复合控制

复合控制是指将开环控制方式和闭环控制方式组合在一起的控制方式。实质上，它是在闭环回路的基础上，附加一个输入信号或扰动作用的顺馈信号，以提高系统的精度。

复合控制=开环控制+闭环控制常用的两种复合控制形式：按输入补偿的复合控制

按扰动补偿的复合控制⑥直接控制与间接控制⑦最优控制⑧自适应控制⑨智能控制⑩鲁棒控制

1.2自动控制系统示例及基本组成①被控对象②执行机构③放大装置④检测装置⑤比较装置⑥反馈装置⑦校正装置⑧输入信号⑨输出信号⑩扰动信号

1.3自动控制系统的分类常用的分类：①按数学模型分线性系统非线性系统②按控制方式分开环控制系统闭环控制系统③按时间概念分定常系统时变系统④按信号的性质分连续系统离散系统⑤按输入输出信号的数量分单输入单输出系统多输入多输出系统⑥按系统参数分布特征分集中参数系统分布参数系统⑦按元件类型分类机电系统气动系统液压系统生物系统……⑧按系统功用分类温度控制系统位置控制系统……一般地，为了全面的反映自动控制系统的特点，常常将上述各类分类方法组合应用。在工程控制系统中以下几点要注意：严格地讲，任何的实际系统都是非线性的，只是形式不同、程度不同。非线性系统分为：本质非线性不能线性化处理，用特殊的研究方法非本质非线性线性化处理后，用线性系统的理论研究严格地讲，任何实际系统都是时变的，系统的参数总会随时间的变化。严格地讲，任何实际系统都存在随机性。

1.4对控制系统的基本要求①稳定性

稳定性是保证系统能正常工作的先决条件，任何系统只有在稳定的情况下才有可能正常工作。

系统的稳定是有域度的，也称为稳定裕度。稳定裕度越大，系统的稳定程度越深，系统抗干扰的能力就越强。②稳态性

理论上讲控制系统的稳态性能是指时系统的性能。但通常地是将系统引到一个稳定的工作状态时的性能称为稳态性。通常它由稳态精度来描述和刻划，亦称为稳态误差。这里误差是指希望输出与实际输出的差别。③动态性

动态性能是指系统从一个状态变化到另一个状态，即过渡过程的性能。过渡过程的性能主要由快速性能和振荡性能来描述。一般的对控制系统来说，快速性是越快越好，振荡性是越小越好，有的系统不允许有振荡。如：火炮系统的快速性很重要车床的给进系统不允许有振荡

1.6控制系统示例

第二章

控制系统的数学模型

2控制系统的数学模型本章主要内容：引言微分方程模型传递函数模型脉冲响应模型方框图模型信号流图模型频域特性模型数学模型的实验测定方法（辨识）2.0引言主要解决的问题：什么是数学模型为什么要建立系统的数学模型对系统数学模型的基本要求2.0.1什么是数学模型

控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。

亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）

控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型

动态模型

静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。

动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。

关系：静态模型是t时系统的动态模型。

控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。2.0.2为什么要建立控制系统的数学模型

控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）

一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。

建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：机理建模白箱

实验建模（数据建模）黑箱或灰箱

系统辨识2.0.3对系统数学模型的基本要求亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。

理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。

而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：模型类型（与物理性能、分析、设计方法有关）系统允许的误差条件（在允许的条件下尽可能取简单的模型形式）2.1微分方程模型（亦:时间域模型）2.1.1根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：（1）确定系统中各元件的输入输出物理量；（2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；（3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；（4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。例1：机械位移系统如图，建立～间的微分方程关系式。质量-弹簧-阻尼器系统

分析：输入：力输出：m的位移m的受力分析

对于m，由牛顿定律，有

（2）弹簧力－弹簧系数与位移成正比

阻尼器力－阻尼系数与位移的变化量成正比

由上面两式有

整理

注意：习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次；上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。

例2：RLC电路如图，建立输入输出间的微分方程关系式。

由基尔霍夫定律电流与的关系有

注意：该系统也是一个二阶系统

与例1相比，它们具有相同的模型形式。当与在数值上具有一定关系时，上述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是说，在数学上～，～具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进行普遍意义的分析和研究。

例3：电枢控制的直流电动机

特性：电动机是将电能（电信号）转变成机械能（机械信号）的一种物理器件，即输入量是电，输出量是机械量。直流电动机是指输入的电是直流电（不是交流电），电枢控制是指该种电动机是以电枢电压的改变来改变电动机的机械输出（电动机轴的转动角度或转速）。

电动机中物理量的转换

电枢控制的直流电动机的符号

电动机能将电能转变成机械能的基本原理是根据马科斯威尔的电磁理论。（即电动机产生的力矩正比与磁通量Φ和角速度ω乘积的电压）即在磁场中电流的流动能产生运动，运动的方向由左手定则判定，电枢控制的直流电动机的符号如上图。直流伺服机的调节特性不同电枢电压对应的机械特性不同负载时直流伺服机初始电压（压区电压），T：电磁转矩T增大，n减小；的调节特性时电磁转矩少于Td：堵转转矩（n=0）；Ts：负载转矩轴上的阻转矩，电机不转。n0：空载转速（T＝0）。

