2021 年公务员考试：行测答题技巧及例题 5000 题

2021年公务员考试：行测答题技巧及例题5000题（1）

整数的问题

整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，

有关整数

的问题占有重要的地位,我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活

动来补充

一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。

对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：

49=4x10+9,

235=2x100+3x10+5，

7064=7x1000+6x10+4,

就是

一、整除

整除是整数问题中一个重要的基本概念,如果整数a除以自然数b,商是整数且余

数为0,

我们就说a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,记作bIa.此时，b是a

的一个因数（约数），

a是b的倍数.

1.整除的性质

性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除（这里设

a>b）,

例如：3I18,3|12,那么3I（18+12）,3I（18-12）.

性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如：3I6,6I24,那么3I24.

性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定

能被m和n的最小公倍数整除.

例如：6|36,9|26,6和9的最小公倍数是18,18|36.

如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.

例如：7与50是互质的，18与91是互质的.

性质4整数a,能分别被b前c整除，如果b与c互质，那么a能被bxC

整除.

例如；72能分别被3和4整除，由3与4互质，72

能被3与4的乘积12整除.

性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的,72分别能被6和8整除，但不

能被乘

积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.

性质4可以说是性质3的特殊情形,因为b与c互

质，它们的最小公倍数是bxc.事实上，根据性质4,我们常常运用如下解题思

路：

要使a被bxc整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被

c整除.

能被2，3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的，我们可以通过下

面讲到的一些特

征来判断许多数的整除问题.

2,数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：

如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的数的特征：

如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.

（3）能被3（或9）整除的数的特征：

如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整

除，

（4）能被4（或25）整除的数的特征:

如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）

整除.

（5）能被8（或125）整除的数的特征；

如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）

整除.

（6）能被11整除的数的特征：

如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，

那么

它必能被11整除.

是什么数字？

解：18=2x9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9

整除.

要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.

再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.

如果b=0,只有a=7,此数是7740：

如果b=2,只有a=5,此数是7542；

如果b=4,只有a=3,此数是7344；

如果b=6,只有a=1,此数是7146；

如果b=8,只有a=8,此数是7848

因此其中最小数是7146.

根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典

型.

例2一本老账本上记着：72只桶，共口67.9□元，其中口处是被虫蛀掉的数

字,请把

这笔账补上.

解；把口67.9□写成整数679,它应被72整除,72=9x8,9与8又互质，

按照前面的性

质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整

除，因此b=2.

从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因

此a=3.

这笔帐是367.92元.

例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一

个数（有些数

字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可

能小,

解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,

4,6整

除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,

而选其他五

个数字1,2,3,4,61+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字

之和要能被3整除，

只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两

位数能被4整

除.组成的数是

122364.

例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的四位数.

解：55=5x11,5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.

耍被5整除，个位数只能是0或5.

再考虑被11整除.

（7+4）•（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0,所得四位数是

7040.

（7+4）•（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有

不等于零的

整数整除），所得四位数是7645.

满足条件的四位数只有两个：7040,7645.

例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大

的是哪

一个？

,要使它被11整除，要满足

(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0,1,2,

3,4中的两

个数，只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.

再介绍另一种解法.

先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参见下页除式).

要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一

个数，使最

后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.

43-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.

思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？

(答：1023495)

例6某个七位数1993□口□能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那

么它的最后三个

数字组成的三位数是多少？

与上例题一样，有两种解法.

解一：从整除特征考虑.

这个七位数的最后一位数字显然是0.

另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.

1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字和是5或14,要被8

整除，最后三

位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：

1993500,1993320,1993680,

其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.

解二，直接用除式来考虑.

2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数耍被2520

整除.

现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：

因为2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除，

例7下面这个41位数

能被7整除，中间方格代表的数字是几？

解：因为111111=3x7x11x13x37,所以

555555=5xmill和999999=9xHUH

都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7

整除.

右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55口99能被

7整除，

原数就能被7整除.

把55a99拆成两个数的和：

55A00+B99,

其中口=A+B.

因为7I55300,7|399,所以6.二3+3=

注意，记住111111能被7整除是很有用的，

例8甲、乙两人进行下面的游戏.

两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,

7,8,9十个

数字之一填入下面任一个方格中

每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位

数.

如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲

胜，

如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？

解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位

数不能

被N整除，乙不能获胜,N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的

数，甲就获胜.

上面已经列出乙不能获胜的N的取值.

