2021高中数学一轮复习教师用书第六章数列

第六章数列

第一节数列的概念与简单表示

新课程标准考向预测

通过实例，了解数列的概1.由斯与S,的关系求斯

念和几种简单的表示方法(列命题角度2.由数列的递推关系求通项公式

表、图象、通项公式)，了解数3.数列的性质及应用

列是一种特殊函数.核心素养逻辑推理、数学运算

知识逐点兖羽重点准疑点清结论要熟记课前自修

［知识梳理］

1.数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中

数列是一种特殊

的每一个数叫做这个数列的项.

的函数.在研究

(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数数列问题时.既

要注意函数方法

集N*(或它的有限子集｛1,2,…，"｝)为定义域的函教4司迈I笠自变的普遍性.又要

考虑数列方法的

量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

特殊性.

(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

2.数列的分类

［有穷数列:项数有限个;

(1)按照项数有限和无限分：工―珈0

〔无穷数列:项数无限个;

「递增数列:an+l>an,

递减数列：an+i<an,

(2)按单调性来分：《

常数列：a”+i=a“=C(常数),

〔摆动数列.

3.数列的两种常用的表示方法

(1)通项公式：如果数列｛斯｝的第项与序号一4之间的关系1(1)并不是所有的

，数列都有通项公

改以用二个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公、式；(2)同一个数

列的通项公式在

式.i

I形式上未必唯一.

(2)递推公式：如果已知数列｛斯｝的第1项(或前几项)，且从

第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那

么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

通项公式和递推公式的异同点

不同点相同点

通项公都可确

可根据某项的序号n的值，直接代入求出an

式定一个

数列，也

都可求

递推公可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列

出数列

式的项，直至求出所需的斯

的任意

一项

［常用结论］

S，w=i,

（I）若数列｛斯｝的前几项和为S”通项公式为斯，则斯=。。j、,*

［Sn~Sn-ifnJ2,.

1，1，

⑵在数列｛斯｝中，若斯最大，则，若斯最小,贝M

［基础自测］

一、走进教材

（—l）n

1.（必修5P33A组T4改编）在数列｛〃〃｝中，。1=1,a=l+-一，〃22）,则。5等于（）

n〃〃一1

43「5

A，2B?

铲痂/n［「（-、（-1）31,_（-1）4_.（-I）52

弗牛析：选〃〃一。〃—Q.

D2—1।〃］—2,，3—1~T~。224—1+的—3,5—1।"43

2.（先修5P67A组T?改编）数列｛。〃｝的前几项为：，3,*8,蒋，…，则此数列的通项

可能是（）

5〃一43〃一2

=

A•Cln2B.dn2

6〃一510〃-9

C.Cln2D.un=2

解析：选A数列为义,1,-y,竽,21

~Y，•••,其分母为2,分子是首项为1,公差为5

5几—4

的等差数列，故通项公式为斯=-----

2

二、走出误区

常见误区：①忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集｛1,2,…，w｝致

误；②求数列前〃项和Sn的最值时忽视项为零的情况致误；③根据Sn求斯时忽视对〃=1的

验证致误.

3.在数列一1,0,事…，,中，0.08是它的第项.

n—295

解析：依题意得丁=含，解得”=10或片宗舍).

答案：10

4.在数列｛斯｝中，斯=一川+6"+7,当其前“项和S”取最大值时，"=.

解析：由题可知"WN*,令厮=—"2+6〃+7>0,得1N*),所以该数列的第7

项为零，且从第8项开始呢<0,则&>=S7且最大.

答案：6或7

5.已知S[=2"+3,则诙=.

解析：因为S,=2〃+3,那么当w=l时，的=51=21+3=5;当G2时，一S〃-i

[5,71=1,

=2"+3—(2L1+3)=2"-1(*).由于的=5不满足(*)式，所以诙=、

［5,n=l,

答案:

心2

考点交类―理解透规律明变化究其本课堂讲练

考点一[师生共研过关]

由④与S”的关系求通项an

[例1](1)已知数列｛诙｝的前几项和S〃=层+2〃+1(九£|\1*),则斯=.

1?

(2)已知数列｛斯｝的前n项和5〃=§如+1,则｛斯｝的通项公式an=.

=

(3)已知数列｛〃〃｝满足。1+2〃2+3。3+…+〃。〃=2",则an.