电机在控制系统中是常用的执行元件。为了求该元件的数学模型更进一步地将电动机（电枢控制的直流电动机）画为如图的形式：

永磁式

激磁式

其中：：电枢回路总电感（亨）：电枢回路总电阻（欧）：电枢反电势（电枢旋转时产生的反电势）（伏）：电动机角速度（弧度/秒）：电枢电压（伏）：电枢电流（安）：电动机和负载折合到电机轴上的转动惯量(公斤米秒)：电动机和负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数(公斤米秒)

(1)电枢回路方程由基尔霍夫定律：

其中（－反电势系数，由电机决定，常数（伏/秒））

（2）电机轴上的转矩平衡方程式：其中（公斤米）：电枢电流产生的电磁转矩，（公斤米）：总负载转矩（电机轴上）

（3）电磁转矩方程：其中：（公斤米/安）：电动机转矩系数，由电机决定，常数将作为输出，作为输入，视为外作用，整理有：

工程中，通常电枢电感非常小，可忽略不计，即有：记（－电机时常数，－电机转动系数）

若电机不带负载，则上式中只是电机轴的转动惯量和粘性摩擦系数。则

（一阶系统）当输出是角度时，即有

（二阶系统）

例4：直流测速发电机

发电机的功能和电动机正好相反，它是将机械能转换成电能的一种元件，其机理是在磁场中运动的导线能产生电流，直流测速机指的是产生的是直流电信号。

直流测速机的示意图其中：测速机轴上角速度，

负载电阻（复杂时可以是阻抗），

电枢回路电流

激磁电流（常数，产生磁场）

电枢电阻

电枢电感（不计）

感应电势

磁通（韦伯，常量）

电势系数（常量）有：有：

若无负载（开路）电机的输出电压与轴上的角速度成正比。例5：图示控制系统（一个速度控制系统）

建立一个复杂的控制系统的数学模型，重要是分析构成系统的各个环节，以及环节间的偶合（有无负载效应），在无负载效应的情况下，先列写各环节的数学模型，最后整理得系统得数学模型，对于该系统，构成系统的各环节如上图所示，各环节得数学模型为：

（1）运算放大器Ⅰ

（－希望输出信号，－实际输出信号，，－误差信号）该环节兼有放大和比较二个功能。

（2）运算放大器Ⅱ

微分网络

放大器(－微分时常数)

（3）功率放大器

（4）直流电动机（直接用例3的结论）均是考虑负载值折合到电机轴上的值。

（5）设齿轮系的速比为，则减速后的为

（6）测速电机直接用例4的结果由（1）～（6）消去中间变量整理得：其中：,

,上面的例子均是线性系统的线性模型，其特点是可以应用迭加原理（即具有可迭加性和齐次性）。

设

若时

时

则当时

若时

则当时由此，对于线性系统在多个外作用同时加于系统的情况，可以将它们分别分析，再将其输出迭加，也可以利用齐次性去求取对输入信号放大时的系统的输出。2.1.2非线性微分方程的线性化

严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的

如：弹簧的刚度与其形变有关，弹性系数K与位移x有关，且非常值；

电阻、电容、电感等值也与周围环境及经过它们的电流有关；

电动机本身的摩擦、死区等非线性因素也存在。

常用两种处理方法：忽略不计取常值

切线法或小偏差法

切线法或小偏差法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数，其本质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。数学上的处理是取其泰勒展开式的线性项。设连续变化的非线性函数取平衡状态A为工作点，对应，当有，设在（）点连续可微,则在（）点附近的泰勒级数展开式为：……当增量（）很小时，略去高次幂项，则有：记（）略去增量符号，便得函数在A点附近的线性化方程（是比例系数，它是在A点处的斜率）

对于有两个自变量的非线性函数，同样可在某工作点（）附近用泰勒级数展开，取其线性项，去掉高次（二阶以上）项：其增量形式

这种小偏差线性化方法对于控制系统中大多数连续工作状态是可行的。在线性化处理时要注意以下几点：

（1）线性化方程中的参数（如上面的）与选择的工作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。

（2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大，注意小范围内。

（3）如系统在工作点处的非线性性是不连续的，其泰勒级数不收敛，这时上述方法不能用，这种非线性称为本质非线性。

非线性本质非线性不能进行线性化处理

非本质非线性在一定条件下可线性化处理2.2传递函数模型传递函数的概念传递函数的性质传递函数的列写2.2.1定义线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：线性定常系统零初始条件输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）形式上记为：2.2.2几点说明（性质）

传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。

它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。

它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。

（2）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次）是一切物理系统所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。

（3）微分方程与传递函数的关系。

重要意义：复杂简单

（4）可减化对系统动态性能分析的过程

R(s)一定时C(s)完全由G(s)决定，因此：G(s)的特征和形态分析系统的性能

另：对系统性能的要求对G(s)的要求

（5）记

=

式中：称

称-为系统的特征根为系统的特征多项式。

有可能相等，在数学上分子分母可直接相消，但工程中涉及到系统的结构，处理时要慎重。

（6）由于可以是零、实数、复数，因此在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法。分析方法：根轨迹法。

（7）记

均是实常数从传递函数的这种分解方式可以看出，线性系统的传递总可以分解成如下7种环节的组合（乘积）

特点：最高不超过二阶上面的表示系统有个零的零点表示系统有个零的极点

表示系统有个实数零点表示系统有个实数极点

表示系统有对复数零点表示系统有对复数极点称上面七种环节为系统的典型环节，其中称：

K比例环节一阶积分环节（惯性环节）

s微分环节二阶微分环节

(s+z)一阶微分环节二阶积分环节（振荡环节）在线性控制系统中，系统含有典型环节的情况，反映了系统的结构和性能

（8）传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应

该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系，由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能，故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响应也可以作为系统的数学模型。由卷积定理知：也说明脉冲响应可以作为系统的数学模型。

