甘肃省陇南市第一中学2025届高三上学期11月期中检测数学试卷（含解析）

2024年陇南一中高三级第一学期期中学业质量检测卷数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线恒过一定点，则此定点为（

）A． B． C． D．2．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（

）．A． B． C． D．4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．5．已知，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知数列满足则（

）A． B． C． D．7．已知函数，其导函数为，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为（

）A． B．C． D．11．下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（

）A． B． C． D．12．已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合，若，则．14．已知，，若是的必要条件，则范围是.15．已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则.16．已知，对任意的都有，则的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.18．已知二次函数，且满足.（1）求函数的解析式；（2）若函数的定义域为，求的值域.19．已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值．20．（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；（2）已知，，，求点的坐标使得；（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.21．已知点P(＋1,2－)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求过点P的圆C的切线方程；（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．22．如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.

答案1．D解析：解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，则，即，直线恒过点，故选：D.法二：在方程中，令得：，即，令得：，将代入得，将代入，得恒成立，∴直线恒过点，故选：D.2．B解析：为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：.3．C解析：如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，．故选：C4．D解析：因为不等式的解集为，和2是方程的两个根，且，所以，可得，则不等式化为，由，则可整理得，解得，故不等式的解集为.故选：D.5．A解析：由，可得，所以，所以，当且仅当取等号，所以的最小值为.故选：A.6．D解析：因为，所以，所以.故选：D7．C解析：，，所以为偶函数，所以，因为，所以，所以．故选：C．8．B解析：当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在-∞,0上单调递减，且.所以时无零点当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.故选：B.9．BC解析：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：BC.10．BD解析：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：BD.11．ACD解析：因为对任意，当时，都有，所以函数增函数，因为，，在上是增函数，

在上是减函数，故选：ACD12．ACD解析：若，当时，，，若函数的值域为，则时，的对称轴，此时在-∞,0单调递减，且，满足题意；所以选项ACD符合题意，若，当时，，当时，的对称轴，此时，不满足值域为，所以不符合题意；故选：ACD13．1解析：依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：14．解析：由题意，集合，，因为是的必要条件，即，可得，可得，所以实数范围是.故答案为：.15．-1解析：∵2x•3y•4z•，∴2x•3y•4z•，∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案为﹣116．解析：由得或，在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，，，∴，又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范围是故答案为：.17．（1）；（2）.解析：（1）∵，∴，解得，当时，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴综上所述，结论是：.（2）由（1）可得∴，综上所述，.18．（1）；（2）.解析：（1）由可得该二次函数的对称轴为，即从而得，所以该二次函数的解析式为.（2）由（1）可得，，所以在上的值域为.19．（1）答案不唯一，具体见解析（2）解析：解：（1）因为，所以，由，得，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）因为，由已知，可得，∴，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，所以的最小值为．20．（1）；（2）；（3）①21，②，③，解析：（1）∵与共线，故可设，由得：，故，∴；

（2）设，则，，，∵，∴，∴点坐标为；

（3）①，

②∵，，设向量与的夹角为，∴，∴与夹角的余弦值为，

③取轴上的单位向量，，依题意，即，故，解得，.21．（1）x－y＋1－2＝0（2）过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0，切线长为．解析：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.（1）∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝54，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3），即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝，∴过点M的圆C的切线长为.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.解析：试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，