［解析］(1)当〃22时，an=Sn—Sn-i=2n+l；当〃=1时，〃i=Si=4W2><1+1.因此为

_14,n=l,

⑵当〃=1时，a\=S\=^ai+y所以。i=l.当时，an=Sn—Sn-\=^an—^an-\,所以

念=一；,所以数列｛诙｝为首项ai=l,公比q=一；的等比数列，故。尸(一3

(3)当w=l时，由已知，可得刃=21=2.

：+2a2+3a3H------F=2".①

故ai+2a2+3俏----H("—1)斯-i=2"i("N2),②

由①一②得a。"=2"—2"1=2"'.cin—

显然当n—1时不满足上式.

4,n=l,

［答案］(1)

2"+1,”22

2,w=1,

2”-1

［解题技法］

1.已知S.求斯的3个步骤

⑴先利用ai=Si求出av,

(2)用«-1替换S.中的n得到一个新的关系，利用斯=S“一SL1(〃22)便可求出当

时许的表达式；

(3)注意检验n=l时的表达式是否可以与G2的表达式合并.

2.斗与斯关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用。■=&-S.T("N2)转化为只含S”，S,T的关系式，再求解.

(2)利用斗一5"-1=斯("三2)转化为只含时,a,T的关系式，再求解.

［跟踪训练］

1.已知数列｛斯｝的前〃项和&=3"+1,则斯=

解析：当n—1时，ai=N=3+l=4;

当心2时，q.=S.—S〃T=(3"+l)—(3"-i+l)=2X3"r.

当〃=1时，2X3ir=2Wai,

4,n=l,

所以a—

n2X3”r,w22.

4,72=1,

答案:

2X3”一,心2

2.设数列｛斯｝满足〃i+3a2+3243H------.则an=.

解析：因为的+3〃2+32的H-----F3"-?①

则当心2时，

_n-1

2n2

a\+3〃2+3«3H-----F3~an-i=~~,（2）

①一②得3"-1诙=/，所以以=点心2）.

由题意知〃i=g符合上式，所以

答案：*

3.（2018•全国卷I改编）记斗为数列｛斯｝的前〃项和.若8=2斯+1,则斯=.

解析：・・3=2斯+1,

当〃22时，S〃—1=2斯-1+1,

••S〃S九-12aH—1,即2。〃-1.

当〃=1时，。1=31=2。1+1,得见=-1.

・•・数列｛斯｝是首项m为一1,公比q为2的等比数列，

nini

：.an=-lX2~=-2~.

考点二［师生共研过关］

由数列的递推关系求通项公式

［例2］设数列｛〃〃｝中，s=2,an+i=an+n+lf则④=.

［解析］由条件知an+\~an=n+\.

则an=(@2—〃i)+(〃3—〃2)+(〃4—〃3)+…+(〃八—1)+〃1=(2+3+4+…+〃)+2=

几2+/+2

2-

/+〃+2

［答案

2

［对点变式］

L（变条件）若将“…斯+”+1”改为“…巾,如何求解?

解：*.*Cln+1~।ydnj41=2,・••斯W0.

,cin+ln

•On〃+「

Cln〃〃一2〃3〃2

a=•••••••一•一•ai

n斯-1〃八-2斯-3°2

n—1n—2n—312

=：----.----.---.•••.—.2一

nn—1n-22n

2.（变条件）若将“斯+1=斯+〃+1"改为“斯+1=2跖,+3"，如何求解？

解：设递推公式斯+1=2斯+3可以转化为斯+i—£=2（。〃一/）,即斯+1=2诙一力解得/=

I|Q

—3.故斯+i+3=2（斯+3）.令为=〃〃+3,则。1=的+3=5,且；］="=2.所以｛。〃｝是以

M斯十3

5为首项，2为公比的等比数列.

所以d=5X2"-,故厮=5X2"、一3.

3.（变条件）若将“斯+1=斯+〃+1”改为“即+i=T="，如何求解?

••2斯

解:.斯+】一斯+2,〃1=2,

111又01=2,则2=5,

>-•-L=X+।-GL，即，9

14〃乙1斯2

;.，尤是以3为首项，;为公差的等差数列•

•-i=i+（n~l）X2=2-'-a^

4.（变条件）若将本例条件换为“S=1,斯+1+如=2屋，如何求解？

角牛：•Cln+1+2〃，••Cln+2+12〃+2,古攵dn+22.