法一：列写系统的微分方程

消去中间变量

在初始条件为0的情况下，取拉氏变换

求输出与输入拉氏变换之比

法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程

在零初始条件下求拉氏变换

整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量

整理成传递函数的形式

举例一些常用典型元部件的传递函数的列写

例1：电位器

空载时：

带载时：设负载电阻为有：（，）可见与不再是线性关系，当很大时近似为线性关系故：当电位器接负载时，只有在负载阻抗足够大时，才能将电位器视为线性元件。

利用几何关系，可以将电位器做成将线性位移或角位移变换成电压的装置（这里考虑空载情况或理想情况）

有（伏/弧度）一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器数学关系式K为单个电位器的传递函数，为角位移差

例2：齿轮系

一般地在伺服电动机与负载之间，往往通过齿轮系进行运动传递，其目的有二：对负载提供必要地加速力矩，减速和增大力矩；调节精度高。

转速比（>1）

传递函数

实际系统中，为了考虑负载和齿轮系对伺服电机特性地影响，一般要将齿轮系地力矩、转动惯量、粘性摩擦折合到电动机轴上进行计算。

例3调制解调器

控制系统中交、直流地转换调制器（直交）

解调器（交直）包络

G(s)=1分析或设计控制系统时，数学模型可以不考虑调制、解调器地动态特性。

例4前一节例1，机械位移系统直接由得到的微分方程模型，在零初始条件下，对上式两端求拉氏变换有：，整理得该系统得传递函数：

例5前一节例2RLC网络

由得到得微分方程模型，在零初始条件下，对上式两端求拉氏变换有：，整理得该系统得传递函数：

例7如图表示一个汽车悬浮系统的原理图。当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移作为一个运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动，由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。建立这个系统的数学模型相当复杂。（b）图给出了一种大为简化的悬浮系统，设p点的运动为系统的输入，车体的垂直运动为系统的输出，只考虑车体在垂直方向的运动时，求。

（a）汽车悬浮系统

（b）减化悬浮系统

更复杂一点的悬浮系统

例6电枢控制的直流电动机(前节例3)

其微分方程（不带负载角速度输出）在零初始条件下的传递函数为：

（不带负载角度输出）

事实上：2.3方框图模型（结构图）方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有图示模型的直观，具有数学模型的精确。方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。2.3.1方框图的建立

将网络看作一个系统，各元件便是系统中的各个环节

建立方框图的方法是：（1）列出各环节（元件）的传递函数

（2）用图的形式连接起来。

要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初始条件的。

例1如图无源网络

由图：

将上面的各环节（元件）的部分综合有：

即为该网络系统的方框图模型。特点：清晰的表现了系统中的结构；与具体器件本身的物理属性无关，纯数学关系；可进行各物理量之间数学关系的计算；结构图中信号只能沿箭头方向流动。（结构图的单向性）例2电压测量装置其中：待测电压（输入）；指示的电压测量值（输出）；误差信号原理框图：比较电路

调制器

放大器

两相伺服电机

绳轮传递（－指针位移）

测量电位计

综合：将电机作为一元件后的系统的方框图：特点：该系统十分简单，除了电机以外，其余均是比例关系，系统的动态特性完全由电机的动态性能决定。2.4.2系统方框图的变换与简化（略，详见参考书）

上面表中有几点要引起注意：1．串连连接中，两个环节之间应没有负载效应，否则不能简单的相乘，如：

加入隔离放大器（输入阻抗很小，输出阻抗很大），放大系数为12．注意并联连接与反馈连接的区别。3．反馈连接，它可以出现在系统方框图的任何地方。例（略）2.4控制系统的信号流图模型

信号流图模型是又一种系统的图示数学模型，与系统的方框图模型相似。在信号流图上利用梅逊公式可方便地求取系统的闭环传递函数。《信号与系统》课程中有详细的讲解，本课程不展开讲，要求同学们要会用。2.5反馈控制系统的传递函数不失一般性，设系统的方框图如图所示：

（1）前向通道传递函数

（2）反馈通道传递函数，特殊地时，称为单位反馈。

（3）对输入引起的开环传递函数（）

（4）对输入量的闭环传递函数（）

（5）对扰动量的闭环传递函数（）

（6）定义为系统的误差由输入量引起的误差传递函数（）

（7）由扰动引起的误差传递函数（）

（8）由传递函数表示的系统的输出（线性系统的迭加性）

（9）由传递函数表示的系统的误差

描述系统框图的两种最基本、最重要的形式

（1）体现输入输出关系的描述开环形式

（2）体现反馈机制关系的描述闭环形式

注意：开环控制方式、开环传递函数、开环描述形式的区别。2.6频域特性模型

在前面介绍脉冲响应模型时，提到在零初始条件下可利用系统卷积积分的方法求系统输出的时域响应

对上式两边求傅立叶变换，并利用时域卷积定理可得到：或

即为零初始条件下输出的付氏变换与输入的傅氏变换之比。称为系统的频域传递函数或转移函数，也称为系统的频率响应特性或频率特性。

从物理学概念来讲，如果激励信号的频谱密度函数为，则响应的频谱密度函数便为，即通过系统的作用改变了激励信号的频谱。可见：同一系统可以在时域加以表示，又可以在频域加以表示。一般地，为复数它可表示成：其中称为系统的幅频特性