如果N=l,很明显乙必获胜.

如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成

3的整数倍

或9的整数倍.因此，乙必能获胜.

考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7x11x13,乙就

有一种必胜的

办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对,

甲在一

对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数

字，这就保证

所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数，能被7,

11或13整

除，乙就能获胜.

综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.

记住，1001=7x11x13,在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.

解题技巧透析

参加过公考的人都知道行测最大的问题就是题量巨大，时间有限。如果时间足够,

高分不是问题。

那么针对行测如此大的阅读量和考试有限的时间，该怎么办呢？一一学会快速阅

读是必须的。快

速阅读不仅有利于提高阅读速度，同时对你抓住题干的重点和关键有非常好的作用,

对记忆力也

有很好的辅助和提高。

我参加了三年公务员考试，第一次一半的题都没做完时间就到了，结果考的很惨；

第二次好好的

准备了，结果还是差那么一点，没有过关，最大的问题就是很多东西没记住和时间

不够。第三次

,经过近一年的充足准备，最后终于上岸，暮然回首，真是一把辛酸汨啊。因为我

在备考的阶段，

在一家小公司上班，特别忙，很多时候都要加班，难得有时间休息，很多朋友约出

去喝酒、唱K,

却要忙着看书、刷题。那一年多的时间，基本忽略了身边的朋友，被各种埋怨。更

是没有时间陪

女朋友逛街、吃饭、看电影等等，闹了很多次分手…还好，后来挺过来了，虽然

就职的单位待遇

没有想象的那么好，但一切都向着好的方向发展，还是比较满意的。

我深知公务员考试的艰辛，不解决阅读和记忆的问题（也就是时间问题），要想通

过公务员考试是

一件很困难的事情Q为了解决这一问题，我自己尝试过很多方法和软件，这里把

我试过之后最有

用的分享给大家，按住Ctrl键，鼠标点击此行文字就可以下载练习了。每天练习

一个多小时，半个

月的时间你就会有很大的提升，对整个公务员的考试起着很关健的作用。申论考

的是解决问题和归

纳总结的能力，申论考试不需要很好的文笔，但是要在很短的时间里总结大段的

材料，并针对某种

情况提出解决问题的方法。这个是公务员必要的素质，而速读和记忆刚好可以解

决这一问题。这是

我经过反复实践总结下来的，希望对朋友们有用，最终能完成自己的心愿，成功上

岸。

二、分解质因数

一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2,5,

7,101,....

一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4,12,99,

501,....1不是

质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有

3个约数

的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.

质数中只有一个偶数，就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如,

15,

33»....

例9。+(□+△)=209.

在、、.中各填一个质数，使上面算式成立

解；209可以写成两个质数的乘积，即

209=11x19.

不论。中填11或，+△一定是奇数，那么与19是一个奇数一个偶数，偶质数

只

有2,不妨假定△内填当2.填19,□要填9,9不是质数，因此。填，而11

填17.

这个算式是11x(17+2)=209,

11x(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整

数的乘

积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲

述的主要

内容.

一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2,3,7,都

是42

的质因数，6,14也是42的因数，但不是质因数.

任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，

例如

360=2x2x2x3x3x5.

32

323

2

例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积

是5040,

那么，他们的年龄各是多少？

解：我们先把5040分解质因数

42

再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：

42

所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻

求一般

方法，先看一个简单的例子.

我们知道24的约数有8个：1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,

如果一个一个

地去找它的约数，将是很麻烦的事.

3323

的两两乘积.

2233

33

23

这个方法，可以运用到一般情形，例如，

42

因此144的约数个数是(4+1)x(2+1)=15(个).

例11在100至150之间，或出约数个数是8的所有整数.

解：有8=7+1；8=(3+1)x(1+1)两种情况.

7

7

3

8x13=104,8x17=136,符合要求.

3

只有27x5=135符合要求.

3

利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自

进行

质因数分解，例如

423

那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有

质因

3

3

在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注

意

720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最

小公倍数是

42

例12两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是

90,另一个

数是多少？

22

30=2x3x5.

对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数

中取

2222

另一数中含3,从一数是

2

就知道另一数是

2

还有一种解法，

另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找

30♦60i90t120*....

这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现

在碰巧第

二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.

例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420,如果把所有这样

的分数

从小到大排列，那么第三个分数是多少？

解：把420分解质因数

420=2x2x3x5x7.

