新高考数学二轮培优大题优练8 圆锥曲线定值定点问题（教师版）

圆锥曲线定值定点问题圆锥曲线定值定点问题大题优练8优选例题优选例题例1．设椭圆SKIPIF1<0，O为原点，点SKIPIF1<0是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为SKIPIF1<0，N关于原点O的对称点为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0三点共线，求证：直线l经过定点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，与椭圆方程联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为点SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．①由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即直线l恒过定点SKIPIF1<0．例2．已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点，SKIPIF1<0为椭圆的上顶点，SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的直角三角形．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，问：SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）是定值，定值为SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0为直角三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）当切线SKIPIF1<0的斜率不存在时，其方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理当SKIPIF1<0时，也有SKIPIF1<0．当切线SKIPIF1<0的斜率存在时，设方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0．

模拟优练模拟优练1．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆的一个顶点，SKIPIF1<0是等腰直角三角形．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0分别作直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，设两直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，探究：直线SKIPIF1<0是否过定点，并说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，理由见解析．【解析】（1）由点SKIPIF1<0是椭圆的一个顶点，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等腰直角三角形，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．（2）若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，显然过点SKIPIF1<0，综上，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．2．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，探究：SKIPIF1<0是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）是定值，定值为SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是定值，且定值是SKIPIF1<0．3．已知椭圆SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点在椭圆SKIPIF1<0上．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）如图，椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于两个不同的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0面积的最大值；②当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0时，试问：点SKIPIF1<0的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②是，1．【解析】（1）因为点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）①设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，∴SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0．②由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的纵坐标为定值1．4．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆C有且仅有一个公共点SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的方程及A点坐标；（2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究SKIPIF1<0是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．【解析】（1）设椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将椭圆SKIPIF1<0的方程与直线SKIPIF1<0的方程联立得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0．（2）将SKIPIF1