称为系统的相频特性在形式上可以证明或

例：已知描述系统的微分方程为：，求频率特性。

解：设系统是零初始条件的，对上面微分方程两边求傅氏变换，由时域微分性质可得：有：或由原微分方程有：有：2.7．数据模型的实验测定法系统数学模型的建立通常是两种方法：机理建模法实验建模法（系统辨识）机理建模法：根据系统运动的物理机理或化学机理；根据信号在系统中的传递过程与方式；根据构成系统的元部件，通过分析和运用已有的物理化学定律，建立系统中各物理量的数量关系，反映系统输入输出的静、动态关系，这样的建模方法称为机理的建模方法。该方法要求系统是“白箱”的，即系统中的各元部件及参数均已知，结构均已知。实验建模法（系统辨识）：对系统进行实验，给系统以一定的激励（输入），测得它的输出，根据输入输出的数据（或曲线）结果，通过一定的数学处理方法，得到能反映系统输入、输出关系的数学模式，这样的方法称为系统辨识。在系统辨识中有几点要注意：*只能得到反映系统输入、输出关系的数学模型，不知道（不能反映）系统内部结构和系统中各物理量之间的关系；外部特性等效；实验用的激励信号（输入信号）应该是能够激励起系统中的各个模态（状态），能够让系统充分地运动，其目的是让输出能充分地反映系统的静、动态特性。在这样的基础上建立的模型才符合我们对系统模型的要求。这样的激励信号称为充分激励（持续激励）信号；可加的输入信号应接近系统在实际工况场合中使用的信号，这样更符合实际；这样采样输入输出数据的建模方法，对系统内部结构的要求可以低一些，知道一部分（灰箱）或全不知道（黑箱）。在实际中，有时系统是白箱的，但十分复杂，不便列式，利用辨识的方法也是一个好的途径。2.7.1数学模型实验测定方法的主要思想系统辨识的定义：（Zadeh1962年）

系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型中，确定一个可测系统等价的模型。

根据定义可得系统辨识的原理结构图：

由上可知系统辨识的三要素：输入输出数据，模型类，等价准则

从数学的角度看，就是修改将输入激励转化为模型输出特性的变换特性（算子特性），修改模型的目标是设法使模型和对象之间达到更高的拟合程度。

对三要素的要求：

（1）输入信号（辨识用）应该在实际系统允许的情况下，激励起系统所有的模态（充分激励，持续激励）

（2）模型类：这需要预先作出设定，从实际系统中尽可能多的得到信息，确定相应的模型类（这与建模的目的有关）

（3）等价原则：在系统辨识中起着重要的作用，它直接反映了数学模型与实际系统之间的接近程度，反映这个程度的标量是“准则函数”

由系统辨识的定义可以看出，系统辨识问题的提法是有相当大的自由度，这种自由度表现在对象的模型之间的距离或准则函数的选择上，在模型形式和结构选择上以及在激励信号的选择上。2.7.2数学模型实验测定的主要方法

按照选择的模型形式、激励信号的方式的不同，数学模型实验测定又可分为：时域方法，频域方法，相关分析法。

系统辨识的方法存在许多与工程实际有关的问题，如数据的检测、抗干扰问题、实时估计问题、参数辨识、结构辨识……等等。这将在“系统辨识”课程的内容中详细地介绍。ch2小结主要概念：数学模型动态模型线性系统非线性系统（本质非线性非本质非线性线性化）传递函数：开环传函，闭环传函，误差传函，典型环节及其传函特征多项式，控制系统的零、极点模型的种类：要求：1．掌握各类数学模型的表达形式2．掌握各类数学模型的定义、特点3．掌握各类数学模型的建立4．掌握各类数学模型的简化5．掌握各类数学模型的之间的关系

第三章

线性系统的时域分析法

1

2

3

4

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173线性系统的时域分析法本章主要内容：时域分析的提法（概念，时域性能指标）一阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）二阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）控制系统的一般分析（稳定性分析稳态分析动态分析）3.1时域分析的提法3.1.1时域分析的基本思想时域分析法是控制系统常用的一种分析方法。该方法直观，容易理解。3.1.2时域分析问题的提法时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。

稳定稳定性能系统的分析包括三个方面：稳态稳态性能

动态动态性能3.1.3系统的时域响应系统的数学模型是微分方程描述时系统的数学模型是传递函数描当系统的数学模型是别的形式是，可转化为上面两种形式求解。上面的两种形式是时域分析中常用的形式。3.1.4性能指标的时域描述（性能指标，性能指标的定量化）稳定性描述

控制系统的稳定性，是控制系统能正常工作的必要条件

控制系统在实际工况中，总会受到内部和外界一部分因素的扰动。例如负载或能源的波动、系统参数的的变化、环境条件的改变等。对于不稳定的系统，当其受到这些扰动，即使这些扰动很弱，持续时间很短，照样会使系统中的各物理量偏离其原来的平衡点，并随时间的增加而发散，以至在扰动消失后，系统也不会再恢复到原来的工作点，显然不稳定系统是无法工作的。