为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），

相同

质因数（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分

母,分子从

小到大排列是

1,3,4,5,7,12,15,20.

分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是

两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.

例13实质上是把420分解成两个互质的整数.

利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的

方法，

再举三个例题.

例14将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组，每组4

个数，并且每组

4个数的乘积相等，请写出一种分组.

解；要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的

个数也

一样才行.把8个数分解质因数.

3

2

77=7x11,78=2x3x13,

105=3x5x7,110=2x5x11.

先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子,

必须

把6,78,110放在第二组中，为了平衡质因数11和13,必须把77和65

放在第一组中.看

质因数7,105应放在第二组中，45放在第一组中，得到

第一组：24,65,77,45.

第二组：6,78,110,105.

在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.

一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.

例如：4=2x2,9=3x3,144=12乂12,625=25x25.4,9,144,

625都是完全

平方数.

一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.

2222

例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800,

那么甲数

和乙数分别是多少？

解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以

配成一

对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个

数才会是

奇数,因此，甲数是一个完全平方数.

42

在它含有的约数中是完全平方数，只有

2422242

22

22

44

综合起来，甲数是100,乙数是112.

例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红

笔比蓝笔

贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买

都不能把

35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？

解：35=5x7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），

也不能是

17-5=12（元）和17-7=10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.

记住：对笔价来说，已排除了5,7,10,12这四个数.

笔价不能是35-17=18（元）的约数,如果笔价是18的约数，就能把18元恰

好都买成笔，

再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是

18的约数；1,2,

3,6,9.

当然也不能是17-1=16，17-2=15,17-3=14，17-6=11,17-9=8,现

在笔价又排除

了：

1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

综合两次排除，只有4与13未被排除，而4+13=17,就知道红笔每支13

元，蓝笔每

支4元.

三、余数

在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，

例

如95+3,48+5.不能整除就产生了余数.通常的表示是:

65:3=21......2,38+5=7……3.

上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是

被除数邛余数三商......余数.

上面两个算式可以写成

65=3x21+2,38=5x7+3.

也就是

被除数二除数x商十余数.

通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正

是某

些整数问题所需要的.

特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作

为依据.

例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.

解：这个质数能整除

5397-15=5382,

1997

因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.

当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍

从而

得到余数.

例18求645763除以7的余数,

解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下1763,再

去掉1400

余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

645763t15763t1763t363t13T6.

如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成；

645763Tl5000t1000t6.

带余除法可以得出下面很有用的结论：

如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.

例19有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么

这个整数是

多少？

解：由上面的结论，所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差，即

1000-967=33=3x11,

2001-1000=1001=7x11x13,

2001-967=1034=2x11x47.

这个整数是这三个差的公约数11.

请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了，因为另一个差总可以

由这两

个差得到.

例如，求出差1000-967与2001-1000,

那么差

2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

=1001+33

=1034.

从带余除式，还可以得出下面结论：

甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被

这个除数

除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余

数是5+9=14

被13除的余数1.

例20有一串数排成一行，其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,

每个

数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？

解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什

么规律，

但这样做太麻烦•根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把

前两个数

被3除所得的余数相加，然后除以3,就得到这个数被3除的余数，这样就很

容易算出前十

个数被3除的余数，列表如下：

从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余

数相同.

因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为

1998=8x249+6,

所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.

一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

这十二个数构成一个循环.

按照七天一轮计算天数是

日，一，二，三，四，五，六.

这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数

0,1,2,3,4,5,6

的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现

象.

用数来反映循环现象也是很自然的事.

循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12,7个数

的循

环，就说周期是7•例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周

期，是很有

趣的事.

下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带

余除式

得出的结论；

甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个

除数除，它

的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.

例如，37被11除余4,27被11除余5,37乂27=999被11除的余数是

4x5=20被11

除后的余数9.

1997=7x285+2,就知道1997x1997被7除的余数是2x2=4.

1997

被7除余几？

19971997

被7除的余数相同.我们只要考虑一

些2的连乘，被7除的余数.

先写出一列数

2,2x2=4,2x2x2=8,

2x2x2x2=16,....

然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律,列表如下；

事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2,再被7除，就可以得到后一

个数被7

除的余数.（为什么？请想一想.）

从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计

算，

就知道，第五个数与第二个数余数相同，......因此，余数是每隔3个数循环一轮.

循环的周

期是3.

1997=3x665+2.