即数列｛斯｝的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.

当几为偶数时，“2=1,故〃〃=公+2作-1）=〃一1.

当〃为奇数时，41=1,故斯+0—11=1+孔+1—2=儿

n,〃为奇数,

综上所述,”(〃£N+).

n~\,〃为z偶数

［解题技法］

1.正确选用方法求数列的通项公式

（1）对于递推关系式可转化为见+1=诙+1〃）的数列，通常采用累加法（逐差相加法）求其通

项公式.

⑵对于递推关系式可转化为日口=/5）的数列，并且容易求数列伏力｝前n项的积时，采

an

用累乘法求数列｛如｝的通项公式.

(3)对于递推关系式形如a”+i=pa〃+q(pWO,l,qWO)的数列，采用构造法求数列的通项.

2.避免2种失误

(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到蓝，漏掉S而导致

错误；二是根据连乘求出四之后，不注意检验为是否成立.

(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.

［跟踪训练］

1.已知数歹中，“1=1中，a"+i=a“+"("eN*)中，则。4=，a”=.

解析：由题意可得刃=1,an+i—an=n,

则：。〃=<71+(。2—。1)+(俏-<22)H---1-(。"一斯-1)

n(n~1)层一〃+2

=l+[l+2+3+...+(r)-1)]=14

n

2.设数列｛斯｝满足的=1,an+i=2an,则通项公式a”

解析：由4〃+1=2"。0,得一~=2ni(w22),

所以。〃=0・巴曰•…孕回=2"12"-2....21=2计2+3+…+(，LI)=2F

Cln~1。八-2

又〃1=1适合上式，故斯=22.

〃(九一1)

答案：2F-

3.在数列｛〃〃｝中,幺=3,且点尸〃(斯,斯+1)(2N*)在直线4冗一y+l=O上,则数列｛斯｝

的通项公式为.

解析：因为点Pn(an,诙+i)(〃£N*)在直线4x—y+l=0上，所以4斯一斯+1+1=0,

即斯+i=4a〃+l,得斯+i+g=4(斯+上)，

所以1斯是首项为的+:=¥，公比为4的等比数列，所以斯+:=孚4"一I故〃"=第4"

答案：tz„=y-4/1~1-1

考点三［定向精析突破］

数列的性质及应用

考向(一)数列的周期性•

［例3］在数列｛“”｝中，。1=0,a〃+i=J―涓匕则$2020=

1—\3a„

［解析］：。1=0,斯+1=/普匕

1—\3o„

._屿_AV3+V32^/3r-

^3-^3

的=1+小X小=3

即数列｛斯｝的取值具有周期性，周期为3,

且621+。2+的=0,

则52020=53x673+1=41=。.

［答案］0

［解题技法］

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

考向(二)数列的单调性•

［例4］已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S,(〃WN*),且诙=2w+九若数列｛S.｝("》7,n

GN*)为递增数列，则实数力的取值范围为.

［解析］当时，数列｛8｝为递增数列，设S"+i>S“，即S“+i—S"=斯+i>0,

「•斯+i=2(〃+1)+%>0,则2>—2n—2.

又,.,〃三7,—In—2W—16,即—16.

［答案］(-16,+°0)

［解题技法］

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比

根据«„+1-«„的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列或是常数列

较法

作商比

根据等（而＞0或。”＜0）与1的大小关系进行判断

较法Cln

数形结

结合相应函数的图象直观判断

合法

考向（三）数列的最大（小）项・

n

［例5］数列｛斯｝的通项斯=正两，则数列｛小｝中的最大项是（）

A.3＞/10B.19

昂D.嚓

［解析］令Kx）=x+§（无＞0）,运用基本不等式得犬））26回，当且仅当苫=3回时等号

成立.

因为。”=-A，所以-5《二4T由于"GN*,不难发现当w=9或w=10时，熹

“+电”+即6^1019

nn

最大.

［答案］C

［解题技法］

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数兀0当xdN*时所对应的一列函数值，根据/U）的类型作出相应的函数

图象，或利用求函数最值的方法，求出八x）的最值，进而求出数列的最大（小）项.