为了使控制系统受到扰动后仍能稳定工作，需要分析并找出保证系统稳定工作的条件。（这本身是系统分析的一个重要稳态）

例子：摆的平衡点（稳定的平衡点、不稳定的平衡点、稳定区域）

单摆和小球运动的这种稳定概念，可以推广于控制系统。假如系统具有一个平衡的稳定工作状态，如果系统受到有界扰动偏离了原平衡状态，无论扰动引起的偏差有多大，当扰动消除后，看系统是否能回到原来的平衡状态，若能，则认为系统是稳定的，否则系统是不稳定的。

在分析线性系统稳定性时，我们关心的是系统运动的稳定性，即系统方程在不受任何外界输入下，方程的解在时的渐近行为。或者系统在某一给定输入下，按一种方式运动，不受干扰的影响，既便有些偏离运动状态，当干扰消除后，终能回到原运动状态。在数学上，这种性质表现为系统微分方程的齐次解，其通解称为微分方程的一个运动。

平衡点的稳定与运动状态的稳定严格的的说是有区别的，但可以证明，在线性系统中，它们是等价的。

线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者李亚普诺夫在1892年给的定义。线性控制系统稳定性的定义：

若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。

注：的物理概念是指加了扰动并消除（与前面摆的运动平衡点结合起来讲。采用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。，也可以是方波，即加一段时间后又放掉）在数学上，上述对控制系统稳定性的定义的描述可转化为这样的数学表达式：若系统稳定若系统不稳定即：这也给出了控制系统稳定性的判断方法事实上，对于线性定常系统

正常工作输入

干扰

在正常输入上

迭加干扰信号系统稳定时

即控制系统稳定性的深入分析后面专门介绍。稳态性描述概念及定义：在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。系统稳态响应的优劣程度，主要是看系统实际输出状态与希望输出状态之间的差距，及稳态误差。稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重要指标。稳态误差＝输出量的期望值－输出量的实际稳态值数学描述控制系统的一般结构:

常用的有两种定义稳态误差的方法:从输入端定义的方法

C(s)=特殊地H(s)=1为单位反馈系统有E(s)=R(s)-

＝

＝R(s)

称为系数误差传递函数，反应了在输入作用下，系统误差的变化情况（与系统的开环传函有关）.

2.从输出端的定义方法E(s)-C(s)=R(s)-C(s)希望输出的拉氏变换稳态误差的求取设系统的误差=+误差的暂态分量误差的稳态分量稳态误差的求取：

(2)拉氏变换的终值定理＝＝使用终值定理时注意条。扰动作用下的稳态误差如图分析扰动N(s)对系统稳态的影响。利用线性系统的迭加原理设R(s)＝0（特别注意：无论R(s)是否为零，误差的定义仍然是E(s)=R(s)-B(s)）R(s)=0时E(s)=-B(s)=-H(s)C(s)由第二章的概念可得，由扰动引起的误差传递函数：＝即E(s)=-＝N(s)注意：当扰动在不同处加入是，E(s)的表达式略有不同，但分析思路完全相同的。同时考虑输入和扰动对系统的误差，由线性系统可迭加性有：E(s)=R(s)+N(s)=-动态性描述反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。描述系统动态性能的指标称为动态指标。通常，对系统动态性能的描述约定为：以系统对单位阶跃信号的响应为准，定义具体的指标，由于系统的响应与初始条件有关，为了便于比较，通常采样标准初始条件（即零初始条件，亦在输入加入以前，系统的输出及输出的各阶导数均为零）不失一般性，设系统的单位阶跃响应如图：（1）延迟时间阶跃响应第一次达到稳态值50％所需的时间。指输入的稳态值，对单位阶跃为1。(2)上升时间响应从稳态值的10％上升到稳态值的90％所需的时间。（对过阻尼系统）或响应从稳态值的5％上升到稳态值的95％所需的时间。（对过阻尼系统）或响应从稳态值的0％上升到稳态值的100％所需的时间。（对欠阻尼系统）(3)峰值时间响应超过稳态值，达到第一个峰值所需要的时间。(4)调节时间响应达到并停留在稳态值的5％或2%误差范围内所需的最小时间。(5)超调量设c()是在处的值，则(6)震荡次数n响应曲线在时刻之前震荡的次数，曲线与输入稳态值相交次数的一半。注意：性能指标按特征分为两类：快速性指标,,,

振荡性指标；,n若响应曲线无过调现象，则不定义。这时，c(t)1·％（t），记=0(超调量为零)最常用的的指标是，理论上，及指标指标是越小越好，但实际中是做不到的。3.2一阶系统的分析

分析的思路：一阶系统的数学描述

稳定性

动态性

稳态性

线性系统的重要结论：

一阶系统的数学模型稳定性分析()

由稳定性的分析有：时控制系统稳定,，控制系统不稳定。本系统==]=即时系统稳定3.2.2动态性分析容易求得：

＝0.69T=2.20T=不存在=4T(=2%)3T(=5%)%=0n=0特点：一阶系统可以用时间常数T来度量系统的输出值t0T2T3T4T……c(t)00.6320.8650.950.982……1响应曲线的初始斜率为1/T