19971997

被7除的余数相同，这个余数是4.

再看一个稍复杂的例子.

例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两

边两个

数的和.这一行最左边的几个数是这样的：

0,1,3,8,21,55,....

问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

解：首先耍注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再

前一个

数：

3=1x3-0,

8=3x3-1,

21=8x3-3，

55=21x3-8,

不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了，能否从前

面的余

数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个

数起，余

数的计算办法如下：

将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是，

用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：

注意，在算第八个数的余数时，要出现0x3-1这在小学数学范围不允许，因为

我们求

被6除的余数，所以我们可以0x3加6再来减1.

从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同,

就

知道余数的循环周期是12.

70=12x5+10.

因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按

小昭、

今天的话来说，

一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解

同余

式，这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提

出的.

目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一股解法决不是小学生

能弄明白

的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.

例23有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？

解：除以3余2的数有：

2,5,8,11,14,17,20,23....

它们除以12的余数是：

2,5,8,11,2,5,8,11)....

除以4余1的数有：

1,5,9,13,17,21,25,29,....

它们除以12的余数是：

1,5,9,1,5,9♦....

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个

数除以

12的余数是5.

上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数,

然后逐

个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举

的办法，在

考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.

如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明

显，满足

条件的数是很多的，它是

5+12x整数，

整数可以取0,1,2,...,无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12

是3与4

的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以

3余2,除

以4余1”两个条件合并成“除以12余5〃一个条件，《孙子算经》提出的问题有

三个条件，

我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

例24一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最

小数.

解：先列出除以3余2的数：

2,5,8,11,14,17,20,23,26,“

再列出除以5余3的数：

3,8,13,18,23,28,…

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成

一个就

是

8+15乂整数，

列出这一串数是

8,23,38,

再列出除以7余2的数

2,9,16,23,30,

就得出符合题目条件的最小数是23.

事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

最后再看一个例子，

例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中

间的能被

5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.

解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3

除余1）.

例如，找出9和10,下一个连续的自然数是11.

3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7

整除.11+15x3

=56能被7整除，那么54,55,56这三个连续自然数，依次分别能被3,

5,7整除.

为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公

倍数105.所

求三数是

159,160,161.