Ia”》1,

（2）通过通项公式即研究数列的单调性，利用（〃22）确定最大项，利用

］（〃22）确ZE取小项.

（3）比较法：

若有斯+1—斯=X〃+1）;/（〃）＞0（或许＞0时，々"＞1），贝I斯+1＞期，则数列｛斯｝是递增

数列，所以数列｛如｝的最小项为。1=＜1）；若有斯+1—斯=向2+1）一犬"）＜

0（或斯＞0时，等＜1），则an+l＜an,则数列｛a“｝是递减数列，所以数列｛斯｝的最大项为的

=AD-

［跟踪训练］

1•右数列｛〃〃｝满足。1=2,Cl+1~，则〃2020的值为（）

n1-Un

A.2B.—3

C.-gD.2

解析：选D因为“尸2,即尸岩

1+〃1

所以〃23,

1—a\

1+〃2j_

“3-1——0，

1—。2x

1+〃311+〃4

Ctd=~.=T,〃5="；=2,

1一的3'1一。4

故数列｛〃〃｝是以4为周期的周期数列，

,,___1

故"2020=。505X4=〃4=Q.

2.若数列｛诙｝的前"项和S“=〃2—io〃（"GN+）,则数歹!!｛”斯｝中数值最小的项是（）

A.第2项B.第3项

C.第4项D.第5项

解析：选BVS„=n2-10n,

.,.当见22时，an=Sn—Sn-\—2n—11;

当〃=1时，s=Si=—9也适合上式.

an=2n—ll（n^N+）.

记/（〃）=〃〃〃=〃（2〃-11）=2层-11〃，

此函数图象的对称轴为直线但〃£N+,

・••当n=3时，加1）取最小值.

・•・数列｛九斯｝中数值最小的项是第3项.

「课时过关检测17少

A级——夯基保分练

1.（2019.福建四校联考）若数列的前4项分别是-1,则此数列的一个通项公

式为（）

w+1

A(-l)(-iy

AB.

,n+1〃+1

(T尸

c(-ir

■nD.n

解析：选A由于数列的前4项分别是今-1,I，-1,可得奇数项为正数，偶数项为

负数，第"项的绝对值等于布，故此数列的一个通项公式为,一故选A.

2.记S”为数列｛斯｝的前n项和.“任意正整数n,均有a”＞0”是“｛Sn｝是递增数列”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A•/“斯＞0”0“数列｛S”｝是递增数列”,

...“诙＞0”是“数列｛SJ是递增数列”的充分条件.

如数列｛斯｝为一1,135,7,9,…，显然数列｛&｝是递增数列,但是斯不一定大于零,还有

可能小于零，

，“数列｛SJ是递增数列”不能推出.

“斯＞0”是“数列｛SJ是递增数列”的不必要条件.

是“数列｛SJ是递增数列”的充分不必要条件.

3.已知数列｛。〃｝满足ai=l,斯+1=居-2a“+l（"GN*）,则。2020等于（）

A.1B.0

C.2017D.-2017

解析：选B因为。1=1,所以。2=（。1-1）2=0,的=（。2—1）2=1,。4=（。3-1）2=0,…，

可知数列｛厮｝是以2为周期的数列，所以“2020=42=0.

4.设曲线八元）=^+1（"^|\|*）在点（1,1）处的切线与X轴的交点的横坐标为许，则

XrX2-WX4•…子2019等于()

2019

A,2020B•忐

2020

C-2021D-2021

解析：选B由负x)=/+i得/(x)=("+l)/,切线方程为y-l=(w+l)(x-l),令y=0

得为”=#［，故尤「松口期••••X2O19=9|X…义瑞号=壶.

5.（多选）已知数列｛斯｝满足斯+1=1—；（〃eN*）,且m=2,贝i］（）

Cln

A.〃3=-1B.〃2019=2

C.S6=3D.2s2019=2019

解析：选ACD数列｛〃〃｝满足〃i=2,诙+i=l—4>£N*）,可得。2=［,的=—1,。4=2,

On乙

12019

。5=5，…，所以斯+3=斯，数列的周期为3,“2019=4672x3+3=43=-1,S6=3,§2019=~~•

112123123Q1

6.（多选）已知数列｛.〃｝：］,/4+4+4-10+10+10+-+10'…，若与

设数列｛为｝的前〃项和5〃，则（）

A=11n=

A.an2B.ann

一—4〃一"5〃

C-S产干D-S尸干

解析：选AC由题意得斯1=喜0+系+..力.+弟1=2一-I-3用~~H**一*日fl,n

Sz=

二・数列｛瓦z｝的前〃项和/?1+Z?2+/?3H---\~bn—

4［（1_0+!!_'+|｝_/+…+&―备）］=4（1_；11）=得.故选A、C.