T:一阶系统的时间常数T小，1/T大，初始陡，上升快，小

T大，1/T小，初始平，上升慢，大根据一阶系统的响应曲线可以求T常用的方法①0.632c()处，t＝T

②t＝0处曲线斜率k＝1/T3.2.3稳态性分析00无差跟踪10无差跟踪有差跟踪不能跟踪3.2.4线性系统的重要结论(适合：线性定常)===有(t)===结论：系统对输入信号导数的响应等于系统对输入信号响应的导数同理：系统对输入信号积分的响应等于系统对输入信号响应的积分3.3二阶系统的分析分析思路：二阶系统的数学模型稳定性分析动态性分析稳态性分析3.3.1二阶系统的数学模型一般表达式＝其中阻尼比：自然振荡频率（不失一般性设>0）方框图形式：闭环形式开环形式特征方程=0可见二阶系统的时间响应与有解二个参数有关对于不同的，有七种情况，这七种情况在s平面上分别为：3.3.2稳定性分析有了二阶系统模型后，对二阶系统的分析归结为

稳定性动态性1(t)稳态性,1(t),t,···

由微分方程解的知；当时特征方程的解具有正的实部。这时：(,为了分析系统的稳定性)

（由于所以）↖可见当时系统的脉冲响应是发散的，即系统不稳定。分析其动态特性无意义。（对应图中第1，2，3共三中情况）当时（称为无阻尼系统）,C(t)其响应是等幅振荡，系统不稳定。由于不发散，称为临界稳定。当时（欠阻尼系统）系统稳定

为包络当时（临界阻尼系统）

c(t)

系统稳定。

当时（过阻尼系统）系统稳定。小结上面各种情况有如下结论：二阶系统当时系统稳定，否则系统不稳定。或二阶系统特征多项式的系数均大于零（不能等于零，即不能缺项。），系统稳定，否则不稳定。（这一点从数学上十分容易看出）如……下面仅对的情况分析二阶系统的动态性及稳定性。3.3.2.临界阻尼系统(=1)

由c(t)可得，有（t=0）(这一点与一阶系统有别)(t)>0（t>0）(c(t)单调上升)()=0（t）e(t)=r(t)-c(t)=e=二阶临界系统能够无差地跟踪阶跃信号。计算动态指标：由c(t)曲线可知，这里只需计算，td,t,t，%=0,t不定义，n=0延迟时间的计算由定义即设有e(1+x)=0.5x1.68,td=上升时间的计算由定义，设，，解：由得：,,由得：,,过渡过程时间的计算由于单调，由定义由上:3.3.3.(过阻尼情况)

=1-+

=1-+(=)

=1-(=)

=1-

=1+

（

C(t)1

二阶过阻尼系统能无差地跟踪阶跃信号性能指标的计算由的曲线知，不定义，的计算由定义

可有：3.3.3动态性分析

分析思路：↙由性能指标的定义求

%

有三中方法求(1)求解微分方程

(2)利用拉氏反变换

(3)由的响应的积分（利用线性系统的结论）

由前面稳定性的分析结论，

对二阶系统动态性能的分析只需分析的情况。

3.3.1.（欠阻尼系统）

()

()

()误差：有即：二阶系统（欠阻尼）能够无差地跟踪阶跃信号。计算%.（性能指标的求取）延迟时间的计算：由的定义知：，代入的表达式有：

(即)这是一个含有的隐函数的表达式，整理有：利用数值解释与的关系曲线如图：在内近似地有=

有的书上介绍=

也是近似值。上升时间的计算这里讨论的是欠阻尼情况，按的定义是由01的所用的时间即由定义时有即因为，e0，即有:

，(,)

,(

峰值时间的计算根据的定义知：由

有注意到，有，即有=0,,2,3……因为:出现在的第一个t值上.故,取=,即=调节时间的计算由的定义有：,(t,误差带=(0.02~0.05))所以,t时因为：所以,取,物理意义是指,取其包络可求得,tln=0.02时，t，=0.05时，t，,(有时取)最大超调量%的取值定义：%=%

注意:%仅与有关,与无关.大%小.一般地，取=0.4~0.8,这时%=25%~2.5%3.3.4稳态分析分析方法及思路由前面的分析对于稳定的二阶系统均能无差地跟踪阶跃响应信号时时有=

表明：二阶大阻尼系统跟踪斜坡信号（速度信号）时，稳态误差是一个常数，即，其数值与成正比，与成反比小的阻尼比可得到小的，但又大了，工程中综合考虑，采用控制。时

同上时同前

小结：二阶系统对速度信号的响应存在一个恒定的稳态误差。

D.E：为,的函数表达式

小结：二阶系统对加速度信号的响应的稳态误差为无穷。即：不能跟踪加速度信号。注：不等于不稳定完全是两个不同的概念。总：二阶系统的分析结果控制系统的一般分析：指稳定，稳态，动态三方面的分析，分三节讲3.4.1控制系统的数学模型

