新高考数学二轮培优大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题（原卷版）

圆锥曲线与面积有关的问题圆锥曲线与面积有关的问题大题优练7优选例题优选例题例1．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆上一点，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且四边形SKIPIF1<0为平行四边形，求证：SKIPIF1<0的面积为定值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）因为SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又离心率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0点坐标代入椭圆SKIPIF1<0方程得SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平行四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故平行四边形SKIPIF1<0的面积为定值为SKIPIF1<0．例2．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点SKIPIF1<0的直线l与椭圆M交于E，H两点，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）有条件可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆方程为SKIPIF1<0．（2）当直线l无斜率时，直线方程为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当直线l斜率存在时，设直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0，消掉y得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，方程有根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0时等号成立），所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．例3．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆下上动点，SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的上顶点，直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0(直线SKIPIF1<0的斜率不为1)与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的上方．若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0面积的最SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由题可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率为0时，不符合题意；故设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点P在点Q的上方，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不符合题意，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．

模拟优练模拟优练1．已知抛物线SKIPIF1<0的顶点为坐标原点SKIPIF1<0，焦点为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共点．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0这一段曲线上运动（SKIPIF1<0异于端点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0面积的取值范围．2．椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线l交C于点A、B，且SKIPIF1<0的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求SKIPIF1<0面积S的取值范围．3．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0．设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的一个动点（异于椭圆SKIPIF1<0的左、右端点）．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．4．设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且SKIPIF1<0的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且仅有一个公共点，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的最大值．5．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：SKIPIF1<0为定值；②若直线l的斜率为SKIPIF1<0，求四边形APBQ的面积的最大值．6．已知椭圆SKIPIF1<0的两个顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交椭圆SKIPIF1<0于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0．

参考参考答案1．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，设抛物线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不妨假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面积的取值范围是SKIPIF1<0．2．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因为SKIPIF1<0的周长为8，由椭圆的定义知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可设直线l的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易知S在SKIPIF1<0单调递减，从而SKIPIF1<0．3．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三者的关系可得SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入上述椭圆方程可得SKIPIF1<0，求解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切，可得上述方程只有一个解，即有SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，（*）．设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由上式可得SKIPIF1<0，将（*）代入上式可得SKIPIF1<0，故可知点SKIPIF1<0的轨迹为以原点为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆．SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．4．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）2．【解析】（1）设P(x，y)，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）将直线l的方程SKIPIF1<0代入椭圆C的方程SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点可知SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．根据点到直线距离公式，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0是梯形，设直线l的倾斜角为θ，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简整理SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，SKIPIF1<0，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．5．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①证明见解析；②SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）①点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为点P在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，为定值．②由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．由点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于直线l的两侧，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，消去y并整理，得SKIPIF1<0，由判别式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，显然，判别式SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由根与系数的关系得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．因为