注意，本题实际上是：求一个数（100〜200之间），它被3整除，被5除

余4,被7

除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？

推理原理

解数学题，从己知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。

通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。

【例1】有一座四层楼（图25-1）,每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃,

分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层

所表示的三位数分别是791,275,362,612。那么，第二层楼代表哪个三位

数？

【分析】仔细观察图25-1和先成四个三位数的12个数字，“2”出现3次，两

次在个位，一次在百位。容易看出图2（a）代表“2”，再从“6”、“7”都出现

两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知：图25-2中（b）、

（c）

分别代表〃6”和“7”。

【解】第二层楼代表612。

【例2】有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。

为了找出这两个轻球，用天平称了3次。结果如下：

第一次①+②比③+④重

第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻

第三次①+③+⑤与②+④+®一样重，那么，两个轻球的编号是_和_。

【分析】从第一次称的结果看，③、④两球中有一个轻：从第二次称的结果看，

⑤、⑥两球中有一个轻：从第三次称的结果看，①、③、⑤三球中有一个轻，

②、

④、⑧三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果，可找出两个轻球。

【解】两个轻球的编号是④和⑤。

说明；在上面的推理中，我们省去了一步，也就是；排除了①、③、⑤与②、

④、⑧中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是轻球”这

一结论与第二次称的结果相矛盾Q

［例3］如图25-3,每个正方体的六个面上分别写着1〜6这六个数字，并且

任

意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7o把这样的五个正方体一个挨着

个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。图3中打“？”的这个

面上所写的数字是一。

【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是

“2”，也可能是“5”。但用反证法可把第1种情况排除。怎样排除？（留给读者

完成）

【解】打“？”的这面上写着“3”。

［例4］德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛

一场。己知；（1）意大利队总进球数是0,并且有一场打了平局；（2）荷兰

队总

进球数是1，总失球数是2,并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得2分,

平一

场得1分，负一场得0分。问德国队得了一分。

【分析】由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总

进球数只有1,说明这场比赛它以1：0取胜。又因为它总失球数2,所以另一

场比

赛以0；2输了。再由条件（1）知；以2；0赢荷兰队的不可能是意大利队（因

为意

大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么

它

胜的一场一定是对意大利队，而且比分为德、意两队以0：0踢平（各记

1

分）。

【解】德国队得了3分。

［例5］某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，

最

小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4

岁。

最大的男孩多少岁？

【分析】最大的孩子（10岁的）不是男孩，就是女孩。如果10岁的孩子是男

孩，那么，根据题意，最小的女孩是6岁（6=10・4）,从而，最小的男孩是4

岁，

再根据题意，最大的女孩是8岁（8=4+4）。这就是说，4个女孩最小的6

岁，最

大的8岁，其中必有两个女孩同岁，但这与己知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。

所以10岁的孩子不是男孩，而是女孩。最小（4岁）的孩子也是女孩。

【解】最大的男孩是4+4=8（岁）。

在上面的分析中，我们用了这样的性质：如果4个自然数只能取三种不同的值，

那么其中必定有两个数相等。

［例6］一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，

每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平

局双

方各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选

手

平均得9分。那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

【分析】这次比赛共需比9+8+7+……+2+1=45（盘）。因为每盘比赛双

方

得分的和都是1分（1+0=1或0.5X2=1）,所以10名选手的总得分为1X

45=45（分）。

每个队的得分不是整数，就是“&5”这样的小数。由于乙队选手平均得3.6分，

3.6

的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。所以，乙队的总得分是18或36。但36；

3.6=10,

而三个队一共才10名选手（矛盾）.所以，乙队的总分是18分，有选手18T

3.6=5

（名）。甲、丙两队共有5名选手。

由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分、18分（不可能是27分。

因为27+18=45,甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2

名，甲队

选手人数相应为4名、3名，经试验，甲队4名选手，丙队1名选手。

【例7】将1〜8这8个自然数分成两组，每组四个数，并使两组数之和相等。

从A组拿一个数到B组后，B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；

从B组

拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之

【分析】1〜8这8个数之和为36,分成的两组每组4个数之和为36―2=18。

第一次拿数后，A组剩下三数的和为36+（1+2）=12,拿出

接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成两组，其中A组

另三个数

之和为18-6=12o

【解】A组，1,4,6,7：B组，2,3,5,8。

中政行测提示

在运用试验法（排除法）时，应想办法使试验的次数尽可能少些，这就需要用

足题目所给的已知条件，并有意识地寻找别的限制条件。如例2中“0.5的整数倍

不是整数，就是小数部分为05的带小数”，“3.6的整数倍不可能是a.5这种形

式”等。另外，像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手"、"A组剩下三数

之和为12”等，都是推理的重要根据。

逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。

【例81五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色

的卡片。现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内

所装卡

片的颜色。

A猜：第2封内是紫色，第3封是黄色:

B猜；第2封内是蓝色，第4封是红色;

C猜：第1封内是红色，第5封是白色:

D猜；第3封内是蓝色，第4封是白色;

E猜：第2封内是黄色，第5封是紫色。

然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中。请你根

据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？

【分析】把已知条件简明地记录在表格中（如图27-1）o选拦其中一只信封作

为“突破口”。比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色。由已知条件，这只

信

封内的卡片不是蓝色，就是黄色。假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾;

