新高考数学二轮培优大题优练13 导数极值点偏移（教师版）

导数极值点偏移导数极值点偏移大题优练13优选例题优选例题例1．已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）递减区间SKIPIF1<0，递增区间为SKIPIF1<0；（2）（i）SKIPIF1<0，（ii）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0．（2）（i）SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的零点，①SKIPIF1<0时，由（1）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，舍去；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0最多只有一个零点，不合题意，舍去；③当SKIPIF1<0时，由（1）知所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即要使SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述，a的取值范围为SKIPIF1<0．（ii）由（i）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，就要证SKIPIF1<0，由上可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以只要证SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以只要证SKIPIF1<0，（*）令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即（*）式成立，所以SKIPIF1<0得证．例2．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）令SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0单调递增．（2）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不妨设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．

模拟优练模拟优练1．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最大值；（2）当SKIPIF1<0时，（i）判断函数SKIPIF1<0的零点个数；（ii）求证：SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①两个；②证明见解析．【解析】SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0．（2）（i）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0至多有两个零点．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点；由（1）可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，综上，函数SKIPIF1<0有两个零点．（ii）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（i）知SKIPIF1<0有两个零点，设为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个极值点．SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，欲证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，命题得证．2．已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0存在极值点1，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0存在两个不同的零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0存在极值点为1，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经检验符合题意，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，不符合题意；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0为减函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0存在两个不同零点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称曲线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0．3．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中a为实数．（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设可知，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0．（2）函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0等价于方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0，也等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点．由（1）可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，在SKIPIF1<0递减．且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．欲证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故只需证SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故只需证明SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边取对数可得SKIPIF1<0，即只需证明SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．已知函数SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，求实数n的值；（2）若SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0恰有两个零点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0②─①，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，③令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，由③知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．5．已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个零点，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，无减区间；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0．不妨设SKIPIF1<0，由条件知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象两交点的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增．可知SKIPIF1<0，欲证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，考虑到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，只需证SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，只需证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单增，又SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立．6．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<