对于线性定常系统，阶数越高系统越复杂。由于数学表达式上的复杂，分析和计算都十分不方便，以前通常将三阶以上的系统称为高阶（含或不含三阶）系统，现在随着计算技术的发展，计算机的普及，高阶系统的计算不再是一个十分困难的事。但工程中为了抓住系统的主要因素，有时也采用一些近似的处理方法。控制系统的一般模型=(物理可实现)其中：分别为零，极点可以是实数，可以是零，也可以是虚数。3.4.2控制系统的阶跃响应●如果系统的闭环极点各不相同，且均系不为零的实数。这时，当时，具有这样的形式其中，是实数，可由留数求得取其反变换●如果系统的闭环极点各不相同，具有不为零的实数极点和复数极点这时其中，q+2r=nmn当时，具有这样的形式取其拉氏反变换有●如系统含有相同的极点，其阶跃响应更复杂一些，求取的方法是相同的，实际系统中大多数是互不相同的极点上述的阶跃响应表达式表明，系统（高阶系统）的阶跃响应含有指数函数分量和含有指数函数包络的正余弦分量。利用计算机技术和好的仿真软件，计算的数字解是十分容易的。3.4.3动态性能指标的计算当的表达式复杂时，利用定义求动态指标是十分困难的。对于三阶系统有这样的结论（过程略）振荡的三阶系统（具有一对共轭复数极点）不含零点的情况（）（）（当较更靠近虚轴时会出现此种情况）含零点的情况（c<）非振荡三阶系统（均系实数极点，且稳定）

无零点的情况

有零点的情况()↖的作用大于的作用还有若干情况不一一列举在实际工程设计中，对于高阶系统采用数字仿真的方法十分有效，在程序中按照指标的定义判断计算即可。3.4.4控制系统的主导极点，偶极子对

对于实际的系统，其极点，零点的分布具有多种的形式，这由具体系统的参数，结构确定。有的距实轴远，有的距实轴近，有的距虚轴远，有的距虚轴近，极点的位置反映了系统相应的状态，动态性能的好坏。先看几个例：现象：T大小极点靠近虚轴大响应慢T小，有相反的情况②二阶系统

响应速度取决于包络：大极点离虚轴远振荡的频率（振荡性能）：③高阶系统极点互不相同的事实上，它是由若干一阶系统的响应和二阶振荡环节的响应线性迭加而成。

当系统的极点远离虚轴时，其对应的暂态分量衰减很快，对系统的响应速度影响很小。

由上，零点的位置（的大小）影响的是这些幅值，与响应形态关系不大。

由上面的分析可见，影响系统动态性能的关键是系统的极点，在系统的各个极点中，又以距虚轴近，和距实轴远的极点为重中之重。

在高阶系统的分析中，将由于不同极点引起系统响应的不同分量中的主要分量对应的极点称为主导极点，在高阶系统中抓住了主导极点也就抓住了主要矛盾。

在上面的分析中又知道，距离虚轴近的极点是系统的关键点，因此在控制系统的分析中，将距离虚轴近的极点（且其它极点相对较远，同时近的这些极点附近没有零点），称为系统的主导极点。

在判断系统主导极点时要注意的三点很重要：其它极点相对较近，若距离较近，对系统的影响相差不大，无法区分主次。极点附近应没有零点，从数学表达式看极点在分母，零点在分子，正好是相反的作用，相距较近时数学上可抵消，工程中作用也相反。一个实际系统的主导极点可以是一个，两个或数个。这要视具体系统的具体情况。主导极点也可以是实数复数。

偶极子对：是指若在某一极点的附近同时存在一个零点，而在该零点，极点的附近又无其它的零点或极点。就称这个极点和这个零点为一个偶极子对。由于零极点在数学上位置分别是传函的分子分母，工程实际中作用又相反，因此在近似的处理上可相消，近似地认识其对系统的作用相互抵消了。有了主导极点和偶极子对的概念后，对于高阶系统的分析，在误差精度允许的情况下，可将高阶系统的主导极点分析出来，利用主导极点来分析系统，相当于降低了系统的阶数，给分析带来方便。设某系统（高阶）的输出的拉氏变换为其中，均是S的多项式，设系统有一对共轭复数的主导极点，此时,其中有其它零极点的综合影响主导极点的结果其它零极点的综合影响若是实数不是复数，可相应地求的拉氏反变换。经系统的主导极点，偶极子对的分析后，高阶系统可化减，一般地当作为主导极点的极点与非主导极点在与虚轴的距离3倍以上时，这样简化就能保证一定的精度，有的这个倍数还要小。简化后系统的动态性能指标求取的方法仍然按动态指标的定义求，即先求系统的阶跃响应，然后在进行指标的计算。补充：在分析系统的偶极子对时要注意相应的倍数关系，如(100倍的关系)例：对上面高阶系统具有二个共轭复数的主导极点时性能指标求取如下：峰值时间的计算对求导并令其为零，有

=arctg(-)(*)其中

=

（*）式有得零点对的影响非主导极点的影响

“+”号，

大减慢

小，加速，越小，越明显若m=0(无零点)，n=2(无其它极点)与前面的二阶欠阻尼一致（2）超调量的计算由由的表达式及c()=1有由（*）式可推得：又由前设，在系统稳定且无差（对阶跃响应）的条件下有

，即

，注意到，(共轭)最后整理有：，该式第一部分是由非主导极点的影响，,使减小，可增大阻尼系数；第二部分是零点的影响，，使增大，可减小阻尼系数。（3）调节时间的计算

，()由定义：，↖包络

，整理有，第一部分是非主导极点的影响，，，第二部分是零点的影响，，影响大，，对任何系统（高阶）均可采用上面的方法去分析其动态性能。3.3.5控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（一般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应用（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数稳定性的概念分析小球平衡点的稳定性