白色卡片没人猜对，见图27-1,“白”这栏下面5（x）、4（x）。这说明假设

不正确，第3封内应是黄色°由此推出其它各封内的颜色（见图27-2中的“小）、

【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一

个是机关干部。试根据以下条件，判断这四人的职业。

（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班；

（2）钱比孙年龄大：

（3）赵在教李打太极拳：

（4）教师每天步行去上班；

（5）售货员的邻居不是机关干部；

（6）机关干部和工人互不相识；

（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。

【分析】由条件（4）和条件（1）可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和条件

（7）,可推知孙不是干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。

于

是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。

中政行测提示

解逻辑推理问题，需要借助表格，使已知条件及推出的有用结论一目了然。在

表格中，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“小（或"X”），以免影响

推理的速度，或被错误信息干扰思路。

除了常用的反证法、排除法外，还需要掌握一些简单的逻辑知识。比如“两件

互相矛盾对立（不能都存在）的事，如果一件不正确，另一件必定正确”。

数的运算问题

1、考生首先要明确出题者的本意不是让考生来花费大量时IH计算，题目多数情

况是一种判

断和验证过程，而不是用普通方法的计算和讨论过程，因此，往往都有简便的解题

方法。

2、认真审题，快速准确地理解题意，并充分注意题中的一些关键信息；通过练

习，总结各

种信息的准确含义，并能够迅速反应，不用进行二次思维。

3、努力寻找解题捷径。大多数计算题都有捷径可走，盲目计算可以得出答案，

但时间浪费

过多。直接计算不是出题者的本意。平时训练一定要找到最佳办法。考试时，根据

时间情况，

个别题可以考虑使用一般方法进行计算。但平时一定要找到最佳方法。

4、通过训练和细心总结，尽量掌握一些数学运算的技巧、方法和规则，熟悉常

用的基本数

学知识：

5、通过练习，针对常见题型总结其解题方法；

6、学会用排除法来提高

数学运算主要包括以下几类题型：

基本解题方法：

1、尾数排除法：先计算出尾数，然后用尾数与答案中的尾数一一对照，利用排除

法得出答

案：

2、简便计算；利用加减乘除的各种简便算法得出答案。

通过下面的例题讲解，来帮助您加深对上述方法理解，学会灵活运用上述方法解题。

1、加法;

例1、425+683+544+828

A.2480B.2484C.2486D.2488

解题思路；先将各个数字尾数相加，然后将得到的数值与答案的尾数一一对照得出

答案。尾

数相加确定答案的尾数为0,BCD都不符合，用排除法得答案A；

例2、1995+1996+1997+1998+1999+2000

A.11985B.11988C.12987D,12985

解析：这是一道计算题，题中每个数字都可以分解为2000减一个数字的形式

2000x6-

(5+4+3+2+1)尾数为100-15=85得A

注意；注2000x6-(5+4+3+2+1)尽量不要写出来，要心算；

2、1+2+oo+5=15是常识，应该及时反应出来：

3、各种题目中接近于100、200、1000x2000等的数字，可以分解为此类数

字加减一个数字

的形式，这样能够更快的计算出答案。

例3、12.3+45.6+784+98.7+65.4+32.1

A.333B.323C.333.3D.332.3

解析：先将题中各个数字的小数点部分相加得出尾数，然后再将个位数部分相加，

最后得出

答案。

本题中小数点后相加得到3.0排除C,D

小数点前的个位相加得2+5+8+8+5+2尾数是0,加上3确定

答案的尾数是3.答案是A。

解题思路；1、先将小数点部分加起来，得到尾数，然后与答案一一对照，排除其

中尾数不

对的答案，缩小选择范围。有些题目此时就可以得到答案。

2、将个位数相加得到的数值与小数点相加得到的数值再相加，最后得到的数值与

剩下的答

案对照，一般就可以得到正确的答案了。

2、减法：

例1、9513-465-635-113=9513-113-(465+635)=9400-1100=8300

例2、489756-263945.28=

A.220810.78B.225810.72C.225812.72D.225811.72

解析；小数点部分相加后，尾数为72排除A,个位数相减6-1-5=0,排除C和

D,答案是Bo

3、乘法：

方法

I、将数字分解后再相乘，乘积得到类似于I、10、100之类的整数数字，易于

计算；

2、计算尾数后在用排除法求得答案.

例1、1.31x12.5x0.15x16=A.39.3B.40.3C.26.2D.26.31

解析：先不考虑小数点,直接心算尾数:125x8=10002x15=303x131=393符合

要求的只有

A

例2、119x120=120x120-120=14400-120=0。。80

解析：此题重点是将119分解为120-1,方便了计算。

例3、123456x654321=

A.80779853376B.80779853375C.80779853378D.80779853377

解析：尾数是6,答案是A。此类题型表面看来是很难，计算起来也很复杂，但我

们应该考虑

到出题本意决不是要我们一点一点地算出来，因此，此类题型用尾数计算排除法比

较容易得

出答案。

例4、125x437x32x25=1)

A、43700000

B、87400000

C、87455000

D、43755000

答案为A。本题也不需要直接计算，只须分解一下即可：

125x437x32x25=125x32x25x437=125x8x4x25x437=1000x100

x437=43700000

5、混合运算：

例J1、85.7-7.8+4.3-12.2=85.7+4.3-(7.8+12.2]=90-20=70

4532=4532x(79+158)=4532-2=2266

例2、计算(1-1/10)x(1-1/9)x(1-1/8)x……(1-1/2)的值：

As1/108000

B、1/20

C、1/10

D、1/30

解析：答案为C。本题只需将算式列出，然后两两相约，即可得出答案。考生应

掌握好这个

题型，最好