7.已知数列坐,坐书由Jn+n

…，根据前3项给出的规律，实数对(“3W)

6'm-n10

为________

f-12

｛m—n=8,Im2'

解析：由数列的前3项的规律可知,解得〈.故实数对。%n)为

〔加+〃=11,1=|,

BI）

8.数列｛斯｝的前几项积为〃2,那么当2时，an=

Tn层

解析：设数列｛斯｝的前几项积为〃，则〃=层，当及22时，a

nTn-l（H—I）2,

层

答案,篇7

9.已知数列的通项为斯=§孔_16（〃£N*）,则数列｛斯｝的最小项是第项.

解析：因为数列｛〃/的最小项必为an<09即」+：久<0,3〃_16<0,从而九〈学，

3rl—163〃―163

又因为〃£N",且数列｛斯｝的前5项递减，所以〃=5时许的值最小.

答案：5

10.（一题两空）在数列｛&｝中，0=3,斯+i=〃〃+“r；］）,贝！J。2=，通项公式an

1j7

解析：由已知，。2=〃1+7^77=3+5=不

]/XZ乙乙

m%_111

口为呢+i斯_〃（〃+1）—〃“+],

所以。2—CL\—1—,

。3-"2=2-

__11

an~an-i=n-l~n

所以以上（几一1）个式子累加可得，an—ai=l—~f

因为。1=3,所以斯=4-1.

答案:1T

11.（2019•衡阳四校联考）已知数列｛斯｝满足ai=3,a„+i=4an+3.

（1）写出该数列的前4项，并归纳出数列｛斯｝的通项公式；

斯+1+1

⑵证明:=4.

fln+1

解：（1）6=3,〃2=15,43=63,〃4=255.

因为41=41-1,"2=42—1,的=43—1,44=44—1,…,

所以归纳得诙=4〃一1.

斯+1+14即+3+14（即+1）

（2）证明：因为斯+1=4猴+3,所以，=4.

〃〃+1斯+1斯+1

12.已知数列｛斯｝的通项公式是斯=/+加+4.

（1）若左=—5,则数列中有多少项是负数？〃为何值时，而有最小值？并求出最小值;

⑵对于〃£N*,都有诙+»斯，求实数上的取值范围.

解：(1)由n2—5n+4<0,解得l<n<4.

因为〃£N*,所以〃=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为。2,。3.

因为〃〃=/—5〃+4=

由二次函数性质，得当〃=2或〃=3时，斯有最小值，其最小值为〃2=俏=—2.

(2)由斯+1>斯，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式斯=层+如+4,可以看作是

k3

关于〃的二次函数，考虑到〃£N*,所以一与号，解得心—3.

所以实数上的取值范围为(-3,+8).

B级——提能综合练

13.(2019•安徽江淮十校第三次联考)已知数列｛斯｝满足回)一血=2,勿=20,则华的最小

值为()

A.4小B.4小—1

C.8D.9

解析：选C由an+i~an=2n知：怎―41=2X1,的一〃2=2X2,…，an-an-i=2(n—

1).心2,

以上各式相加得斯一〃i=/一几，〃22,所以斯=层一九+20,〃22,

当〃=1时，0=20符合上式，

所以牛=〃+于一1,〃£N*,

所以〃W4时皆单调递减，时与单调递增，

因为宁=胃，所以年的最小值为詈=母=8,故选C.

14.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中。4=

・・，

AIA2=A2A3==AZA8=1记OAl，OA2,0A3,•­•,(9A8的长度构成的数列为｛斯｝("£N*,〃W8),

则｛诙｝的通项公式〃〃=.(〃£N*,〃W8)

解析：根据题意：OA\=A1A2=A2A3=•••=A7A8=1,所以*=*一1+1(〃22)且届=1,所

以｛晶｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以屈=〃，斯="

答案：如

15.已知二次函数以+〃(〃>0,%£R)有且只有一个零点，数列｛斯｝的前〃项和

5〃=黄〃)(〃£|\1*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设金=1—a(〃£N*),定义所有满足c*g+i<0的正整数机的个数，称为这个数列｛金｝

的变号数，求数列｛金｝的变号数.