定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统不稳定。理解：线性系统稳定性的充要条件设系统的微分方程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作用下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作用下的性能，亦与系统的输入信号无关，只与系统的内部结构有关。对上述微分方程描述的系统亦只与等式的左端有关，而与右端无关，亦：系统的稳定性是由下列齐次方程所决定：其稳定性可转化为上述齐次方程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。分析齐次方程的解的特征。由微分方程解的知识，上述方程对应的特征多项式为：设该方程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n且各根互异（具有相同的根时分析方法相同，推导稍繁琐）则上述齐次方程的一般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。注：只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情况为临界稳定，属不稳定。综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部。亦：特征方程的根均在根平面（复平面、s平面）的左半部。亦：系统的极点位于根平面（复平面、s平面）的左半部。从上面的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平面上的位置，勿需去计算齐次方程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。线性系统稳定的必要条件设系统特征方程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征方程两端乘（－1）），可以证明上述特征方程中所有系数均大于零（即）是该特征方程所有根在s平面的左半平面的必要条件。也就是说，（）特征根有可能在左半s平面，否则（）特征根中有在虚轴上或右半平面的。证明：设有n个根k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n则逐一展开看系数即可。例：F(s)=a0(s-λ1)(s-λ2)λ1<0

=a0s2-a0(λ1+λ2)s+a0λ1λ2λ2<0

a1>1a2>1-(λ1+λ2)>0λ1λ2>0

F(s)=a0(s-λ1)[（s-σ1）2+ω12]

=a0[s3-(2σ1+λ1)s2+(σ12+ω12+2λ1σ1)s-λ1(σ12+ω12)]

=a0s3-a0(2σ1+λ1)s2+a0(σ12+ω12+2λ1σ1)s-a0λ1(σ12+ω12)

a1>1a2>1a3>1以此类推。根据这条原则，在判断系统稳定时，可事先检查一下系统特征方程的系数是否均为正。注意：此条件仅为必要条件，非充分条件一定要均大于零，不能等于（缺项）或小于零。3.5.4代数判据劳斯判据劳斯判据是1877年Roth提出来的一种代数判据，只介绍方法不证明，证明涉及到高等代数的理论。劳斯判据的三个步骤：①列写系统的特征方程式；②列写劳斯表；③根据劳斯表判断系统的稳定性。⑴系统的特征方程⑵劳斯表

a0a2a4……

a1a3a5……

b1b2b3……

c1c2c3……

…

…

…

表中

……劳斯表中，可以证明：将某一行中所有元素同时乘以某一正数，不影响系统的稳定性的判断。（这样处理往往可以简化计算）定性的判断若劳斯表中第一列的各元素的符号均为正，则特征方程的所有根位于左半s平面，即系统稳定。若劳斯表中第一列中存在着零元素或小于零的元素，系统则不稳定，劳斯表中第一列符号变化的次数即是系统在右半平面的极点个数。递推的劳斯判据与劳斯判据的思路和方法完全相同，仅只是在总结劳斯表的列写上，归纳出下面的递推形式，便于计算机处理或计算。

通项=-i=1,2,…n-1;j=2,4,6…偶数

判断：表中若第一列的数，即（I=0，1，2，3…，n-1）均大于零时系统稳定。否则系统不稳定。第一列变符号的次数表明了系统在右半平面的极点个数赫尔维茨判据（劳斯—赫尔维茨判据）设系统的特征方程F（s）=++…++=0;构造赫尔维茨行列式：Δ=判断：若Δ的顺序主子式Δ（i=1，2，…n）全部为正，系统稳定即Δ=>0

Δ==>0

Δ==

对于低阶系统该方法是极其方便的。n=2（二阶）时各项系数均为正时系统稳定n=3（三阶）时各项系数均为正且>0即>例：设系统的特征方程为+6+12+11+6=0满足稳定的必要条件劳斯表

1126

611

61/66（取6136）

455/61（取455）

36判断第一列均>0，系统稳定事实上该方程F（s）=+6+12+11+6=(s+2)(s+3)(+s+1)极点，，例：设系统的特征方程为+3+2++5+6=0劳斯表

125

316

5/33（取59）

-22/56（取-1115）

174/11（取1）

15由第一列的符号可知系统不稳定，且有二个在右半平面的极点。因为第一列中1→3→→→→15，有两次变号。劳斯判据中的两种特殊情况(1)劳斯表中某一行的第一个数出现0，其余不为0或没有（这是因为虚轴上的极点所致）法一：这时系统不稳定，若要继续分析根的分布，可以用一个小的整数ε代替零。例：特征多项式F（s）=+3++3+1劳斯表

111

33

0(+ε)1

3-3/ε（取-1）

1系统不稳定，符号变化二次，系统有二个右半平面的根。法二：在已有的特征式上乘以一个（s+a）其中a>0任意，这是一个稳定的极点，乘上去不改变原系统的稳定性，但改变了原特征式的系数，使劳斯表中不出现零。例：同上F（s）（s+a）=（+6+12+11+6）（s+a）=+(3+a)+(3a+1)+(3+a)+(3a+1)+a(取a=1)=+4+4+4+4+1劳斯表：

144

441

3+15/4(取1215)

1/41(取14)

s

-33(取-1)

4系统不稳定，符号变化两次。(2)劳斯表中出现全为0的行这种情况表明在s平面内存在大小相等，但是位置径向相反的极点，即存在大小相等符合相反的实根或一对共轭虚根，或者是对称实轴的两对共轭复根。处理的方法是利用出现全零行的上一行的元素构成辅助方程，利用辅助方程的导数的系数代替原来全零行的系数。继续计算劳