解：⑴依题意，/=/—4〃=0,所以〃=0或〃=4.

又由a>0得〃=4,所以1工)=，-4X+4.

2

所以Sn=n—4n+4.

当〃=1时，。1=51=1—4+4=1;

当几22时，an=Sn—Sn-i=2n—5.

[1,〃=1,

所以数列｛斯｝的通项公式为an=\、

[2n—5,〃三2.

-3,〃=1,

(2)由题意得金=｛,4

厂―，心2.

4

由金=1—7；--^可知，当〃25时，恒有金>0.

Zn—5

又□=-3,。2=5,。3=—3,

113

C4——3,C5~5fC6-T

即Cl-C2<0,C2-C3<0,C4-C5<0,

所以数列｛金｝的变号数为3.

第二节等差数列及其前〃项和

新课程标准考向预测

L等差数列的基本运算

1.通过实例，理解等差数列的概念.

命题角度2.等差数列的判定与证明

2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项

3.等差数列的性质及应用

和的公式.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差

核心素养逻辑推理、数学运算

关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.体会等差数列与一次函数的关系.

知识逐点充券重点准疑点清结论要熟记课前自修

［知识梳理］

1.等差数列的有关概念

d>0=>{)为递

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差

增数列.

==

都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做cl0!an!,为常

数列.

等差数列的公差，符号表示为斯+i—斯=d(”eN*,d为常数).

dVO=><a”}为递

减数列.

⑵等差中项:数列。,46成等差数列的充要条件是A=等,

差数列｛%｝中.

其中A叫做a,6的等差中项.

2.等差数列的有关公式

⑴通项公式：。"=勾土(&—1)4习&士一当d壬Q时z.一斯是关于一凡的二次函数•一

/C、部T否武八tc«(ai+««)a„=ai+(n-i)dn(n-\)d,fd\_

(2)刖〃项和公式：S”=---2-------->Sn=nai++刈〃今当dWO

时，S,是关于"的二次函数，且没有常数项.

［常用结论］

已知｛斯｝为等差数列，d为公差，S.为该数列的前"项和.

(1)通项公式的推广：an=am+(n—m)d(n,m^N*).

⑵在等差数列｛“”｝中,当〃z+/=p+q时，am+an=ap+a/m,n,p,gdN*).特别地，

若m~\~n=2p,则2ap=砺+斯(7",n,pCN").

(3)a*,ak+nfa*+2"”…仍是等差数列，公差为md(k,mGN*).

(4)S“，S2n-Sn,Sin-S2n,…也成等差数列，公差为於/.

(5)若｛为｝，｛历,｝是等差数列，则｛pa“+曲｝也是等差数列.

(6)若｛诙｝是等差数列，贝I”看)也成等差数列，其首项与｛诙｝首项相同，公差是｛斯｝公差的

1

2-

（7）若项数为偶数2九，则32〃=〃（。1+。2〃）=〃（斯+斯+1）;S偶一5奇=〃"；

（8）若项数为奇数2〃一1,则S2,LI=（2L1）即；S奇一S假=斯；冷言.

[Clm2。,

（9）在等差数列｛斯｝中，若的>0,4<0,则满足一的项数根使得S,取得最大值S”;

【跖"+1W。

若。1<0,d>0,则满足、的项数机使得S,取得最小值S”.

跖+1三0

[基础自测]

一、走进教材

1.（必修5P38例1⑴改编）已知等差数列一8,—3,2,7,…，则该数列的第100项为.

解析：依题意得，该数列的首项为-8,公差为5,所以aioo=-8+99X5=487.

答案：487

2.（先修5P46A组T5改编）已知等差数列5,4宗3点…,则前〃项和%=.

解析：由题知公差d=—・所以%=吉（75〃—5层）.

答案：吉（75w—5力2）

3.（必修5P46A组T2改编）设数列｛斯｝是等差数列，其前"项和为S.,若恁=2且8=30,

则$8=.

r=26

\ai+5d=2,ai=~'

解析：由已知可得,解得，,

〔5ai+10d=30,,__4